Kap 2 - Algebra och ickelinjära modeller
Download
Report
Transcript Kap 2 - Algebra och ickelinjära modeller
Kap 2 - Algebra och ickelinjära modeller
1
Algebra och icke-linjära modeller
2.1 Polynom
2.2 Andragradsekvationer
2.3 Andragradsfunktioner
2.4 Potenser och potensekvationer
2.5 Exponentialfunktioner och logaritmer
GENOMGÅNG 2.1
3
POLYNOM
Ett polynom är en summa av termer
3x 2
koefficient
variabel
konstant
”ett genom”
DEFINITIONER
x 1
0
x
n
1
n
x
( x 0)
Exempel:
7 1
0
1
1
7 2
7
49
2
POTENSLAGARNA
m
n
m n
x x x
(x ) x
m n
mn
m
x
mn
(
x
0
)
x
n
x
( x y) x y
m
m
m
Hur ser dessa ut i ditt formelblad?
POTENSLAGARNA
x x x
m
n
4 2
3 3 3
4
2
m n
3
6
POTENSLAGARNA
(x ) x
m n
24
(4 ) 4
2 4
mn
4
8
POTENSLAGARNA
m
x
mn
x
n
x
5
( x 0)
2
53
2
2
2
3
2
POTENSLAGARNA
( x y) x y
m
m
m
(2 3) 2 3
4
4
4
VÄRDET AV ETT POLYNOM
p( x) x 2 x 11
2
p(4) 4 2 4 11
2
p(4) 16 8 11
p(4) 35
PARENTESREGLERNA
En parentes som föregås av ett
plustecken kan utan vidare tas bort.
En parentes som föregås av ett
minustecken kan tas bort, om man
samtidigt ändrar tecken för varje term
inom parentesen.
ADDITION AV POLYNOM
( x 3x 5) ( x 7 x 9)
2
2
( x 3x 5) ( x 7 x 9)
2
2
x 3x 5 x 7 x 9
2
2
2 x 4 x 14
2
SUBTRAKTION AV POLYNOM
( x 3x 5) ( x 7 x 9)
2
2
( x 3x 5) ( x 7 x 9)
2
2
x 3x 5 x 7 x 9
2
2
0 x 10x 4
2
FÖRSTA KVADRERINGSREGELN
(a b) a 2ab b
2
2
2
(3 4) 3 2 3 4 4
2
2
(3 4) 9 24 16
2
(3 4) 49
2
2
FÖRSTA KVADRERINGSREGELN
(a b) a 2ab b
2
2
2
(3x 4z) (3x) 2 3x 4z (4z)
2
2
2
(3x 4z) 9x 24xz 16z
2
2
2
ANDRA KVADRERINGSREGELN
(a b) a 2ab b
2
2
(3 4) 3 2 3 4 4
2
2
(3 4) 9 24 16
2
(3 4) 1
2
2
2
ANDRA KVADRERINGSREGELN
(a b) a 2ab b
2
2
2
(3x 4z) (3x) 2 3x 4z (4z)
2
2
2
(3x 4z) 9x 24xz 16z
2
2
2
KONJUGATREGELN
a b (a b)(a b)
2
2
3 4 (3 4)(3 4)
2
2
3 4 (7)(1) 7
2
2
3 4 9 16 7
2
2
KONJUGATREGELN
a b (a b)(a b)
2
2
(3x) (4z) (3x 4z)(3x 4z)
2
2
9x 16z (3x 4z)(3x 4z)
2
2
Multiplikation av polynom
(3x 1)(2 x 5)
6 x 15x 2 x 5
2
6 x 13x 5
2
Faktorisering av polynom
Bryt ut faktorn x ur följande polynom:
x 3x
x( x 3)
x x
x( x 1)
3x 2 x
x(3x 2)
2
2
2
5x 25x y
2
x(5 25xy)
Faktorisering av polynom
Bryt ut största möjliga faktor ur följande polynom:
5xy 25x y
2
2
5 x y y 55 x x y
5 xy( y 5x)
Faktorisering av polynom
Bryt ut största möjliga faktor ur följande polynom:
5xy 25x y
2
2
5 x y y 55 x x y
5 xy( y 5x)
GENOMGÅNG 2.2
2.2 Andragradsekvationer
x
2
x
2
26
ANDRAGRADSFUNKTIONER
Linjär funktion
Andragradsfunktion
Y = 2x - 3
Y = x2 - 3
Denna kan man även kalla
”förstagradsfunktion”
En andragradskurva kallas
även för parabel
ANDRAGRADSEKVATIONER
+X
Symmetrilinje
-X
ANDRAGRADSEKVATIONER
x 2 -6x+9
2
x -6x+11
0
0
Inget nollställe
2
x -6x+8
0
Ett nollställe
[Dubbelrot]
Två nollställen
NOLLSTÄLLE ÄR DETSAMMA SOM SKÄRNINGSPUNKT MED X-AXELN
VAD MENAS MED ”NOLLSTÄLLE”?
NOLLSTÄLLE ÄR DETSAMMA SOM ATT Y = 0
ANDRAGRADSEKVATIONER
x - 2x - 2
-x -2x 2
x - 2x - 2 0
- x 2 - 2x 2 0
2
2
2
NOLLSTÄLLEN
ANDRAGRADSEKVATIONER
2
x - 2x - 2
-x -2x 2
2
x - 2x - 2 0
-x -2x 2 0
Minpunkt
Maxpunkt
2
2
ANDRAGRADSEKVATIONER
x px q 0
2
Sidan 99 i Matematik 5000 2bc VUX-boken
ANDRAGRADSEKVATIONER
2
2
x px q 0
x - 6x + 8 0
Lösningsformeln
2
p
p
x q
2
2
X=
Halva koefficienten för x
med ombytt tecken
Kvadraten på halva
koefficienten för x
Konstanta termen
med ombytt tecken
SKRIV DETTA MED DINA EGNA ORD!
