Transcript Digital

Telekommunikation, Vt-05
Signaler
F1_A
F1_A_be
1
SIGNALER och SIGNALBESKRIVNING
Nya begrepp att kunna:
• Deterministisk
• Periodisk
• Stokastisk
• Icke-periodisk
• Medelvärde
• Transient
• Varians
• Digital
• PDF
• Analog
• CDF
F1_A_be
2
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
-0.5
-1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
-0.5
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Amplitud-diskret
Tids-kontinuerlig
Analog
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
-0.5
-1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Amplitud-kontinuerlig
Tids-diskret
-0.5
1
F1_A_be
0
0.2
0.4
0.6
Amplitud-diskret
Tids-diskret
0.8
1
Digital
3
Exempel på digital signal:
1
0.8
0.6
-3
x 10
-4.8
0.4
-5
0.2
-5.2
0
-5.4
-5.6
-0.2
-5.8
-0.4
-6
-0.6
-6.2
-0.8
-1
0.16
-6.4
-6.6
0.17
0.18
0.19
0.2
Time [sek]
0.21
0.22
0.23
-6.8
0.504
Inspelat ljud
0.506
0.508
0.51
0.512
Time [sek]
0.514
0.516
= sampel ( mätpunkt )
Samplingsfrekvens 8192 Hz
F1_A_be
4
Medel(x) = 0.1161
Varians(x) = 0.7697
Variansen skrivs ofta 2
•STOKASTISKA
SIGNALER
( random signals )
Amplitud(x) = 1.5
Frekvens(x) = 2
x(t)=1.5*sin(2π*2*t)
•DETERMINISTISKA
SIGNALER
F1_A_be
5
>> help rand
RAND Uniformly distributed random numbers.
>> x=rand(1,1000);plot(x,'k')
>> hist(x)
>> var(x) =
0.0833
>> mean(x) =
0.5001
F1_A_be
6
RANDN Normally distributed random numbers.
RANDN(N) is an N-by-N matrix with random entries, chosen from
a normal distribution with mean zero, variance one and standard
deviation one.
>> x=rand(1,1000);plot(x,'k')
>> hist(x)
>> var(x)
0.9994
>> mean(x)
0.0464
F1_A_be
7
Fyrkantvåg:
( square wave )
•Stokastisk/Deterministisk ?
•Frekvens ?
•Amplitud ?
•Histogram ?
F1_A_be
8
Slumpmässig
digital
signal.
x=rand(1,20)>0.5;
stairs( x>0.5,'k');
hist(x);
Bit-tid
F1_A_be
9
•Stokastisk/Deterministisk ?
•Frekvens ?
•Amplitud ?
•Histogram
F1_A_be
10
Amplitudegenskaper för analoga signaler
• En sinusformad signal
med periodtiden T och
frekvensen f kan beskrivas
genom sin amplitud A
u (t )  A  sin( 2  f  t )
T
• Man kan enkelt beräkna
DC-nivå och effektivvärde
(RMS) för varje periodisk
funktion
u DC
1
  u (t )dt
T 0
T
u RMS
F1_A_be
1
2

u
(
t
)
dt

T 0
11
A
%sin_plot.m
A=1;
uRMS
f=2;
t=0:0.01:1;
u=A*sin(2*pi*f*t);
uDC
plot(t,u,'k');
xlabel('t [s]');
ylabel('u(t)');
F1_A_be
12
Effekt i Sinus-signal
Enligt el-läran:
PSINUS
2
U RMS

R
[Watt ] där R = belastning i ohm (  )
Effekt i Brus-signal
U RMS     Pbrus 
2
R
Vid signalberäkningar sätter man ofta R = 1 och får alltså
PBrus   2
F1_A_be
13
15
Brus-effekt = 4 [W]
2
 5 
  12.5 [W ]
 2
10
Sinus-effekt = 
5
0
(Signal + Brus ) - effekt i W ?
Signal/Brus-förhållande i dB ?
-5
-10
-15
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000 10000
F1_A_be
14
Digitala signaler
För digitala signaler
man man t.ex ange
medelvärde och
standardavvikelse
xmedel
1

N
N 1
 x[n]
n 0
1 N 1
2
xstdav 
(
x
[
n
]

xmedel
)

( N  1) n 0
x=[1 4 6 8];
N=length(x);
xmedel=(1/N)*sum(x)
temp=sum( (x-xmedel).^2);
xstdav=sqrt( (1/(N-1)*temp))
F1_A_be
15
3 signalanalys-tekniker
• Frekvensanalys – används för att beskriva
vilka frekvenser som bygger upp signalen
• Korrelation – används för att jämföra signaler
• Beräkning av täthetsfunktion och
sannolikhetsfunktion
F1_A_be
16
Amplitudtäthetsfunktion
Probability Density Function (PDF)
Sannolikheten att signalen har en
Amplitud i intervallet y till y+dy:
y+dy
y
 dt1  dt 2  ... 
dq  lim 

T 
T


dt1
dt2
F1_A_be
17
Sannolikheten beror av dy, varför vi inför:
p( y) 
Amplitudtäthetsfunktionen:
dq
dy
Vidare sannolikheten att signalens amplitud ligger i intervallet a till b:
b
P(a  y  b)   p( y)dy
a
0



 p( y )dy  ?
 p( y )dy  ?
F1_A_be
18
Några viktiga samband:
En signals medelvärde ( mean, expected value ) och dess
effektivvärde eller standardavvikelse = 

ymedel 
 p( y)  y  dy  Ey



yeff 
2
2
2
p
(
y
)

(
y

y
)

dy


medel
y  E  y  E[ y ]

