Transcript OK8028 - Kunda

KOMPLETTERING AV MA1202
Versionsdatum: 2012-06-13
LINJÄR ANPASSNING
2
2
LINJÄR ANPASSNING
VAD HETER DENNA LINJE?
y  2x  8
EKVATIONSSYSTEM MED 3 OBEKANTA
6 x  2 y  z  7 


8 x  y  5 z  30 
14x  3 y  4 z  3


6 x  2 y  z  7 


8
x

5
z

30

y

 Omskrivning av rad 2
14x  3 y  4 z  3

 Insättning i rad 1 & 3
6 x  2(8x  5z  30)  z  7 


14x  3(8x  5z  30)  4 z  3
EKVATIONSSYSTEM MED 3 OBEKANTA
6 x  2(8x  5z  30)  z  7 


14x  3(8x  5z  30)  4 z  3
6 x  16x  10z  60  z  7 


14
x

24
x

15
z

90

4
z

3


22x  9 z  60  7 


38x  11z  90  3
22x  9 z  67 


38x  11z  93
x  1


 z  5
x  1 


 y  3
z  5 


y  3
KORT OM KOMPLEXA TAL
N Naturliga tal (0), 1, 2, 3, 4... De positiva heltalen
Z Hela tal Alla hela tal, positiva (Z+) som negativa (Z-)
Q Rationella tal kan skrivas som en kvot mellan två hela tal (Nämnaren ≠ 0)
Irrationella tal Det irrationella talet π t ex har ett exakt värde som inte kan
uttryckas med ett ändligt tal och anges därför vanligen
ungefärligt, approximativt, med 3,14.
R Reella tal De rationella och de irrationella talen tillsammans. Mot
varje punkt på tallinjen svarar ett reellt tal.
C Komplexa tal Tal sammansatt av en reell och en imaginär del. Dessa tal
har kommit till för att vi skall få ett svar på frågan: Hur mycket är  1 ?
KORT OM KOMPLEXA TAL
x  1
x   1
2
x  i
KORT OM KOMPLEXA TAL
Komplext tal z
z  a  bi
Realdel
Imaginärdel
Re z = a
Im z = b
i kallas imaginära enheten och har egenskapen i² = -1
KORT OM KOMPLEXA TAL
z  2i
z  2i
z  2  i
zi
z  3  2i
KORT OM KOMPLEXA TAL
Skriv som ett imaginärt tal
 25
ab  a  b
25 (1)  25  (1)  5  i  5i
 25  5i
KORT OM KOMPLEXA TAL
Lös ekvationen 3x 2  45  18x
3x  18x  45  0
x  3  ( 6  1)
x  6 x  15  0
x  3 6i
2
2
x  3  9 15
x  3 6
POTENSER
EXPONENTIALFUNKTIONER
Ett kapital på 100000 kronor har på fem år vuxit till 190000 kronor.
a) Låt x vara förändringsfaktorn och ställ upp en ekvation.
100000 x  190000
5
b) Hur många procents årlig ränta motsvarar detta?
x  1,9
5
1
 
5
x  1,9
x  1,137 1,9^(1/5) = 1,13697448881
Svar: C:a 13,7 % årlig ränta
LOGARITMER
10  y  x  lg y
x
x kallas för 10-logaritmen för y
10  1000
3
10-logaritmen för 1000 = 3
lg1000 3
LOGARITMER
10  y  x  lg y
x
LOGARITMER
Lös ekvationen 10x = 18
Exakt
x
10  18
x  lg18
Ett närmevärde med tre decimaler
x  1,255
lg(18) = 1,2552725051
LOGARITMLAGARNA
Jämför:
LOGARITMLAGARNA
lg(6)  lg(2  3)  lg 2  lg 3
Kontroll med räknare:
lg(6) = 0,778151250384
lg(2)+lg(3) = 0,778151250384
LOGARITMLAGARNA
lg(12 / 2)  lg(6)  lg12  lg 2
Kontroll med räknare:
lg(6) = 0,778151250384
lg(12)-lg(2) = 0,778151250384
LOGARITMLAGARNA
lg 6  3  lg(6)
3
Kontroll med räknare:
lg(6^3) = 2,33445375115
3 × lg(6) = 2,33445375115
LOGARITMER
Lös ekvationen 5x = 8
lg 5  lg 8
x  lg 5  lg 8
lg 8
x
lg 5
x
lg(8)/lg(5) ≈ 1,292
EXPONENTIALFUNKTIONER
Anders sätter in 4000 kr på ett bankkonto med fast ränta. Efter fem år
har beloppet vuxit till 4640 kr.
a) Beräkna räntesatsen
4000 x5  4640
x5  1,16
1
 
5
x  1,16
x  1,03
Svar: Årsräntan är 3 %
EXPONENTIALFUNKTIONER
Anders sätter in 4000 kr på ett bankkonto med fast ränta. Efter fem år
har beloppet vuxit till 4640 kr.
b) Efter hur många år har beloppet fördubblats?
40001,03x  8000
1,03x  2
lg1,03x  lg 2
x  lg1,03  lg 2
lg 2
x
lg(2)/lg(1,03) = 23,4497722504
lg 1,03
Svar: Beloppet fördubblas efter c:a 23,5 år.
SKALA
Alla sträckor i bilden till höger är dubbelt så stora i den till vänster.
1
Längdskalan är Skala 1:2
2
2
Areaskalan är Skala 1:4
2
1
1 1


 
2
2
2
4
 
3
Volymskalan är Skala 1:8
3
1
1 1


 
3
2
2
8
 
SKALA
Alla sträckor i bilden till höger är dubbelt så stora i den till vänster.
Längdskalan är Skala 1:2
Varje sträcka är dubbelt så lång i den högra figuren
Areaskalan är Skala 1:4
Varje area är fyra gånger så stor i den högra figuren
Volymskalan är Skala 1:8
Volymen av den högra figuren är åtta gånger större än den vänstra.
LIKFORMIGHET MED BEVIS
KONGRUENS
KONGRUENS
AVSTÅNDSFORMELN
AVSTÅNDSFORMELN
Har du sett denna formel förut?
Jo, det är ju Pythagoras sats i ny skepnad
AVSTÅNDSFORMELN
MITTPUNKTSFORMELN
3 1 4
x
 2
2
2
3  (3) 0
y
 0
2
2
Mittpunkten är vid (2,0)
STANDARDAVVIKELSE
STANDARDAVVIKELSE
Ibland ser man grekinskans lilla sigma σ i stället för s som symbol för
Standardavvikelse.
NORMALFÖRDELNING
NORMALFÖRDELNING
Ibland ser man grekinskans ”lilla sigma” σ i stället för s som symbol för
Standardavvikelse.
NORMALFÖRDELNING
NORMALFÖRDELNING
MODELLERING
MODELLERING
MODELLERING
MODELLERING
1. Tryck STAT + ENTER
2. Mata in x-värdena i L1-kolumnen
3. Mata in y-värdena i L2-kolumnen
4. Nu skall det se ut så här
MODELLERING
5. Tryck 2ND + QUIT
6. Tryck STAT + CALC + ExpReg + ENTER
7. Nu bör det se ut så här:
8. Tryck ENTER
9. Nu bör det se ut så här:
10. Den sökta ekvationen:
y  539 0,575
x