Transcript Kap 1 - Algebra och funktioner

Kap 1 - Algebra och
funktioner
1
1.1 Algebra och polynom
2
POLYNOM
Vid straffkast i basketboll är kastkurvan en parabel.
beskrivas med andragradspolynomet
y = 2,15 + 2,1x – 0,41x2
Den kan
Terminologi
y = 2,15 + 2,1x –
2
0,41x
+2,15 är en konstantterm
+2,1x och -0,41x2 är variabeltermer
talen +2,1 och -0,41 kallas koefficienter
y innehåller värdet på polynomet (uttrycket)
Potenslagarna
Definitioner
a 1
0
a
x
1
 x
a
a0
ETT GENOM
Definitioner
a
x
1
 x
a
a0
Definitioner
10000  10 10 10 10  104
1000  10 10 10  103
100  10 10  102
10  10  101
1  100
0,1  101
0, 01  102
0, 001  103
Definitioner
( a)  a  a  a
2
a0
Definitioner
 7
2
 7 7 7
a0
Lagar för kvadratrötter
ab  a  b
a0
b0
a
a

b
b
a0
b0
Lagar för kvadratrötter
3 4  3  4
a0
b0
16
16
a0

 4
b

0
4
4
Absolutbelopp
Absolutbeloppet, eller absolutvärdet av ett tal x betecknas
|x| och är ett positivt reellt tal eller noll och kan ges den
geometriska tolkningen som ett tals avstånd till origo eller 0punkten i det fall talet kan representeras på tallinjen.
Källa: http://sv.wikipedia.org/wiki/Absolutbelopp
5 5
5  5
Absolutbelopp
5  5
5 5
Absolutbelopp
y x
Andragradsekvationer
2
2
x  px  q  0
x - 6x + 8  0
Lösningsformeln
2
p
 p
x      q
2
2
X=
Halva koefficienten
för x med ombytt
tecken
Kvadraten på halva
koefficienten för x
Konstanta termen
med ombytt tecken
SKRIV DETTA MED DINA EGNA ORD!
Andragradsekvationer
2
2
x  6x  8  0
y  x - 6x + 8
Symmetrilinje
2
6
6
x      8
2
2
x  3
32  8
x  3 9 8
y  3 - 63+8
y  9 -18 + 8  -1
Minimipunkt (3,1)
2
x  3 1
x  3 1
x1  3  1  2
x2  3  1  4
Andragradspolynom
p( x)  k ( x  a)(x  b)
a och b är polynomets nollställen
p( x)  k ( x  2)(x  4)
Andragradspolynom
2
x  6x  8  0
x1  2
x2  4
f ( x)  ( x  2)(x  4)
x  4x  2x  8
2
x  6x  8  0
2
Räkning med polynom
(8 + 2x) + (3 – 4x) =
8 + 2x +3 – 4x
=
11 – 2x
(8 + 2x) – (+3 – 4x) =
8 + 2x – 3 + 4x
=
5 + 6x
ARBETA NEDÅT!
Kvadreringsreglerna
1:a kvadreringsregeln
(a + b)2 = a2 + 2ab
+ b2
2:a kvadreringsregeln
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Konjugatregeln
(a + b)(a - b) =
2
a
(2x + 3)(2x - 3) =
2
(2x)
2
–3
=
2
4x
–
2
b
2
4x
-9
–9
Faktorisera
Skriv om följande tal och uttryck så att det blir en multiplikation i stället
56 
1890 
2x  2 
7 x  49 x 
2
p 4 
2
x2  6 x  9 
25 p  80 p  64 
2
1.2 Rationella uttryck
28
Faktorisera
Skriv om följande tal och uttryck så att det blir en multiplikation i stället
p 4 
2
x  6x  9 
2
25 p  80 p  64 
2
TALMÄNGDER
Rationella uttryck
Rationella uttryck
För vilka variabelvärden är uttrycket inte definierat?
5 1
x 
2 2
2 x 2  10x  12  0
x 2  5x  6  0
2
5
5
x      6
2
2
5
1
x 
2
4
5 1
6
x1       3
2 2
2
5 1
4
x2       2
2 2
2
Svar: Ej definierat för x = -2 och x = -3
Rationella uttryck
För vilka variabelvärden är uttrycket inte definierat?
Svar: Ej definierat för x = -2 och x = -3
Testa!
Förlängning
Förkortning
Enklaste form
Förlängning, exempel
Förlängning, exempel
Enklaste form, exempel
Enklaste form, exempel
Enklaste form, exempel
Hur vet man att det är just talet 10 man skall förlänga med?
Varning!!
x  3y
går ej att förkorta
x
VARFÖR!
Varning!!
x  3xy
går att förkorta
x
x  3xy x(1  3 y )

