Transcript Referens :: Reella polynom

c Mikael Forsberg
8 december 2010
Referens :: Reella polynom
Sammanfattning
Vi g˚
ar igenom komplexa nollst¨
allen till reellla polynom. Det viktiga resultatet om nollst¨
allen till polynom
med reella polynom ¨
ar att ickereella nollst¨
allen kommer parvis: om z = x + iy ¨
ar ett icke reellt nollst¨
alle
s˚
a¨
ar ocks˚
a konjugatet z = x − iy ett nollst¨
alle.
N¨
ar man vill faktorisera ett reellt polynom i reella faktorer s˚
a kan man inte ta med f¨
orstagradsfaktorer som
kommer fr˚
an ickereella nollst¨
allen, eftersom dessa inte ¨
ar reella. Men eftersom dessa kommer parvis kan
man multiplicera faktorerna som h¨
or till ett s˚
adant par och d˚
a f˚
ar man en reell andragradsfaktor. Reella
polynom faktoriseras i ett antal andragradsfaktorer som kommer fr˚
an ickereella par av nollst¨
allen samt ett
antal f¨
orstagradsfaktorer som kommer fr˚
an de reella nollst¨
allena.
Reella polynom
Ett polynom
p(z) = a0 + a1 z + a2 z 2 + · · · + an z n
¨ar reellt om alla koefficienterna a0 , . . . an ¨ar reella tal.
√
√
Exempel 1. p(z) = 1 + z + 3z 2 + 23z 3 a¨r ett reellt polynom men q(z) = 1 + z + i 3z 2 + 23z 3
¨ar inte rellt.
F¨or att se vart vi ¨
ar p˚
a v¨
ag s˚
a kan vi titta p˚
a f¨oljande exempel
Exempel 2. Betrakta polynomet 1 + x2 . Vi ser direkt att dess nollst¨allen ¨ar x = ±i.
Vad a¨r speciellt med detta? Man ska notera att det ena nollst¨allet a¨r det komplexa konjugatet av
¨ detta en slump eller a¨r det f¨or att ovanst˚
det andra. Ar
aende polynom a¨r s˚
a enkelt?
Exempel 3. L˚
at oss titta p˚
a polynomet p(z) = 5 + 2z + z 2 . Dess nollst¨allen ¨ar z = −1 ± 2i.
˚
Aterigen ser vi att komplexa nollst¨
allen f¨oljs ˚
at tv˚
a och tv˚
a!
Vi generaliserar dessa tv˚
a exempel mha f¨oljande exempel:
Exempel 4.
ant reellt andragradspolynom z 2 +az+b s˚
a blir ju dess nollst¨allen
q Om man tar ett allm¨
2
2
a har polynomet icke-reella nollst¨allen. Och
z = − a2 ± a −4b
4 . Om diskriminanten a − 4b < 0 s˚
dessa f¨
oljs ˚
at parvis nollst¨
allet och dess konjugat!!
F¨ordjupning av dessa observationer ger f¨oljande sats:
Theorem 5. Om p(z) = a0 + a1 z + a2 z 2 + · · · + an z n ¨ar reellt s˚
a g¨aller att om z = a + ib ¨ar ett
icke reellt nollst¨
alle s˚
a¨
ar dess konjugat z = a − ib ocks˚
a ett nollst¨alle.
Bevis. L˚
at z0 vara ett nollst¨
alle till p. Vi m˚
aste visa att p(z0 ) = 0. Vi har f¨oljande
0 = a0 + a1 z0 + a2 zo2 + · · · + an z0n = a0 + a1 z0 + a2 z02 + · · · + an z0n =
= a0 + a1 z0 + a2 z0 2 + · · · + an z0 n = a0 + a1 z0 + a2 zo 2 + · · · + an z0 n =
= p(z),
d¨ar vi utnyttjat r¨
akneregler f¨
or konjugering och att
a ∈ R ⇔ a = a.
1
c Mikael Forsberg
8 december 2010
Exempel 6. Hitta nollst¨
allena till polynomet p(x) = x4 − 5x3 − 2x2 + 46x − 60, d˚
a man vet att
ett nollst¨
alle ¨
ar x = 3 + i.
Eftersom detta polynom ¨
ar reellt s˚
a har vi enligt ovanst˚
aende sats att komplexa nollst¨allen kommer
a ocks˚
a ¨ar ett
parvis. Till det givna nollst¨
allet x = 3 + i h¨or allts˚
a dess konjugat x = 3 − i, som allts˚
nollst¨alle. Enligt faktorsatsen ¨
ar p delbart med b˚
ada faktorerna z−(3+i) och z−(3−i) som h¨or ihop
med nollst¨
allena. Detta betyder att p ¨ar delbart med dessa faktorers produkt (z−(3+i)(z−(3−i)) =
x2 − 6x + 10. Utf¨
or vi nu polynomdivisionen f˚
ar vi att
p(x) = (x2 − 6x + 10)(x2 + x − 6)
De andra faktorn har nollst¨
allena x = 2 eller x = 3, och d˚
a har vi hittat alla nollst¨allen till p!
¨
Ovningsuppgifter
¨
Ovning
7. Ekvationen z 4 + 3z 2 − 6z + 10 = 0 har en l¨osning z = −1 + 2i. Best¨am de andra
l¨osningarna
¨
Ovning
8. Ekvationen z 4 + 2z 3 + 3z 2 + 2z + 2 = 0 har l¨osningen z = −1 + i, best¨am alla andra
l¨osningar.
Irreducibla faktorer till reella polynom
Theorem 9. Om p ¨
ar ett reellt polynom s˚
a kan man faktorisera p i ett antal rella f¨orstagradsfaktorer
och ett antal reella andragradsfaktorer.
Bevis. Som en f¨
oljd av algebrans fundamentalsats, faktorsatsen och divisionsalgoritmen s˚
a vet vi
att varje polynom faktoriseras i lika m˚
anga f¨orsta gradsfaktorer som det finns nollst¨allen.
p(z) = cn (z − a1 ) . . . (z − an )
F¨or ett reellt polynom f¨
orekommer ickereella faktorer parvis och deras faktorer multipliceras ihop
till en reell andra gradsfaktor. Om vi l˚
ater a1 , . . . a2k , 2k ≤ n vara v˚
ara icke reella nollst¨allen s˚
a
kan vi skriva p som
p(z) = cn (z 2 + b1 z + d1 ) · · · (z 2 + bk z + dk )(z − a2k+1 ) · · · (z − an ),
d¨ar z 2 + bj z + dj , j = 1 . . . k ¨
ar de k stycken reella andra gradsfaktorer som v˚
ara ickerella
nollst¨allespar ger upphov till och a2k+1 , . . . , an ¨ar de reella nollst¨allena
Corollary 10. Om ett reellt polynom har udda gradtal s˚
a finns det minst ett reellt nollst¨alle.
¨
Ovningsuppgifter
¨
Ovning
11. Skriv polynomet p(z) = z 4 + 3z 2 − 6z + 10 fr˚
an ¨ovning 7 som en produkt av reella
faktorer av h¨
ogst grad 2.
¨
Ovning
12. Skriv polynomet p(z) = z 4 + 2z 3 + 3z 2 + 2z + 2 fr˚
an ¨ovning 8 som en produkt av
reella faktorer av grad h¨
ogst 2.
2