2


yeff   y
(effektivvärde)
F1_A_be
19
Exempel: Bestäm täthetsfunktionen för en sinussignal.
2
T
y  sin(
 t)  t 
 arcsin( y )
T
2
T
1
 dt 

 dy
2
2 1  y
dy
dt
dt
T
2dt
dq 
 p ( y )  dy 
T
1
1
p( y)  
 1 y2
F1_A_be
20
Ex: Sannolikheten att sinuskurvans värde < -0.5:
0.5
P( y  0.5) 
 p( y)dy 
0.5
1
p( y) 
1


1
1 y2

1

 0.5
 arcsin( y ) 1  ... 
F1_A_be

1
1


1
1 y
2
dy 
1
3
21
Amplitudsannolikhetsfunktion
( Cumulative Distribution Function, (CDF) )
y
cdf ( y ) 
 pdf (t )  dt

d (cdf )
pdf 
dy
y=-1:0.01:1;
cdf=(1/pi)*(asin(y)-asin(-1));
F1_A_be
22
Hur ser PDF och CDF ut för kast med symmetriskt mynt
resp. symmetrisk tärning ?
F1_A_be
23
Den mest berömda Amplitudtäthetsfunktion: Gauss-fördelningen eller
Normalfördelning
pdf  p( y) 
1
2  
e

( y m)2
2 2
m=0
σ=1
m = medelvärde
σ = standardavvikelse
m = 1.5
σ = 0.5
F1_A_be
24
m=0
σ=1
”Svans”
Hur stor är sannolikheten att
Signalens amplitud > 2 σ?
Sannolikheten blir = svansens yta som beräknas:
I MATLAB
0.5*erfc(2/sqrt(2)) = 0.0228
Alternativt kan Q(x)-funktionen som finns i formelsamlingen användas:
Q(2)=0.0275
F1_A_be
25
Motsvarande CDF:
y
cdf ( y, m,  ) 


1
2  
e

(t m)2
2 2
dt
m=0
σ=1
y
F1_A_be
26
KORRELATION
• Korrelation kan användas för att hitta en signal y[n]
i en annan signal x[n]
N 1
Rxy ( j )   x[k ]  y[k  j ]
k 0
• Korrelationen är ett mått på likheten mellan
x och y vid tidpunkten j
F1_A_be
27
Exempel:
Ett känt mönster x: 0 1 0
sökes i signalen y: 0 0.2 1.25 0.12 0 0
Korrelationen = ”Kors”-korrelationen blir:
Tolkning:
x verkar finnas i y med en
offset på 1.
F1_A_be
28
MATLAB-program som genererar figuren ovan.
%F22
%Cross-correlation
%Look for pattern in data
x=[ 0 0.2 1.25 0.12 0 0 0];%Data
y=[ 0 1 0 ];%Pattern
Lx=length(x);
Ly=length(y);
M=max(Lx,Ly);
L=2*M-1;%Correlation length
L2=round(L/2);
Rxy=xcorr(x,y); %Cross-correlation function
j=-L2+1:L2-1;%Offset
stem(j,Rxy,'filled','k');
F1_A_be
29
En sinusfunktion med frekvens 5 Hz korrelerad
med sig själv ( ”Auto-korrelation” ):
%F23
%Auto-correlation
dt=0.001;
t=0:dt:1;
x=sin(2*pi*5*t);%Data 5
Hz
Lx=length(x);Ly=length(y);
M=max(Lx,Ly);
L=2*M-1;%Correlation
length
L2=round(L/2);
Rxy=xcorr(x,x);
j=-L2+1:L2-1;%Offset
plot(j*dt,Rxy,'k');
F1_A_be
30
Gaussiskt brus korrelerat med sig själv
F1_A_be
31
Ex: sinus i brus
Signal
Var finns Signalen i bruset ?
F1_A_be
32
Korrelation mellan Signal och Signal i brus
F1_A_be
33
%F25
%Search for signal
%in noise
dt=0.01;
t1=0:dt:1;
x1=sin(2*pi*2*t1);%Signal 2 Hz
%
figure(1)
plot(t1,x1,'k');
%
m1=randn(1,1001);%Gaussian Noise
m1(201:301)=m1(201:301)+x1;%Insert Signal
t=0:dt:10;
figure(2)
plot(t,m1,'k');
%
Lx=length(m1);Ly=length(y);
M=max(Lx,Ly);
L=2*M-1;%Correlation length
L2=round(L/2);
Rxy=xcorr(m1,y);
j=-L2+1:L2-1;%Offset
figure(3)
plot(j*dt,Rxy,'k');
F1_A_be
34
Några MATLAB-övningar
1. Beräkna medelvärde och standardavvikelse (=effektivvärde)
för dessa periodiska signaler, alla med amplitud 1
xmedel =
0.6358
xmedel =
0.3179
xmedel =
0.5005
xstdav =
0.3088
xstdav =
0.3858
xstdav =
0.2892
Användbara funktioner: sin
och
sawtooth
F1_A_be
35
2. Beräkna sannolikheten att en normalfördelad signal har en
amplitud >+2 om
a. Medelvärdet = 0 och standardavvikelse = 0.5 (3.1671e-005)
b. Medelvärdet = 1 och standardavvikelse = 2 (0.3084)
3.
Generera ett bitmönster
på t.ex 10 bitar med 10
sampel/bit.
(Nivåer –1 och +1 )
Addera gaussiskt
( normalfördelat brus)
med effektivvärdet 1 :
F1_A_be
36
Den brusiga signalen
kan se ut så här:
a. Beskriv någon metod
att avkoda denna signal,
dvs återskapa bitmönstret.
b. Beräkna sannolikheten
för bitfel (”BER” ) som
funktion av signal/bruskvoten i dB. Räkna på
t.ex 1000 bitar
F1_A_be
37