Transcript Föreläsning 5 732G81 Statistik för internationella civilekonomer [email protected] Dagens föreläsning • Diskreta sannolikhetsfördelningar o Bernoullifördelningen o Binomialfördelningen o Poissonfördelningen • Normalfördelningen o • Kontinuitetskorrektion (halvtalskorrektion) Samplingfördelningar och urval 732G81

Föreläsning 5
732G81
Statistik för internationella civilekonomer
[email protected]
1
Dagens föreläsning
•
Diskreta sannolikhetsfördelningar
o Bernoullifördelningen
o Binomialfördelningen
o Poissonfördelningen
•
Normalfördelningen
o
•
Kontinuitetskorrektion (halvtalskorrektion)
Samplingfördelningar och urval
732G81
2
Bernoullifördelningen
•
Den enklaste av de diskreta sannolikhetsfördelningarna
som bara har två utfallsmöjligheter {0,1}
ex. krona, klave som har 𝑝 = 0.5
•
Dess täthetsfunktion är för 0 ≤ 𝑝 ≤ 1
𝑃 𝑛 =
•
1 − 𝑝 för 𝑛 = 0
𝑝
för 𝑛 = 1
Väntevärde och varians
𝜇=𝑝
𝜎 2 = 𝑝 − 𝑝2
732G81
3
Bernoullifördelningen
Exempel
•
•
En student står på Campus och frågar 100 slumpmässigt
utvalda förbipasserande om de tar studiestöd eller inte.
Svaren blir enligt följande (Ja representerar p)
90
Ja:
= 0.9
100
10
Nej:
= 0.1
100
•
Väntevärde och varians
𝜇 = 𝑝 = 0.9
𝜎 2 = 𝑝 − 𝑝2 = 0.9 − 0.92 = 0.09
732G81
4
Binomialfördelningen
•
Summan av 𝑛 upprepade Bernoulliförsök där varje försök
har samma 𝑝 (sannolikhet för lyckat utfall)
ex. krona som singlas flera gånger
•
•
Dess täthetsfunktion är för 0 ≤ 𝑝 ≤ 1 och antalet lyckade
utfall 𝑘
𝑛 𝑘
𝑃 𝑋=𝑘 =
𝑝 1 − 𝑝 𝑛−𝑘
𝑘
Väntevärde och varians
Jmf. Komb. utan upprepning
𝜇 = 𝑛𝑝
𝜎 2 = 𝑛𝑝 1 − 𝑝
732G81
5
Binomialfördelningen
Exempel
•
•
•
En familj har skaffat 6 barn, varav 5 blev flickor. Vad är
sannolikheten att få så många flickor på sex försök?
𝑝 = 0.5, 𝑘 = 5 och 𝑛 = 6
6
𝑃 𝑋=5 =
0.55 1 − 0.5 6−5 =
5
6!
0.55 1 − 0.5 1 = 0.09375
5! 6 − 5 !
Vad är väntevärdet och variansen för flickor på sex
försök?
𝜇 = 𝑛𝑝 = 6 ∙ 0.5 = 3
𝜎 2 = 𝑛𝑝 1 − 𝑝 = 6 ∙ 0.5 ∙ 0.5 = 1.5
732G81
6
Hypergeometriska fördelningen
•
•
Beskriver sannolikheten för 𝑘 lyckade utfall i 𝑛 försök som
dragits utan återläggning från en population med
storleken 𝑁 som totalt innehåller 𝑁𝑝 lyckade utfall
Dess täthetsfunktion är
𝑁𝑝
𝑃 𝑋=𝑘 = 𝑘
•
Väntevärde och varians
𝜇 = 𝑛𝑝
𝜎 2 = 𝑛𝑝 1 − 𝑝
𝑁−𝑛
𝑁−1
732G81
7
𝑁 − 𝑁𝑝
𝑛−𝑘
𝑁
𝑛
Hypergeometriska fördelningen
Exempel
•
•
En kortlek består av N= 52 kort. När man spelar poker
delas 5 kort ut. Vad är sannolikheten för att få 3 ess?
