Transcript Tentamen i Statistisk teori I, 7.5 hp

LINKÖPINGS UNIVERSITET
Institutionen för datavetenskap
Avdelningen för statistik
Mattias Villani
2012-01-21
Statistisk teori, 7.5 hp
732G20
Tentamen i Statistisk teori I, 7.5 hp
Skrivtid:
Hjälpmedel:
8-12
Räknedosa. Kursboken av DeGroot/Schervish, som ska vara fri från anteckningar,
men får innehålla understrykningar/överstrykningar samt ikar för kapitel/avsnitt.
Den tidigare kursboken av Berry och Lindgren 'Statistics - Theory and Methods'
får även användas som ett alternativ till den nuvarande kursboken.
Jourhavande lärare:
Betygsgränser:
Mattias Villani, tel. 0709 − 373799
Tentamen omfattar totalt 25 poäng. 15 poäng ger godkänt, 20 poäng ger väl godkänd.
Redovisa och motivera alla dina lösningar.
1. Den stokastiska variabeln X har fördelningsfunktionen (c.d.f.)
(
F (x) =
(a)
(b)
(c)
(d)
1 − e−2x
0
om 0 < x < ∞
annars.
Beräkna medianen för X
Beräkna täthetsfunktionen (p.d.f.) för X .
Beräkna den moment-genererande funktionen (m.g.f) för X .
Vilken täthetsfunktion har Y = 2X ?
1p.
1p.
1p.
2p.
2. Låt X ∼ N (µ, σ 2 ), Y ∼ N (θ, τ 2 ) och Z ∼ t(m) (Student-t med m frihetsgrader). Var tydlig med
eventuella antaganden i beräkningarna.
(a) Beräkna E(2X + Y + Z).
1p.
(b) Beräkna V ar(X + 2Y + 3Z).
2p.
(c) Beskriv hur du kan använda simulering för att beräkna fördelningen för W = X + Y + Z om du
endast har en slumptalsgenerator för likformig fördelning mellan 0 och 1 (dvs du har inte tillgång
till en färdig slumptalgenerator för t ex normalfördelningen)?
2p.
3. Antag att du har n oberoende observationer från täthetsfunktionen
(
θ2 x · exp(−θ · x)
f (x|θ) =
0
(a) Härled maximum likelihood-skattningen θˆ av θ.
för x > 0, och θ > 0
annars
2p.
(b) Härled moment-skattningen θˆmom av θ.
2p.
[Ledning: Man kan ofta beräkna komplicerade integraler genom att se att integranden är proportionell mot någon känd täthet, och sedan utnyttja att att en täthet alltid integrerar till 1 över hela
utfallsrummet.]
(c) Nämn en fördel och en nackdel med momentskattningar.
1p.
1
4. Punktestimation och kondensintervall.
(a) Låt θˆ1 och θˆ2 vara två olika estimatorer av en parameter θ. Resonera kring olika argument och
kriterier som kan hjälpa oss att välja en av dessa estimatorer. Dvs kan vi säga att en estimator är
bättre än en annan, och i så fall på vilket sätt är den bättre?
2.5p.
(b) Redogör för hur ett två-sidigt 95%-kondensintervall för en parameter θ kan konstrueras. Beskriv
hur intervallet ska tolkas.
2.5p.
5. Antag att du har n oberoende observationer från: X1 , ..., Xn |θ ∼ N (θ, 1).
iid
(a) Antag att din apriorifördelning är θ ∼ N (1, v02 ) och du är av uppfattningen att Pr(θ > 3) = 0.01.
Bestäm parametern v02 i din apriorifördelning (prior distribution).
1p.
(b) Beräkna aposteriorifördelningen baserat på ett stickprov av n = 10 observationer med medelvärdet
2.5.
2p.
(c) Du får nu veta att datamaterialet i förra deluppgiften kommit från ett defekt mätinstrument
där alla observationer större än 3.2 registerats som exakt 3.2. Det fanns exakt en observation
med mätvärdet 3.2 i ditt stickprov. Du vill inte kasta bort denna observation, du har ju trots allt
informationen att denna observation var åtminstone 3.2. Redogör för hur posteriorfördelningen för
θ baserat på hela datamaterialet kan beräknas. Jag förväntar mig inte ett numeriskt svar. [Ledtråd:
börja med denitionen av posteriorfördelningen via Bayes teorem och arbeta dig framåt]. 2p.
2