1.2 Slumpförsök med flera föremål eller steg

Komplementhändelse

Komplementhändelse

Den sammanlagda sannolikheten för de olika utfallen i ett slumpförsök är alltid 1 𝑃(𝑘𝑟𝑜𝑛𝑎) + 𝑃(𝑘𝑙𝑎𝑣𝑒) = 0,5 + 0,5 = 1 Detta samband är något vi kan använda oss av i problemlösning.

Komplementhändelse

En påse innehåller 4 vita och 8 svarta kulor. Hur stor är sannolikheten att få åtminstone en vit kula på fyra försök? 4 vita 3 vita 1 vit Åtminstone en vit 2 vita 4 svarta Att räkna ut sannolikheten för alla de utfall med åtminstone en vit kan bli ganska omständigt. Att räkna ut sannolikheten för 4 svarta är dock inte så svårt. Vet vi P(4 svarta) så kan vi beräkna P(åtminstine en vit) = 1 – P(4 svarta) = = 1 – 8/12 × 7/11 × 6/10 × 5/9 = 1 – 1680/11880 ≈ 1 – 0,14 = 0,86 Svar: Sannolikheten att få minst 1 vit kula är 86 %.

Exempel

På sin skolväg passerar en elev två trafiksignaler, som visar rött ljus 60 % respektive 70 % av tiden. Beräkna sannolikheten att eleven en dag på väg till skolan får rött ljus på minst ett ställe. Trafiksignalerna förutsätts vara oberoende av varandra. Vid formuleringar som minst och åtminstone tänk komplementhändelse Rött Grönt 0,6 0,7 0,3 0,4 0,7 0,3 Gynnsamma utfall Komplementhändelsen: grönt på båda lysena

Exempel

På sin skolväg passerar en elev två trafiksignaler, som visar rött ljus 60 % respektive 70 % av tiden. Beräkna sannolikheten att eleven en dag på väg till skolan får rött ljus på minst ett ställe. Trafiksignalerna förutsätts vara oberoende av varandra. 0,6 0,4 Rött Grönt A: Man får åtminstone ett rött ljus B: Man får två gröna ljus

(inget rött)

0,7 0,3 0,7 0,3 P(A) = 1 – P(B) = 1 – 0,4 × 0,3 = 1 – 0,12 = = 0,88 = 88 % Gynnsamma utfall Komplementhändelsen: grönt på båda lysena Svar: Sannolikheten att få åtminstone ett rött ljus på vägen till skolan är 88 %.

Exempel

Två tärningar kastas Beräkna sannolikheten för att de visar olika antal prickar. A: Olika antal prickar B: Lika antal prickar P(A) = 1 – P(B) = 1 – 6/36 = 1 – 1/6 = 5/6 ≈ 0,833 = 83 % Svar: Det är 83% chans att man får olika resultat på om man kastar två tärningar.

Några komplementhändelser

Du drar 5 kort ur en kortlek. Vad är komplementhändelsen till... åtminstone en 3:a? Ingen 3:a minst en hjärter? ingen spader? Ingen hjärter Åtminstone en spader