Transcript andel

Förelasning 5
Punkt- och intervallskattning
Felmarginal
1
Konfidensintervall

Istället att undersöka hela populationen  stickprov,
undersök medelvärde, andel osv  dra slutsatser om
populationens värdena
Exempel
 Andelen rökare bland killar i ett gymnasium


Vill inte (och kan inte) fråga varje gymnasieelev
Väljer ett stickprov n=100
Statistiska metoder 2012
2
Konfidensintervall-andelar

Givet stickprov, 1- α konfidensintervall för andel
observationer i populationen som har en viss egenskap
pz
p (1  p )
n
där z=1-α/2 normalfördelningens percentil

1 . 96
p (1  p ) kallas felmarginal
n
Statistiska metoder 2012
3
Konfidensintervall-andelar

Påverkan av konfidensgraden


Påverkan av stickprovets storlek


Ju större konfidensgraden, desto bredare intervallet (se
tabeller)
Ju större stickprovet, desto smalare intervallet och större
felmarginalen(använd n=1000 eller 10000 i exemplet)
Intressant: för att göra tillräckligt säkra skattningar, måste
man undersöka ett antal observationer, inte andel
Statistiska metoder 2012
4
Konfidensintervall -antal

Man uppskattar medelvärdet μ i populationen som
stickprovets medelvärde x


Osäkerhet?
Givet stickprov av normalfördelade observationer, 1- α
konfidensintervall för populationens medelvärde
xt
s
n

där


t =1-α/2 percentil av t-fördelningen med n-1 frihetsgrader
s standardavvikelse
Statistiska metoder 2012
5
Kofidensintervall - antal


Givet ett stort stickprov (n≥30), 1- α konfidensintervall för
populationens medelvärde
s
xz
n
där




z =1-α/2 percentil av normalfördelningen N(0,1)
s standardavvikelse
Observationer är inte nödvändigtvis normalfördelade
Konfidensintervallets bredd
d  2z
s
n
Statistiska metoder 2012
6
Konfidensintervall – jämföra andelar

Ofta vill jämföra två eller fler grupper




2 marknadsföringsstrategier  skillnaden i
försäljningsresultat
Andelen defekta komponenter från 2 olika maskintyper
Andelen sympatisörer för en viss parti vid 2 olika tidpunkter
Beteckningar



Andelar i populationen: π1 (grupp 1) och π2 (grupp 2)
Andelar i stickprovet: p1 (grupp 1) och p2 (grupp 2)
Stickprovens storlekar: n1 (grupp 1) och n2 (grupp 2)
Statistiska metoder 2012
7
Konfidensintervall – jämföra andelar

Man vill veta skillnaden : π1 -π2 . Detta skattas som
stickprovens skillnad: p1 -p2


Osäkerhet?
Givet 2 tillräckligt stora ( n1p1(1-p1)>5 och n2p2(1-p2)>5)
stickprov, 1- α konfidensintervall för skillnaden π1 -π2
p1  p 2  z

p 1 (1  p 1 )
n1

p 2 (1  p 2 )
n2
där z=1-α/2 normalfördelningens percentil
Statistiska metoder 2012
8
Konfidens – jämföra medelvärden

Beteckningar






Medelvärden i populationen: μ 1 (grupp 1) och v2 (grupp 2)
Andelar i stickprovet: x 1 (grupp 1) och x 2 (grupp 2)
Standardavvik. i stickproven: s1 (grupp 1) och s2 (grupp 2)
Stickprovens storlekar: n1 (grupp 1) och n2 (grupp 2)
Givet 2 tillräckligt stora (n1≥30 och n2≥30) och
oberoende stickprov, 1- α konfidensintervall för
skillnaden μ 1 - μ 2
2
2
s1
s2
 x1  x 2   z

n1 n 2
där z=1-α/2 normalfördelningens percentil
Statistiska metoder 2012
9
Konfidens – jämföra medelvärden

Givet 2 oberoende stickprov vems variablerna är
normalfördelade, 1- α konfidensintervall för skillnaden
μ1-μ2
 1
1 
2

 x1  x 2   t s p   
 n1 n 2 
( n1  1) s1  ( n 2  1) s 2
2
s 
2
p
2

Där

t =1-α/2 percentil av t-fördelningen med n1+n2-1
frihetsgrader
n1  n 2  2
Statistiska metoder 2012
10
Läsa hemma

Boken, kapitel 6
Statistiska metoder 2012
11