𝑝 = 4 52, 𝑘 = 3 och 𝑛 = 5
4
𝑃 𝑋=3 = 3
52 − 4
5 − 3 = 0.001736
52
5
732G81
8
Poissonfördelningen
•
•
Är en approximation till Binomialfördelningen som
beskriver sannolikheten att få 𝑘 lyckade utfall bland 𝑛
delförsök (𝑛 > 20)
Dess täthetsfunktion är
𝜇𝑘 −𝜇
𝑃 𝑋=𝑘 =
𝑒
𝑘!
•
Väntevärde och varians
𝜇 = 𝑛𝑝
𝜎 2 = 𝑛𝑝
732G81
9
Poissonfördelningen
Exempel
•
•
När man tillverkar en elektronisk komponent så vet man
att det vanligtvis blir fel på en av 10 000. Under en vecka
har man tillverkat 20 000 komponenter och vill veta vad
sannolikheten är för mindre än två felaktiga
komponenter.
𝑝 = 1 10 000 och 𝑛 = 20 000 ger 𝜇 = 2
20 −2 21 −2
𝑃 𝑋 ≤ 2 = 𝑒 + 𝑒 = 0.41
0!
1!
732G81
10
Normalfördelningen
•
•
Symmetrisk, kontinuerlig fördelning som beskrivs helt av
väntevärdet och standardavvikelsen
Dess täthetsfunktion är
𝑓 𝑥 =
•
1
𝜎 2𝜋
Väntevärde och varians
𝜇
𝜎2
732G81
11
1 𝑥−𝜇 2
−
𝑒 2 𝜎
Normalfördelningen
Linjär variabeltransformation
Där linjen skär y-axeln
•
Om 𝑋 ~ 𝑁 𝜇, 𝜎
•
och a, b är konstanter så gäller att den linjära formen
Lutning på en linje
𝑏𝑋 + 𝑎 ~ 𝑁 𝑏𝜇 + 𝑎, 𝑏𝜎
det vill säga, väntevärdet förändras på samma linjära sätt
och standardavvikelsen ökar med faktorn a.
732G81
12
Normalfördelningen
Sannolikhet för ett givet x
•
Standardiserad normalfördelning 𝑧~𝑁 0,1
•
Beräkna (där 𝜇 och 𝜎 är kända)
𝑥−𝜇
𝑧=
𝜎
•
Slå upp z i normalfördelningstabell, eller använd en dator
som har tabeller lagrade och ger större exakthet, och
avläs sannolikheten.
732G81
13
Normalfördelningen
Z-värden
732G81
14
Normalfördelningen
Normalfördelningsapproximation av binomialfördelningen
•
Givet att 𝑋~𝐵𝑖𝑛 𝑛, 𝑝 och 𝑛𝑝 1 − 𝑝 > 5
•
Så kan Bin approx med N enligt
𝑋 ≈ 𝑁 𝑛𝑝, 𝑛𝑝 1 − 𝑝
•
Exakt och approx. resultat kan skilja sig, kan förbättras
med kontinuitetskorrektion (inkludera halvtalsintervall i
beräkningarna)
732G81
15
Samplingfördelning
•
•
•
•
De stora talens lag säger att ju större stickprov vi drar
desto mer lika blir stickprovsstatistikorna
populationsparametrarna.
Att dra fler stickprov från en population kallas för
sampling
Fördelningen för stickprovsmedelvärdena kallas
urvalsfördelning
Urvalsfördelningen kan betraktas som en uppskattning av
samplingfördelningen
732G81
16
Samplingfördelning
•
Samplingfördelning för summor och medelvärden av n
oberoende slumpvariabler är approximativt
normalfördelad om n är tillräckligt stort
732G81
17
Tack för idag!
18