Transcript Exempel
FL5 732G70 Statistik A Normalfördelningsapproximation av binomialfördelningen Exempel Baserat på marknadsandelar vet vi att 20% av konsumenterna föredrar vårt företags produkt. Vad är sannolikheten att av 70 slumpmässigt utvalda konsumenter högst 20 väljer vår produkt? Låt X = antalet kunder som föredrar vårt företags produkt De fyra antagandena är uppfyllda (se föreläsning 4) varför det gäller att X ~ Bin 70; 0.2 Eftersom n 1 70 0.2 1 0.2 11.2 5 kan vi approximera med normalfördelningen enligt X ~ Nf 70 0.2 14; 70 0.2 1 0.2 3.35 2 Normalfördelningsapproximation av binomialfördelningen Vi söker Pr(X 20) 3 Population och stickprov Sampling = konsten att dra stickprov Population (även målpopulation) = den (på logisk väg definierade) grupp av enheter (ofta individer) som vi vill undersöka Urvalsram = förteckning över populationen, ofta ett register Stickprov (sample) = de av enheterna i populationen som vi faktiskt undersöker Urvalsenheter = de enheter som blivit utvalda i stickprovet Population Stickprov Konsten att dra slutsatser om en population baserat på ett stickprov (statistisk slutledning) är en av grundpelarna inom statistiken! 4 Obundet slumpmässigt urval (OSU) (engelska Simple Random Sample) Stickprovsdragning på ett sådant sätt att alla enheter i populationen har samma sannolikhet n N att bli utvalda. Exempel: Vår population är alla studenter i ett klassrum, och vi vill undersöka genomsnittsvikten i klassen. Att väga alla skulle ta lång tid, och man vill därför dra ett stickprov om 20 personer. Det enklaste sättet att göra ett OSU skulle då vara att skriva ned allas namn på lappar, lägga dem i en låda och dra 20 lappar ur lådan. Då har slumpen valt ut 20 personer åt oss och alla har lika stor chans att bli utvalda. Stratifierat urval (engelska Stratified Random Sample) När vi vill dra slutsatser om en heterogen population (en population som kan delas in i undergrupper med avseende på det som vi vill undersöka). Varje sådan grupp kallas för ett stratum, och vi drar ett OSU ur varje stratum och väger ihop resultaten. Stratifierat urval ger, om populationen är heterogen, lägre standardavvikelse än ett OSU och därmed säkrare slutsatser om populationen. Exempel (forts): Vi delar upp populationen i kvinnor och män, och lägger sedan lapparna med namn i en låda för kvinnor och en för män. Sedan drar vi 10 lappar ur varje låda. Problem vid stickprovsdragning Övertäckning = när det finns enheter i urvalsramen som egentligen inte tillhör målpopulationen Exempel: Vid studie av vikter bland studenter i ett klassrum används klasslistan som urvalsram. Men vissa studenter har hoppat av utbildningen sedan klasslistan trycktes – de tillhör inte längre målpopulationen utan utgör övertäckning. Undertäckning = när det finns enheter i målpopulationen som saknas i urvalsramen Exempel: Vissa studenter har påbörjat sin utbildning sedan klasslistan trycktes. De tillhör därför målpopulationen men har ingen chans att bli utvalda och utgör därför undertäckning. 7 Problem vid stickprovsdragning Bortfall = när enheter inte vill (eller kan) mätas. Skilj på Partiellt bortfall: när enheten har nåtts, men vi inte fått all information (exempelvis att inte alla frågor på en enkät besvarats) Totalbortfall: när ingen information erhållits alls från enheten 8 Populationsparametrar och skattningsfunktioner Tabell över väntvärdesriktiga skattningsfunktioner. Populationsparameter (okänd sanning) Medelvärde Varians 2 Proportionstal Skattningsfunktion (uppskattning baserat på stickprov) X S2 P Väntevärdesriktig = vi gör inget systematiskt fel när vi använder skattningsfunktionen som en uppskattning av populationsparametern. 9 Punktskattning = att använda en skattningsfunktion som en uppskattning av motsvarande populationsparameter Dock: skattningsfunktioner är slumpvariabler och antar olika värden för varje stickprov. Hur ska vi hantera den osäkerheten? Vi börjar med att göra tre antaganden: 1. stickprovet är draget som ett OSU 2. populationen som vi drog stickprovet ur är normalfördelad 3. populationsstandardavvikelsen σ är känd Är dessa antaganden rimliga? 10 Konfidensintervall för medelvärde när är känd Konfidensintervall = ett osäkerhetsintervall utlagt kring x som tillåter oss att med en viss säkerhet säga att µ ingår i intervallet x z Formel för konfidensintervall: n 1. Beräkna x 2. Beräkna n 3. Hämta värdet på z ur normalfördelningstabell 11 Exempel Glödlampor som tillverkas i en viss fabrik har en lystid som kan betraktas som normalfördelad med medelvärde 1600 timmar och standardavvikelse 100 timmar. Nu har man bytt en maskin i fabriken, och har dragit ett stickprov om 150 lampor och konstaterat att bland dem var den genomsnittliga lystiden = 1618 timmar, medan standardavvikelsen förefaller oförändrad. Bestäm ett 95% konfidensintervall för lystiderna för lampor tillverkade med den nya maskinen! 12 Hur kan vi påverka bredden på ett konfidensintervall? 1. Öka n 2. Välj en annan konfidensnivå: Lägre konfidensnivå ger ett mindre tabellvärde och därmed ett smalare intervall, men samtidigt minskar säkerheten. Exempelvis 90% konfidensnivå innebär att vi bara med 90% säkerhet inkluderar det sanna populationsmedelvärdet (µ) i konfidensintervallet. 13 Den metod för att bilda konfidensintervall vi diskuterat hittills baseras alltså på de tre kraven 1. stickprovet måste vara draget som ett OSU 2. populationen som vi drog stickprovet ur är normalfördelad 3. populationsstandardavvikelsen σ är känd Är det rimligt att dessa krav uppfylls i praktiken? => Nej, åtminstone inte att σ är känd 14 Konfidensintervall för medelvärde när σ är okänd Baserat på antagandena att 1. stickprovet måste vara draget som ett OSU 2. populationen som vi drog stickprovet ur är normalfördelad kan vi skatta σ med s 1 2 x x i n 1 och beräkna konfidensintervallet som x t s n där t hämtas ur t-fördelningen (tabellsamlingen sidan 8-9) med n – 1 frihetsgrader. 15 Exempel En viss sorts påsar med kryddor påstås innehålla 4 gram. Vi kontrollmäter fyra slumpmässigt utvalda påsar och erhåller 4.0 3.6 3.9 4.1 Bestäm ett 95% konfidensintervall för genomsnittsvikten i påsarna! 16 Normalfördelning (z) och t-fördelning (t) t-värdet är större än z för att ta hänsyn till den ökade osäkerheten som följer av att konfidensintervallet baseras på två skattningar (både x och s) t-värdet konvergerar (går mot) z när n ökar (titta i t-tabellen!) 17 Exempel En butiksägare funderar på om det är ekonomiskt försvarbart att fortsätta hålla butiken öppen på söndagar. Hon samlar därför ihop kvitton från alla försäljningar de 10 senaste söndagarna och beräknar medelvärde och standardavvikelse. Totalt samlar hon ihop 980 kvitton, och beräknar x 125 och s = 250 Bestäm ett 95% konfidensintervall för den genomsnittliga försäljningen på söndagar! 18