Transcript Exempel

Förelasning 4
Sannolikhet
Stickprov
Fördelningar
1
Översikt





Sannolikhet
Slumpvariabel
Sannolikhetsfördelning
Slumpmässiga urval
Centrala gränsvärdessatsen
Statistiska metoder 2012
2
Sannolikhet

Företeelser som kan resultera i olika utfall
Klassisk definition:
 P(A)=x innebär
 Om man upprepar företeelsen n gånger  Frekvensen
av A närmar sig x% om n ökar
Exempel: Kastar tärning 6000 gånger
 Hur många gånger vi har sett ”2”?
 P(2)=?
 P(1,3,4,5,6)=?
Statistiska metoder 2012
3
Sannolikhet
Exempel: Kastar mynt; frekvensen av ”krona”?
Statistiska metoder 2012
4
Sannolikheter
Exempel Tärningar
Kastar mynt 3 gånger, X=antalet klavar
P(X=0)=? P(X=1)=? P(X=2)?P(X=3)?




Betrakta alla möjliga (krona, krona,krona),
(krona,krona,klave) … osv
Sannolikhet för varje kombination?
Hitta vilka kombinationer motsvarar vilka sannolikheter
Kontrollera summan av alla P(x=i)
X kallas för slumpvariablel . Möjliga utfall: 0,1,2,3.
Statistiska metoder 2012
5
Sannolikheter- andra exempel

P(Väntetid i en kö är mindre än 5 minuter)

P(en på måfå vald glödlampa håller mer än 10 timmar)

P(En valfri svensk röstar på fp nästa val)

P(En person vinner spelet om han/hon har en viss
strategi)
Statistiska metoder 2012
6
Slumpvariabel (diskret)



Beteckning X eller Y eller Z, anta X
Utfall x1,…xn (diskreta, ändligt antal alternati)
Sannolikhet P(X=xi)= stapelns höjd
Statistiska metoder 2012
7
Slumpvariabel (kontinuerlig)
Beteckning X eller Y eller Z, anta X
 Utfall x hör till [xa,xb ] – intervall (oändligt antal alternativ)
 Kontinuerliga: sannolikhetstäthet (täthetsfunktion):
P(X mellan x1 och x2)= Arean under kurvan mellan x1 och x2

Statistiska metoder 2012
8
Binomialfördelningen
Exempel Kasta tärning n gånger
X=antal gånger vi observerade ”1”, p= sannolikhet att få ”1”
vid 1 kast.
P ( X  x) 
n!
 p (1  p )
x
x! ( n  x )!
n x
Generellt:
 Upprepar försök n gånger
 Varje gång händelse A inträffar (med sannolikhet p) eller
inte, X= antal gånger A inträffar under experimentet
 Intresserade P(X=x)
Statistiska metoder 2012
9
Normalfördelningen
En kontinuerlig fördelning, mest typisk för många
processer
Exempel. Kastar mynt, 30 försök, X=antalet klavar, P(X=x)

Statistiska metoder 2012
10
Normalfördelning

N(μ,σ), μ- medelvärde, σ-standardavvikelse
Statistiska metoder 2012
11
Population och stickprov

Slumpvariabel X

Observationer= oberoende mätningar av X


X= tid att åka mellan Linköping och Linköping på Söndag
Population= Alla möjliga söndagar





X=tid (sannolikt att normalfördelad)
μ – populationens medelvärde
σ – populationens standardavvikelse
Omöjligt att veta μ,σ
Vid tillräckligt stort stickprov,   x ,   s
Statistiska metoder 2012
12
Normalfördelningen



Area=1, eller 100%
N(0,1) –standard normalfördelning
Finns normalfördelningstabeller för N(0,1)
Om x är normalfördelad, x~N(μ,σ) , använd
z
X 

för att använda tabeller
Statistiska metoder 2012
13
Teoretiska resultat för stickprov



Stickprov x1…xn
Stickprovets medelvärde X m ~ N x ,  /
Ett speciellt fall:



n

Varje observation x=1 eller x=0 (rökare icke-röckare). Vet att
P(x=1)=π
Intresserade att veta fördelningen av andelen p ”0” eller ”1”
(t.ex ”1”,rökare) i stickprovet

p ~ N  ,


 (1   ) 
n
Statistiska metoder 2012
14



Mjukvaran
Om vi hinner:
 Visa hur man kan skatta fördelningskvantiteter i MINITAB


T ex P(X=3) i Bin(p=0.5, n=8)
Normalfördelning: Z-värde motsvarande 15%
Statistiska metoder 2012
15
Centrala gränsvärdenssatsen

Om vi tar ett stort stickprov med valfritt fördelade
värdena, då är deras summa eller medelvärde
approximativt normalt fördelat

Exempel X=0 eller 1, andelen p.
Statistiska metoder 2012
16
Läsa hemma


Kompendiet
Boken, kap 5
Statistiska metoder 2012
17