Transcript kedjederivering - joel johansson

1
Kedjederivering
Med ”kedjederivering” menas att derivera en funktion som mest praktiskt kan ses som en
funktion av en funktion. Antag att y är en funktion av z,
y = f (z )
och att z är en funktion av x:
z = g (x)
Exempel 1:
y = (2 x + 3) 5
Här kan vi se det som att
y = f ( z) = z 5
där
z = g ( x) = 2 x + 3
Kedjederiveringen fungerar så här:
dy dy dz
=
⋅
= f ' ( z ) ⋅ g ' ( x)
dx dz dx
(en ”kedja” av derivator – man kan ju fortsätta, t.ex. med att y är en funktion av z, som i sin
tur är en funktion av x, som i sin tur är en funktion av t, osv). Detta kan man förstå som
gränsen av
Δy Δy Δz
=
⋅
Δx Δz Δx
då Δx → 0 .
Exempel 2:
Som fortsättning på ovanstående exempel 1 har vi ju
f ' ( z) = 5z 4
och
g ' ( x) = 2
varav alltså
dy
= 5 z 4 ⋅ 2 = 10 ⋅ (2 x + 3) 4
dx
Övningsexempel:
dy
= −3b ⋅ (a − bx) 2
dx
dy
= −40 x ⋅ sin( 4 x 2 )
b) Derivera funktionen y = 5 ⋅ cos(4 x 2 ) . Svar:
dx
a) Derivera funktionen y = (a − bx) 3 . Svar:
Vänd!
2
Kedjederivering vid partialderivering
Antag, t.ex., att y är en funktion av z, som i sin tur är en funktion av x och t , dvs
y = f ( z)
z = g ( x, t )
Exempel 3. Ett aktuellt exempel kan vara
y = 5 sin( 2 x − 4t )
där alltså
z = g ( x, t ) = 2 x − 4t
och
y = 5 sin( z )
Partialderivatan ( ∂y / ∂x ) av y med avseende på x beräknas så här: vi betraktar t som en
konstant vid deriveringen, och får alltså
∂y dy ∂z
∂g ( x, t )
=
⋅
= f ' ( z) ⋅
∂x dz ∂x
∂x
Observera, att eftersom f(z) är en funktion av bara en variabel – dvs z – så behöver vi inte
skriva derivatan av y med avseende på z som en partialderivata. Däremot är det olämpligt att
skriva t.ex. g ' ( x, t ) , eftersom det då inte framgår om man deriverar med avseende på x eller
med avseende på t.
Med ovanstående exempel 3 fås
och alltså
Övningsexempel: a) Beräkna partialderivatan
.
b) Beräkna de partiella andraderivatorna
i ovanstående exempel. Svar:
och
i ovanstående exempel.
Svar:
c) Kontrollera dessutom att vågekvationen
alltså är satisfierad av funktionen y = 5 sin( 2 x − 4t ) ! Våghastigheten v ges av
.