Transcript Matematisk statistik Tentamen: 2012–10–26 kl 1400–1900

Matematisk statistik
Matematikcentrum
Lunds tekniska högskola
Lunds universitet
Tentamen: 2012–10–26 kl 1400 –1900
FMS 086 — Matematisk statistik för bio- och kemitekniker, 7.5 hp
MASB02 — Matematisk statistik för kemister,
7.5 hp
Korrekt och väl motiverad lösning på uppgifterna 1–5 ger 10 poäng vardera medan delfrågorna på uppgift 6 ger
4 poäng vardera. Totalt kan man få 70 poäng. Gränsen för godkänd är 35 poäng, dock finns det vissa minimikrav
på uppgifterna 1–5 (18p) respektive uppgift 6 (7p).
Institutionens papper används både som kladdpapper och inskrivningspapper. Varje lösning skall börja överst på
nytt papper. Rödpenna får ej användas.
Tillåtna hjälpmedel: Matematiska och statistiska tabeller som ej innehåller statistiska formler, formelsamling
matematisk statistik för bio- och kemitekniker, samt miniräknare.
Resultatet anslås senast måndagen den 12 november i matematikhusets entréhall.
1. Resistansen hos tillverkade motstånd kan antas vara normalfördelad med okänt väntevärde μ och okänd
varians σ2 . Man mäter resistansen hos 6 motstånd och erhåller:
9.8 10.6 10.2 10.2 9.8 10.0.
Bestäm ett uppåt begränsat konfidensintervall för σ med konfidensgraden 0.99.
(10p)
2. Vid tillverkning av en viss sorts enheter kan det uppstå defekter. Man har två maskiner för tillverkningen
och önskar undersöka deras defektsannolikheter. Man tillverkar därför 1000 enheter med varje maskin
och observerar härvid 11 resp 20 defekta enheter. Testa på nivån 5% att maskinerna har lika defektsannolikheter.
(10p)
3. I en kemisk processär det önskvärt att en ingående vätska har pH-värde exakt 6.00. Innan man sätter
igång processen gör man tio pH-bestämningar för denna vätska. Vid ett tillfälle fick man pH-värden (xi ):
6.02 5.98 6.01 6.04 6.03 5.99 5.99 6.05 6.00 6.02
Modell: De s.v. Xi är oberoende och N (μ, 0.0252 ).
(a) Vågar man sätta igång processen? Besvara frågan genom att pröva hypotesen H0 : μ = 6.00 mot
H1 : μ 6= 6.00 på 5%-nivån.
(5p)
(b) Beräkna testets styrka för μ = 5.98.
(5p)
4. Man vill jämföra två material A och B med avseende på en viss kvalitetsvariabel vilken uppmäts med ett
och samma mätinstrument. Låt X och Y vara resultatet av en mätning på material A respektive B. X antas
vara N (μ1 , 0.62 ) och Y antas vara N (μ2 , 0.62 ).
(a) Vid ett stickprov av storleken 5 på X har man observerat stickprovsmedelvärdet 12.1 och från ett
stickprov av storleken 8 på Y har man observerat stickprovsmedelvärdet 13.5. Beräkna ett tvåsidigt
konfidensintervall för μ2 − μ1 med konfidensgraden 99%.
(5p)
(b) Om man önskar ett tvåsidigt 99%-igt konfidensintervall för μ2 − μ1 vars längd är högst 0.4 hur
stora stickprov måste då tas på X och Y (välj lika stora stickprov)?
(5p)
5. För att bestämma blodflöden har man traditionellt använt en mycket noggrann men tidskrävande manuell
metod. En ny metod baserad på sensorer och programvara har lanserats. I nedanstående data finns uppmätta blodföden från tio olika personer dels med den traditionella metoden dels med den nya metoden.
Som modell ansätts enkel linjär regression, dvs:
Yi = α + βxi + εi ; i = 1, . . . , 10
Person nr
Trad. metod (x)
Ny metod (y)
1
1190
1115
2
1455
1425
3
1550
1515
4
1730
1795
5
1745
1715
6
1770
1710
7
1900
1830
8
1920
1920
9
1960
1970
10
2295
2300
där man antar att εi är N (0, σ2 )-fördelade och oberoende vid olika mätningar.
Nedanstående beräkningar gäller för modellen:
10
10
X
X
2
¯x = 1751.5; ¯y = 1729.5;
(xi − ¯x ) = 833952.5;
(yi − ¯y)2 = 950922.5
i=1
i=1
10
X
(xi − ¯x )(yi − ¯y) = 884107.5.
i=1
(a) Eftersom den traditionella metoden är mycket noggrann kan man betrakta xi -värdena som fixa. För
att undersöka nogrannheten hos den nya metoden vill man pröva hypotesen H0 : β = 1 mot
H1 : β 6= 1. Utför testet på 5%-nivån.
(3p)
(b) Pröva på 5%-nivån hypotesen att den teoretiska regressionslinjen går genom origo.
(3p)
(c) Konstruera ett 95% konfidensintervall för den nya metodens väntevärde om den traditionella metoden ger värdet 1900.
(4p)
6.
(a) Antag att P(A ∪ B) = 0.7, P(A) = 0.4 och P(B) = p. För vilket värde på p gäller att A och B är
oberoende?
(4p)
(b) Antag att X är en diskret stokastisk variabel med sannolikhetsfunktionen
pX (x) = 1/3, för x = −1, 0, 1.
Beräkna variansen för X .
(4p)
(c) Beräkna P(X < 3) om X är Poissonfördelad med väntevärde 1.5.
(d) De oberoende stokastiska variablerna X och Y är
P(2Y − X < 3).
N (3, 22 )
(4p)
respektive N (4, 1)-fördelade. Beräkna
(4p)
(e) Vikten i gram av en viss typ av konserver antas vara N (250, 102 ). Beräkna sannolikheten att av fem
sådana konserver åtminstone två väger mer än 260 gram.
(4p)
LYCKA TILL!