Transcript Exempel

FL2
732G70
Statistik A
Mängdlära
Inom statistiken använt som en metod för att hantera och
åskådliggöra sannolikheter, men ur ett bredare perspektiv en
viktig byggsten inom matematik och logik.
S = utfallsrum (grundmängd)
Om mängden A ingår i S säger vi att A är en delmängd av S och
tecknar detta som A  S.
En mängd består av ett eller flera element.
2
Snitt, union och Venndiagram
Låt A och B vara två delmängder av S.
 Snitt
Snittet ger de element som tillhör både A och B: tecknas A  B
 Union
Unionen ger oss de element som tillhör A eller B (eller båda):
tecknas A  B
Snitt av A och B
Union av A och B
3
Disjunkta händelser
S
A
B
Oberoende händelser
När sannolikheten för att den ena händelsen ska inträffa inte
påverkar sannolikheten för att den andra händelsen ska inträffa.
Skillnad mellan disjunkta och oberoende
händelser
Om A och B är disjunkta är de inte oberoende! Detta eftersom att
när A inträffat så vet vi att B inte kan inträffa. Alltså påverkar de
varandra, och följaktligen är de inte oberoende.
4
1. Multiplikationsprincipen
Exempel:
Antag att en bilfabrikant låter kunderna välja på 4
olika färger på lacken, 3 olika inredningar och 2 olika
fälgar. På hur många sätt kan en bilspekulant
komponera sin bil?
Multiplikationsprincipen används när vi i tur och ordning ska utföra
k operationer, och vill veta på hur många sätt operationerna
totalt kan utföras på.
n1  n2  ... nk
Multiplikationsprincipen åskådliggörs ofta i träddiagram.
5
2. Permutationer
Exempel:
Vi har fyra personer och en rad med fyra stolar. På hur
många olika sätt kan personerna placera sig bredvid
varandra?
När vi har n olika element och undrar på hur många sätt de kan
ordnas, då heter med statistiskt språkbruk varje sådan
ordningsföljd en permutation.
n olika element kan permuteras på n! olika sätt.
6
3. Permutationer när vissa element är lika
Exempel:
Hur många olika bokstavsföljder kan man bilda av
ordet EKONOM?
Antalet permutationer av n element när k1 st är av en typ, k2 st är
av en annan typ, osv, är
n!
k1!k 2 !...
7
4. Kombinationer
Exempel:
En förening består av 4 personer, varav 2 ska väljas ut
för ett förtroendeuppdrag. På hur många sätt kan det
ske?
Antalet kombinationer när n element väljs ut bland N är
N
N!
  
 n  n!( N  n)!
8
5. Ordnade delmängder
Exempel:
Låt oss fortsätta betrakta samma förening med 4
medlemmar. 2 personer ska nu väljas ut men
dessutom rangordnas. På hur många sätt kan det
ske?
När vi har en mängd bestående av N element och ur denna vill
välja ut n element i en viss ordningsföljd, så talar vi om en
ordnad delmängd. Antalet ordnade delmängder när n element
väljs ut bland N är
N!
( N  n)!
9
Introduktion till sannolikhetslära
 Slumpvariabel = variabel för vilken frekvensen av de möjliga
värdena att antas bestäms av slumpen
 Sannolikhet = numeriskt värde på hur troligt det är att en viss
händelse ska inträffa vid ett experiment
 Utfallsrum = S = förteckning över vilka värden slumpvariabeln
kan anta
 Tre lagar för sannolikheter
1.
En sannolikhet ligger alltid mellan 0 och 1
2.
Sannolikheten för alla möjliga händelser som kan inträffa vid ett
experiment summerar tillsammans till 1
3.
Sannolikheten för att en händelse inte ska inträffa =
1 – sannolikheten för att den ska inträffa
10
Relativa frekvenser
0.3
Relativ frekvens
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
Tärningskast
0
1
1001
2001
3001
4001
5001
6001
7001
8001
9001
11
Odds
Oddset för händelsen A beräknas som
O( A) 
Pr(A)
Pr(A)

Pr(A ) 1  Pr(A)
Exempel:
Vad är oddset för sexa när vi kastar tärning?
12
Sannolikhetslärans additionssats för
disjunkta händelser
För två händelser A och B som är disjunkta, så gäller att
sannolikheten för att A eller B ska inträffa är
Pr(A  B)  Pr(A)  Pr(B)
Exempel:
Antag att vi drar ett kort ur en kortlek. Vad är
sannolikheten för att kortet är ett hjärter eller ett
spader?
13
Sannolikhetslärans additionssats för icke
disjunkta händelser
Pr(A  B)  Pr(A)  Pr(B)  Pr(A  B)
Exempel:
Antag att vi drar ett kort ur en kortlek. Vad är
sannolikheten för att kortet är ett hjärter eller en sjua?
14
Multiplikationssatsen för oberoende
händelser
Vad är sannolikheten för snittet mellan två händelser A och B (dvs
det överlappande området i ett Venn-diagram)?
Pr(A  B)  Pr(A)  Pr(B)
Kan illustreras i träddiagram.
Exempel:
Vi singlar slant två gånger. Vad är sannolikheten för
två krona i rad?
15
Betingade sannolikheter
Sannolikheten för att händelsen A ska inträffa givet att B redan
inträffat beräknas
Pr(A  B)
Pr(A | B) 
Pr(B)
Exempel :
Vid ett företag är 40% ingenjörer och 55% kvinnor.
25% är kvinnliga ingenjörer. En person väljs
slumpmässigt ut. Vad är sannolikheten för att den
valda personen är ingenjör om vi vet att det var en
kvinna?
Om Pr(A|B) = Pr(A) (eller Pr(B|A) = Pr(B)) så är händelserna A och
B oberoende
16