 1  3 y, x  0
x
x
Bryt ut (-1)
Bryt ut -1
Buskar på rad
Buskar på rad
Buskar på rad
y  5x  3
1.3 Funktioner
51
Funktioner
Funktioner
VÄRDEMÄNGD
DEFINITIONSMÄNGD
Räta linjens ekvation
y  0,3x
Räta linjens ekvation
m=1
Räta linjens ekvation
m=6
Räta linjens ekvation
Räta linjens ekvation
y  kx  m
y  2x 1
Räta linjens ekvation
y  kx  m
Andragradsekvationer
x 2 - 6x + 9
2
x - 6x + 11
0
0
Inget nollställe
2
x - 6x + 8
0
Ett nollställe
(dubbelrot)
Två nollställen
NOLLSTÄLLE ÄR DETSAMMA SOM SKÄRNINGSPUNKT MED X-AXELN
Andragradsekvationer
x - 2x - 2
- x - 2x  2
x - 2x - 2  0
- x 2 - 2x  2  0
2
2
2
Andragradsekvationer
2
2
x - 6x + 8  0
x  px  q  0
Lösningsformeln
2
p
 p
x      q
2
2
X=
Halva koefficienten
för x med ombytt
tecken
Kvadraten på halva
koefficienten för x
Konstanta termen
med ombytt tecken
SKRIV DETTA MED DINA EGNA ORD!
Andragradsekvationer
2
2
x  6x  8  0
f(x)  x - 6x + 8
Symmetrilinje
2
6
6
x      8
2
2
x  3
32  8
x  3 9 8
y  3 - 63+8
y  9 -18 + 8  -1
Minimipunkt (3,1)
2
x  3 1
x  3 1
x1  3  1  2
x2  3  1  4
Logaritmer
10  100
2
”2 är 10-logaritmen för 100”
lg100  2
Logaritmer
10  1000
3
”3 är 10-logaritmen för 1000”
lg1000  3
Logaritmer
10  7
x
”x är 10-logaritmen för 7”
8 5
x
”x är 8-logaritmen för 5”
Logaritmer
10 7 7
lg
x7
lg 7  0,845
0,845
10
Enligt räknaren…
7
Logaritmer
(1)
lg 3  4  lg 3  lg 4
(1) lg(3×4) = 1,07918124605 --- lg(3)+lg(4) = 1,07918124605 [test]
(2)
lg(4 / 3)  lg 4  lg 3
(2) lg(4/3) = 0,124938736608 --- lg(4)-lg(3) = 0,124938736608 [test]
(3)
lg 34  4  lg 3
(3) lg(3^4) = 1,90848501888 --- 4×lg(3) = 1,90848501888 [test]
Logaritmlagar
Exempel:
 
lg 5  3  lg 5
3
TESTA!
Logaritmlagar
Exempel:
lg(5  3)  lg 5  lg 3
TESTA!
Logaritmlagar
Exempel:
5
lg   lg 5  lg 3
3
TESTA!
Logaritmer med olika baser
3  81
4
4  log3 81
4 är 3-logaritmen för 81
4 är den exponent till 3 som ger 81
4 är vad 3 skall upphöjas till för att ge svaret 81
Logariter – ett exempel
7  17
x
lg 7  lg17
x  lg 7  lg17
x  lg 7 lg17