ANDRAGRADSEKVATIONER
2
2
x 6x 8 0
y x - 6x + 8
Symmetrilinje
2
1
6
6
x 8
2
2
x 3
3
2
8
x 3 9 8
1
y 3 - 63+8
y 9 -18 + 8 -1
Minimipunkt (3,1)
2
x 3 1
x 3 1
x1 3 1 2
x2 3 1 4
ANDRAGRADSEKVATIONER
x 2 -6x+9
2
x -6x+11
0
0
x -6x+8
0
Ett nollställe
Inget nollställe
x
2
p
negativ värde
2
x
p
noll
2
x px q 0
2
Två nollställen
x
p
positivt värde
2
GENOMGÅNG 2.3
2.3 Andragradsfunktioner
36
ANDRAGRADSEKVATIONER
x 2 -6x+9
2
x -6x+11
0
0
Inget nollställe
2
x -6x+8
0
Ett nollställe
[Dubbelrot]
Två nollställen
NOLLSTÄLLE ÄR DETSAMMA SOM SKÄRNINGSPUNKT MED X-AXELN
VAD MENAS MED ”NOLLSTÄLLE”?
NOLLSTÄLLE ÄR DETSAMMA SOM ATT Y = 0
ANDRAGRADSEKVATIONER
2
2
x 6x 8 0
y x - 6x + 8
Symmetrilinje
2
1
6
6
x 8
2
2
x 3
3
2
8
x 3 9 8
1
y 3 -6 3+8
y 9 -18 + 8 -1
Minimipunkt (3,1)
2
x 3 1
x 3 1
x1 3 1 2
x2 3 1 4
ANDRAGRADSEKVATIONER
2
x - 2x - 2
-x -2x 2
2
x - 2x - 2 0
-x -2x 2 0
Minpunkt
Maxpunkt
2
2
ANDRAGRADSFUNKTIONER
a) (0,3)
b) (2,0) och (6,0)
c) x = 2 och x = 6
d) x = 4
e) x = 4
Matematik 2bc VUX – boken, sid 116
GENOMGÅNG 2.4
2.4 Potenser och potensekvationer
50
Roten ur
4
4
2
2
½
4
4
4 4
½
Potensekvationer
2
4 4 4 16
4 2
2
x 25 x 25
x1 5 x2 5
Ekvationen xn = a
x 5
xxx 5
3
x 5 x5
3
1
3
OBS!
( 2)
x
5
x 5
3
x 5
4
x5
x5
x5
1
2
1
3
1
4
OBS!
x5
x5
x5
1
2
5^(1/2) = 2,2360679775
1
3
5^(1/3) = 1,70997594668
1
4
5^(1/4) = 1,49534878122
GENOMGÅNG 2.5
2.5 Exponentialfunktioner och logaritmer
57
Exponentialfunktioner
f ( x) C a
x
C är ”startvärde”
a är förändringsfaktor
x kan exempelvis vara tid i år
(antal upprepningar)
Vi gör egna ränteuppgifter
Swedbank 2015-03-05
Exponentialfunktioner
f ( x) C a
x
Dela ut!
C är ”startvärde”
a är förändringsfaktor
x kan exempelvis vara tid i år
Fråga:
En stad har folkmängden 50 000 invånare. Folkmängden förväntas
öka med 2% varje år. Hur många bor det i staden efter 10 år?
Lösning:
Vi sätter folkmängden efter 10 år till
y 500001,02
y 500001,22
y 61000
10
Svar: Om 10 år är folkmängden 61 000.
y
och får då:
Logaritmer
10 7
x
”x är 10-logaritmen för 7”
8 5
x
”x är 8-logaritmen för 5”
Logaritmer
10 7 7
lg
x7
lg 7 0,845
0,845
10
Enligt räknaren…
7
Logaritmer
(1)
lg 3 4 lg 3 lg 4
(1) lg(3×4) = 1,07918124605 --- lg(3)+lg(4) = 1,07918124605 [test]
(2)
lg(4 / 3) lg 4 lg 3
(2) lg(4/3) = 0,124938736608 --- lg(4)-lg(3) = 0,124938736608 [test]
(3)
lg 34 4 lg 3
(3) lg(3^4) = 1,90848501888 --- 4×lg(3) = 1,90848501888 [test]
Logaritmlagar
Exempel:
lg 5 3 lg 5
3
TESTA!
Logaritmlagar
Exempel:
lg(5 3) lg 5 lg 3
TESTA!
Logaritmlagar
Exempel:
5
lg lg 5 lg 3
3
TESTA!
Logaritmer med olika baser
3 81
4
4 log3 81
4 är 3-logaritmen för 81
4 är den exponent till 3 som ger 81
4 är vad 3 skall upphöjas till för att ge svaret 81
Logariter – ett exempel
7 17
x
lg 7 lg17
x lg 7 lg17
x lg 7 lg17
lg 7
lg 7
x
Logariter – ett exempel
x lg 7 lg17
lg 7
lg 7
lg17
x
lg 7
x 1, 45598364109...
På räknaren: lg(17)/lg(7) = 1,45598364109