Transcript Lösningsförslag prov Valbar09 – Sannolikhetslära

Lösningsförslag prov Valbar09 – Sannolikhetslära
1.
Det finns sex stycken möjliga utfall på en vanlig tärning, etta eller tvåa innebär att två av
de sex utfallen är gynnsamma.
(
)
Svar: Sannolikheten att få en etta eller tvåa på en tärning är 1/3.
2.
Krona och klave.
Svar: de möjliga kombinationerna är (kr, kr), (kr, kl), (kl, kr) och (kl, kl).
3.
Tar man upp en svart strumpa så finns det 4 + 3 + 7 = 14 stycken möjliga strumpor att ta
upp och har vi redan tagit en svart finns det således endast 4 stycken svarta strumpor
kvar.
Svar: Sannolikheten att man tar upp en svart strumpa är
.
4.
Det finns 38 stycken möjliga utfall och utfallen 3, 9, 27 och 34 är gynnsamma. Det är alltså
Svar: Spelar vi på detta vis har vi 10,5 % chans att vinna.
5.
P(etta) = ¼ = 0,25
P(tvåa) = ½ = 0,5
P(trea) = ¼ = 0,25
Man kan antingen göra ett träddiagram med tre grenar vid varje vägskäl och sen addera
sannolikheterna för de grenar som får ihop summan 4 på dessa två snurrar. Man kan
också skriva upp de kombinationer som ger summan 4, beräkna sannolikheten för dessa
och sedan addera dessa till en total sannolikhet.
P(etta, trea) = 0,25 × 0,25 = 0,0625
P(trea, etta) = 0,25 × 0,25 = 0,0625
P(tvåa, tvåa) = 0,5 × 0,5 = 0,25
P(summan 4) = 0,0625 + 0,0625 + 0,25 = 0,375 = 37,5 %
Svar: Sannolikheten att man får summan 4 på detta hjul är 37,5 %.
6.
Rödljus 1:
(
Rödljus 2:
)
(
)
a) Svar: Sannolikheten att man får rött vid det första rödljuset är 2/3.
b) Sannolikheten att man får rött vid båda trafikljusen är
(
)
Svar: Sannolikheten att man får två rödljus i rad är 47,3 %
7.
Det finns väldigt många olika kombinationer då vi slår tre stycken tärningar, nämligen hela
6 × 6 × 6 = 216 stycken. Det blir jättejobbigt att göra något slags träddiagram eller så utan här blir
det lämpligt att tänka på komplementhändelsen till att man får en poängsumma större än 3 och
mindre än 18. Det mesta man kan få på tre tärningar är 18 och det får man om man slår tre
stycken sexor. Det minsta man kan få på tre tärningar är 3, detta får man om man slår tre ettor.
Detta är alltså 2 stycken utfall som inte är gynnsamma av de 216 stycken.
(
)
Då detta är komplementhändelsen till att få en summa över 3 och mindre än 18 så behöver vi
göra följande uträkning för att få reda på sannolikheten för den ursprungliga händelsen.
(
)
(
)
Svar: Sannolikheten att få en poängsumma större än 3 och mindre än 18 är
eller 99,07 %.
8.
Vi kan göra ett träddiagram över de möjliga utfallen då Maud och Fredrik får snurra varsin gång.
Antingen vinner Maud på första snurren, (
)
Eller så vinner Fredrik på sin första snurr,
(
)
Det kan också bli så att varken Maud eller Fredrik vinner på sina första snurrar, då kan man
säga att spelet börjar om. (
)
gånger kommer spelet att börja om, dessa fall kan vi hoppa över då dessa spels resultat
kommer att fördela sig på samma vis som denna första omgång bara det att det handlar om färre
antal av alla spelen som kommer att gå vidare. Detta spel kan hålla på hur länge som helst och det
blir tämligen opraktiskt att göra ett oändligt träddiagram. Vi kan därför nöja oss med att titta på
de första omgångarna. Av 100 spel kommer 10 att vinnas av Maud och 9 av Fredrik, 81 av
partierna kommer ingen att vinna.
Av 19 partier som någon vunnit så har alltså Fredrik vunnit 9.
(
)
Man skulle också kunna fortsätta med detta träddiagram några gånger till och se vilket värde det
närmar sig, det blir dock svårt att få fram ett exakt värde i sådana fall.
Svar: Fredrik har
chans att vinna.