lg 7
lg 7
x
Logariter – ett exempel
x  lg 7 lg17

lg 7
lg 7
lg17
x
lg 7
x  1, 45598364109...
På räknaren: lg(17)/lg(7) = 1,45598364109
Exponetialfunktioner &
potensfunktioner
Potensfunktioner
f ( x)  C  x
a
C är ”startvärde”
x är förändringsfaktor
a kan exempelvis vara tid i år
Potensfunktioner
C är ”startvärde”
x är förändringsfaktor
a kan exempelvis vara tid i år
Uppgift:
Värdet på en villa ökade från 2,4 miljoner kr till 3,2 miljoner kr
under en femårsperiod. Vilken är den genomsnittliga årliga
procentuella värdeökningen?
f ( x)  C  xa
Lösning:
Vi sätter den årliga förändringsfaktorn till
då:
2,4  x  31,2
 3,2  5
x

 2,4 
5
x
och får
3,2
x 
2,4
x  1,0592
5
Svar: Värdet ökade med i genomsnitt 5,9 % per år.
Exponentialfunktioner
f ( x)  C  a
x
C är ”startvärde”
a är förändringsfaktor
x kan exempelvis vara tid i år
Exponentialfunktioner
C är ”startvärde”
a är förändringsfaktor
x kan exempelvis vara tid i år
Fråga:
En stad har folkmängden 50 000 invånare. Folkmängden förväntas
öka med 2% varje år. Hur lång tid tar det till dess att folkmängden
är 60 000?
Lösning:
60000  50000 1,02x
f ( x)  C  a
x
60000
6
x
x
 1,02   1, 02
50000
5
6
lg  
5
6
6
x
lg    lg1, 02  lg    x  lg1, 02  x   
lg1, 02
5
5
6
lg  
5
x     9, 2 Svar: Efter c:a 9 år är folkmängden 60 000
lg1, 02
Exponentialfunktioner
f ( x)  C
5 0a,7
xx
Exponentialfunktioner
f ( x)  1C1,a2
xx
Exponentialfunktioner
f ( x)  1,2
x
Vilken är
exponentialfunktionen?
y  Ca
x
Vad vet vi om a?
Vilken är
exponentialfunktionen?
Jag hittar två punkter
(0,5)
(1, 4)
Exponentialfunktion
y  Ca
x
y  5 ax
Insättning av (0,5) ger:
5  C  a0  C  5
Vilken är
exponentialfunktionen?
Exponentialfunktion
(0,5)
y  5 ax
(1, 4)
Insättning av (1,4) ger:
4  5 a 
4
4
1
 a  a   0, 8
5
5
1
Den sökta exponentialfunktion:
y  5  0,8
x
Vilken är
exponentialfunktionen?
y  Ca
x
Vad vet vi om a?
Vilken är
exponentialfunktionen?
y  Ca
x
y  1 2 x
y  2x
Vad vet vi om a?
Folkmängd
Fakta
› Folkmängden ökar med 5 % varje år.
› Första året ökar folkmängden med 750
personer.
Uppgift
› Hur stor är folkmängden om 10 år?
Folkmängd
Folkmängd från början:
0,05 x  750
750
x
= 15000
0,05
Folkmängd om 10 år:
15000 1,05  24400
10
15000 × 1,05 ^ 10   24433, 4194017...
Sätt namn på grafen
Sätt namn på grafen
y   x  2  x  2 
y  x2  2x  2x  4
y  x2  4
Vi ser att när x  0, så är y  -2
Hur gör vi då? Jo, vi multiplicerar med 0,5.
y  0,5   x  2  x  2 
y  0,5  x 2  4 
y  0,5 x 2  2
Funktionen som ger denna graf heter y  0,5( x  2)( x - 2) eller y  0,5x2 - 2
Kontrollera med grafräknare eller med dator!
Kan du det här? 1 (s. 64)
Kan du det här? 1 (s. 64)
Kan du det här? 1 (s. 64)
VAD HETER FUNKTIONEN?
VAD HETER FUNKTIONEN?
VAD HETER FUNKTIONEN?
VAD HETER FUNKTIONEN?
f  x    x  3 x  2
f  x   x 2  2 x  3x  6
f  x   x2  x  6
Men detta stämmer ju inte!
Vad göra…?
f  x   1   x 2  x  6 
f  x    x2  x  6
Testa!!
[ Länk till DESMOS ]
VAD HETER FUNKTIONERNA?
Befolkningsproblem
C är ”startvärde”
x är förändringsfaktor
a kan exempelvis vara tid i år
Uppgift:
Värdet på en villa ökade från 2,4 miljoner kr till 3,2 miljoner kr
under en femårsperiod. Vilken är den genomsnittliga årliga
procentuella värdeökningen?
f ( x)  C  xa
Lösning:
Vi sätter den årliga förändringsfaktorn till
då:
2,4  x  3,2
5
 3,2 
x

