Transcript Felpropagering
Fysikens mätmetoder I, hösten 2009 AW 2009Sep17
Felpropagering
(jfr Sayer&Mansingh sid 17) Definitionen för varians är: (1) σ 2 = 1
N
∑ (
x i
−
x
) 2 (summa över i=1,2,3...N mätpunkter antas i alla summa-uttryck på denna sida) Vi vill beräkna varianssen σ 2
u
värden
x
,
y
,
z
,...
för en ny variabel samt deras variansser σ 2
x
, σ 2
y
, σ
z
2
u
=
f
, ... (
x
,
y
,
z
,...) på basen av experimentellt uppmätta Enligt definitionen (1) får vi: (2) σ
u
2 = 1
N
∑ (
u i
−
u
) 2 = 1
N
Detta kan vi förenkla genom att skriva
f
∑ (
x
, (
f
(
x i
,
y i
,
z i y
,
z
,...) ,...
) −
u
) 2 = 1
N
∑ (
f
(
x i
,
y i
,
z i
,...
f x
,
y
,
z
,...
) ) 2 som en Taylor-serie och ta med endast de två första termerna. Från tidigare studier vet vi att en Taylor serie för funktionen kan skrivas som: (lämnar bort termer av grad 2 och högre) (3)
f
(
x
,
y
,
z
,...) =
f
(
x
,
y
,
z
,...) + ∂
f
∂
x
(
x
−
x
) + ∂
f
∂
y f
(
x
,
y
,
z
,...) i närheten av punkten (
x
,
y
,
z
,...) (
y
−
y
) + ∂ ∂
f z
(
z
−
z
) + ...
här skall derivatorna evalueras i punkten (
x
,
y
,
z
,...) Nu sätter vi in (3) i (2): σ
u
2 = 1
N
∑ ⎛ ⎜⎜
f
(
x
,
y
,
z
,...) + ∂
f
∂
x
(
x
−
x
) + ∂
f
∂
y
(
y
−
y
) + ∂
f
∂
z
(
z
−
z
) + ...
−
f
(
x
,
y
,
z
,...
) ⎞ ⎟⎟ 2 = 1
N
∑ ⎛ ⎜⎜ ∂
f
∂
x
(
x
−
x
) + ∂
f
∂
y
(
y
−
y
) + ∂
f
∂
z
(
z
−
z
) + ...
⎞ ⎟⎟ 2 nu kan vi använda kvadreringsregeln och får: = 1
N
∑ ⎡ ⎢ ⎣ ⎛ ⎝ ∂
f
∂
x
(
x i
−
x
) ⎟ ⎠ 2 + ⎛ ⎜⎜ ∂
f
∂
y
(
y i
−
y
) ⎞ ⎟⎟ 2 + ⎜ ⎝ ∂
f
∂
z
Här kommer de sk. kovarianstermerna som (
z i
−
z
) ⎟ ⎠ 2 + ...
+ 2 (
x i
2 (
x
−
x
)(
y
−
y
) ∂
f
∂
x
−
x
)(
y i
−
y
) ∂
f
∂
x
∂
f
∂
y
+ ...
⎤ ⎥ ⎦ ∂
f
∂
y
att försvinna om
x
, oberoende variabler. Vi får: σ 2
u
= 1
N
∑ ⎡ ⎢ ⎣ ⎛ ⎝ ∂
f
∂
x
(
x i
−
x
) ⎟ 2 + ⎛ ⎜⎜ ∂
f
∂
y
(
y i
= ∂
f
∂
x
⎟ 2 1
N
∑ (
x i
−
x
) 2 + ⎛ ⎜⎜ ∂
f
∂
y
⎞ ⎟⎟ 2 1
N
−
y
) ⎞ ⎟⎟ 2 + ∑ (
y i
∂
f
∂
z
−
y
) 2 + (
z i
∂
f
∂
z
−
z
) ⎟ 2 2 1
N
+ ...
⎦ ⎤ ⎥ ∑ (
z i
−
z
) 2 + ...
y
,
z
osv. är statistiskt där vi identifierar termer av formen σ 2
x
= 1
N
σ
u
2 = ⎜ ⎝ ∂
f
∂
x
⎟ ⎠ 2 σ 2
x
+ ⎛ ⎜⎜ ∂
f
∂
y
⎞ ⎟⎟ 2 σ 2
y
+ ⎜ ⎝ ∂
f
∂
z
⎟ ⎠ 2 σ 2
z
∑ (
x i
−
x
) 2 + ...
och får till slut: