Transcript 1.4 Exponential och potensfunktioner

1.4 Exponential och potensfunktioner
Tillämpningar på potenser
Ett höjdhopp
Höjdhopp är en av grenarna i sjukamp för damer.
Poängen 𝑃(ℎ)för ett höjdhopp beräknas med
potensfunktionen
𝑃 ℎ = 1,84523 ℎ − 75
1,348
där ℎ är höjden i centimeter.
𝑎) Vilken poäng ger ett hopp på 174 cm?
ℎ = 174 → 𝑃 174 = 1,84523 174 − 75
Svar: Ett hopp på 174 cm ger 904 poäng.
1,348
= 1,84523 99
1,348
≈ 904
Ett höjdhopp
Höjdhopp är en av grenarna i sjukamp för damer.
Poängen 𝑃(ℎ)för ett höjdhopp beräknas med
potensfunktionen
𝑃 ℎ = 1,84523 ℎ − 75
1,348
där ℎ är höjden i centimeter.
𝑏) Hur högt skall man hoppa för att få 1000 poäng?
ℎ = ? och 𝑃 ℎ = 1000
1,84523 ℎ − 75
1,348
= 1000 ↔ ℎ − 75
1000
↔ ℎ − 75 =
1,84523
1/1,348
1,348
1000
↔ℎ=
1,84523
1000
=
↔
1,84523
1/1,348
+ 75 ↔ ℎ ≈ 182
Svar: För att få 1000 poäng så måste man hoppa 182 cm.
1424
𝑎) Beräkna sidan i en kub med volymen 225 cm³.
𝑥 3 = 225
↔𝑥=
3
↔ 𝑥 3×1/3 = 2251/3 ↔ 𝑥 =
225
3
𝑥
225 ↔
↔ 𝑥 ≈ 6,1
Svar: Kuben har sidor med längden 6,1 cm.
𝑥
𝑥
𝑏) Beräkna radien i ett klot med volymen 225 cm³.
225 × 3
4𝜋𝑟 3
3
↔
225
×
3
=
4𝜋𝑟
↔
= 𝑟3 ↔
225 =
4𝜋
3
225 × 3
↔
4𝜋
1/3
= 𝑟 ↔ 𝑟 = 3,77
Svar: Radien i klotet är 3,77 cm.
𝑟
4𝜋𝑟 3
𝑉=
3
1429
En dator minskade i värde från 36 000 kr till 4000
kr på 5 år. Vilken årliga värdeminskning i procent
svarar detta mot?
Vi kallar den årliga förändringsfaktorn för 𝑥
4000
4000
36000 × 𝑥 5 = 4000 ↔ 𝑥 5 =
↔𝑥=
36000
36000
↔ 𝑥 = 0,64439
→ −35,6 % årligen
Svar: Värdet på datorn minskar årligen med 35,6 %.
1/5
↔
Logaritmer
PH skalan
Richterskalan
Populationstillväxt
Radioaktivt sönderfall
Logaritmer använder vi för att lösa exponentialekvationer
Exponentialfunktioner
𝑎𝑥 : 𝑎 är basen och 𝑥 är
exponenten
ex: 95 : basen 9 och exponenten 5.
En funktion på formen 𝑓(𝑥) = 𝐶𝑎 𝑥 kallas exponentialfunktion.
𝐶 och 𝑎 är konstanter och 𝑎 > 0.
Värdet a skulle kunna liknas vid förändringsfaktorn
Värdet C skulle kunna ses som startvärdet
y = Cax
a>1
ff > 1 → ökning
y = Cax
0<a<1
0 < ff < 1 → minskning
Pingviner
En pingvinpopulation på 8000 pingviner
ökar med 6,5 % per år. Tabellen beskriver
ökningen.
+ 6,5% → vi har 106,5% → ff = 1,065
Tid (å𝑟)
Antal pingviner
0
8000
1
8000 × 1,065 ≈ 8520
2
8000 × 1,0652 ≈ 9074
3
8000 × 1,0653 ≈ 9664
…
…
t
8000 × 1,065t
N = 8000 × 1,065t
N är antalet pingviner efter t år.
N
t
Dubbla mängden pingviner
N = 8000 × 1,065t
N är antalet pingviner efter t år.
N
t
Exempel
Ett par nyblivna föräldrar sätter in 100 kr på
ett sparkonto till sitt barn. De blir lovade en
årsränta på 4 %. Hur många år tar det till dess
att det finns 5000 kr på kontot.
1474
𝑥
Ange en exponentialfunktion 𝑦 = 𝐶𝑎
vars graf går genom punkterna i figuren.
0, 512
2, 32
1489
En arkeolog tror sig ha funnit resterna av
Noas ark som enligt bibeln byggdes
ungefär 4000 f Kr. Vilken halt av kol-14
kan hon förvänta sig i fyndet.
𝑦 = 100 × 0,5
𝑥
5730
Kol-14 finns i levande
organismer, när organismen dör
tillförs inga fler kol-14 atomer
och dessa sönderfaller med en
halveringstid på 5730 år.
Logaritm
lg 10 =
Tio upphöjt till något skall bli
Logaritmen med basen
10 skriver vi som lg
log10
lg 100 =
lg 1000 =
lg 10000 =
lg 1 =
Vad är lg 500 ungefär?
lg 0 =
Vad är lg 2 ungefär?