 2,4 
1
5
x
och får
3,2
x 
2,4
5
x  1,0592
Befolkningsproblem
C är ”startvärde”
x är förändringsfaktor
a kan exempelvis vara tid i år
Uppgift:
Värdet på en villa ökade från 2,4 miljoner kr till 3,2 miljoner kr
under en femårsperiod. Vilken är den genomsnittliga årliga
procentuella värdeökningen?
f ( x)  C  xa
Lösning:
Vi sätter den årliga förändringsfaktorn till
då:
2,4  x  3,2
5
 3,2 
x

 2,4 
1
5
x
och får
3,2
x 
2,4
5
På räknaren: (3,2/2,4)^(1/5) = 1,05922384105…
Svar: Värdet ökade med i genomsnitt 5,9 % per år.
Befolkningsproblem
Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns
det 122 000 invånare och år 2000 fanns det 199 911
invånare i staden.
Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år.
Vilken är den årliga procentuella ökningen?
Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år?
Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en
halv miljon invånare?
Befolkningsproblem
Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns
det 122 000 invånare och år 2000 fanns det 199 911
invånare i staden.
Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år.
Vilken är den årliga procentuella ökningen?
Befolkningsproblem
Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns
det 122 000 invånare och år 2000 fanns det 199 911
invånare i staden.
Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år?
Befolkningsproblem
Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns
det 122 000 invånare och år 2000 fanns det 199 911
invånare i staden.
Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en
halv miljon invånare?
Befolkningsproblem
Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det 122000 invånare och år 2000 fanns
det 199911 invånare i staden.
Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år.
Vilken är den årliga procentuella ökningen?
Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år?
Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en
halv miljon invånare?
y  C  ax
y  122000  a
20
199911  122000  a 20
1
20
1
199911
 199911 
20
20 20
a 
 a   
 
122000
 122000 
a  1, 0249999...[Lagrar i räknaren i bokstaven U]
Befolkningsproblem
Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det 122000 invånare och år 2000 fanns
det 199911 invånare i staden.
Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år.
Vilken är den årliga procentuella ökningen?
Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år?
Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en
halv miljon invånare?
199911  122000  a 20
1
20
1
199911
 199911 
20
20 20
a 
 a   
 
122000
 122000 
a  1, 0249999...[Lagrar i räknaren i bokstaven U]
Svar: Den årliga procentuella ökningen är c:a 2,5 %.
Befolkningsproblem
Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det 122000 invånare och år 2000 fanns
det 199911 invånare i staden.
Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år.
Vilken är den årliga procentuella ökningen?
Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år?
Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en
halv miljon invånare?
[Förändringsfaktorn a  1, 0249999... finns lagrad i U]
122000 U 35  289530,5113  290000
Svar: 2015 bor det c:a 290000 inånare i staden.
Befolkningsproblem
Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det 122000 invånare och år 2000 fanns
det 199911 invånare i staden.
Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år.
Vilken är den årliga procentuella ökningen?
Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år?
Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en
halv miljon invånare?
500000  122000  U x
500000
122000
 500000 
 500000 
lg U x  lg 

x

lg
U

lg



 122000 
 122000 
Ux 
 500000 
lg 

122000 

x
 57
lg U
Svar: Antalet invånare kommer att vara en halv miljon 2037 (2035 - 2040).
ATT KUNNA TILL PROV 1
› ATT KUNNA TILL PROV 1