10lg 𝑥 = 𝑥
lg 100 = 2
lg 𝑎 = 𝑥
100 = 102
𝑎 = 10𝑥
100 = 10lg 100
𝑎 = 10lg 𝑎
𝑦
𝑦 = lg 𝑥
𝑥
Logaritmlagarna – Produkt
10lg(𝐴×𝐵)
lg 𝐴𝐵 = lg 𝐴 + lg 𝐵
𝐴×𝐵 =
10lg 𝐴 × 10lg 𝐵 = 10lg 𝐴:lg 𝐵
𝑦 𝑚 × 𝑦 𝑛 = 𝑦 𝑚:𝑛
Logaritmlagarna – Kvot
𝐴
=
𝐵
10lg(𝐴/𝐵)
lg 𝐴/𝐵 = lg 𝐴 − lg 𝐵
10lg 𝐴
10lg 𝐵
𝑦𝑚
= 𝑦 𝑚;𝑛
𝑛
𝑦
= 10lg 𝐴;lg 𝐵
Logaritmlagarna – Potens
𝐴 = 10lg 𝐴
𝐴𝑛 = 10lg 𝐴
𝑛
𝐴𝑛 = 10𝑛×lg 𝐴
lg 𝐴𝑛 = lg 10𝑛×lg 𝐴 = 𝑛 × lg 𝐴
Vad skall vi höja upp 10 med för att få 10𝑛×lg 𝐴
lg 𝐴𝑛 = 𝑛 × lg 𝐴
Logaritmlagarna
lg 𝐴𝐵 = lg 𝐴 + lg 𝐵
lg 𝐴/𝐵 = lg 𝐴 − lg 𝐵
lg 𝐴𝑛 = 𝑛 × lg 𝐴
1444
𝑎) 5𝑥 = 8 ↔ lg 5𝑥 = lg 8 ↔
lg 𝐴𝑛 = 𝑛 × lg 𝐴
lg 8
↔ 𝑥 × lg 5 = lg 8 ↔ 𝑥 =
↔ 𝑥 = 1,292029674
lg 5
b) 3𝑥 = 12 ↔ lg 3𝑥 = lg 12
↔ 𝑥 × lg 3 = lg 12 ↔ 𝑥 =
lg 12
↔
lg 3
↔ 𝑥 = 2,261859507
𝑦 = 10𝑥
𝑦 = lg 𝑥
1445
20
𝑎) lg 𝑥 = lg 20 − lg 4 ↔ lg 𝑥 = lg
4
↔ lg 𝑥 = lg 5 ↔ 𝑥 = 5
lg 𝐴/𝐵 = lg 𝐴 − lg 𝐵
𝑏) lg 2𝑥 = lg 6 + lg 5 ↔ lg 2𝑥 = lg 6 × 5 ↔ 2𝑥 = 30 ↔ 𝑥 = 15
lg 𝐴𝐵 = lg 𝐴 + lg 𝐵
1447
Vilka fel gör de?
𝑎) Per förenklar lg 37 − lg 8 och får
37
lg 37 − lg 8 = lg
8
lg 37
lg 8
lg 𝐴/𝐵 = lg 𝐴 − lg 𝐵
är ett korrekt sätt att omvandla detta uttryck
𝑏) Pia förenklar lg 5𝑥 2 och får 2 lg 5𝑥
lg 𝐴𝐵 = lg 𝐴 + lg 𝐵
lg 𝐴𝑛 = 𝑛 × lg 𝐴
lg 5𝑥 2 = lg 5 + lg 𝑥 2 = lg 5 + 2 lg 𝑥
är ett korrekt sätt att omvandla detta uttryck
1451
Anta att du vet att 101,3 ≈ 20. Ge då ett närmevärde till lg 2000.
Vad skall vi höja upp 10 med för att få 2000?
101,3 ≈ 20 ↔ 101,3 × 100 ≈ 20 × 100 ↔ 101,3 × 102 ≈ 2000 ↔
𝑦 𝑚 × 𝑦 𝑛 = 𝑦 𝑚:𝑛
↔ 101,3:2 ≈ 2000 ↔ 103,3 ≈ 2000 ↔ 3,3 lg 10 ≈ lg 2000 ↔ 3,3 ≈ lg 2000
Svar: 3,3 borde vara en rätt bra approximation till lg 2000.
Vi kan kontrollera med 103,3 = 1995,26.
𝑦 = 2𝑥
Andra baser än 10
2𝑥 = 3
3 = 10lg 3
2 = 10lg 2
10lg 2
𝑥
𝑦=3
= 10lg 3
10𝑥×lg 2 = 10lg 3
𝑥 × lg 2 = lg 3
lg 3
𝑥=
lg 2
Ett exakt svar
𝑥 = 1,584962501
21,584962501 = 3
Potensform och logaritmform
1000 = 103
lg 1000 = 3
1000000 = 106
lg 1000000 = 6
625 = 54
log 5 625 = 4
Vad skall vi höja upp 5 med för att få 625?
64 =
26
log 2 64 = 6
Vad skall vi höja upp 2 med för att få 64?
243 = 35
log □ □ = □
Definition
𝑎 𝑥 = 𝑏 ↔ 𝑥 = log 𝑎 𝑏
𝑥 är 𝑎-logaritmen för 𝑏
𝑥 är den exponent till
𝑎 som ger 𝑏
1456
Anta att du vill beräkna värdet av log 7 12. Räknaren har ingen knapp för
7-logaritmer. Hur gör du?
Vad skall vi höja upp 7 med för att få 12?
lg 12
lg 12
↔𝑥=
7 = 12 ↔ 𝑥 lg 7 = lg 12 ↔ 𝑥 =
↔ 𝑥 = 1,276989
lg 7
lg 7
𝑥
lg 𝐴𝑛 = 𝑛 × lg 𝐴