Transcript Derivatan av polynomfunktioner

2.3 Deriveringsregler
Derivatan av polynomfunktioner
Lutningen av en kurva
Lutning 0
Lutning 0
De punkter där kurvans lutning är 0 är
nyckelpunkter för att beskriva kurvors
utseende. I dessa punkter är 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑡𝑎𝑛 = 0
Derivatan av en enkla polynomfunktioner
Deriverar vi funktionen 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 så får vi
𝑓 ′ 𝑥 = 2𝑥
f prim av x är lika med 2x
Förstaderivatan till 𝑥 2 är 2𝑥
𝑓 ′ 𝑥 = 2𝑥
Förstaderivatan använder vi för att beräkna
lutningen i punkter på funktionen.
Exempel: Beräkna lutningen av 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 då 𝑥 = 5.
𝑓 ′ 𝑥 = 2𝑥
𝑓 ′ 5 = 2 × 5 = 10
Svar: Lutningen på funktionen då 𝑥 = 5 är 10
Derivatan av en polynomfunktion
Vi visar derivatan för ytterligare några funktioner.
𝑓(𝑥)
𝑓′(𝑥)
𝑥
1
𝑥2
2𝑥
𝑥3
3𝑥 2
𝑥4
4𝑥 3
𝑥5
5𝑥 4
Derivera
Latin: avleda, härleda
Engelska: härstamma från
𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑛 → 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑛 × 𝑥 𝑛−1
𝑓 𝑥 = 𝑘 × 𝑥 𝑛 → 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑘 × 𝑛 × 𝑥 𝑛−1
Exempel: Derivera 𝑓 𝑥 = 7𝑥 3
𝑓 ′ 𝑥 = 7 × 3 × 𝑥 3−1 = 21𝑥 2
Derivera 𝑓 𝑥 = 2𝑥 5
𝑓 ′ 𝑥 = 2 × 5 × 𝑥 5−1 = 10𝑥 4
Derivatan av en konstant
Funktioner som saknar variabler är konstanta, de
ändrar aldrig värde. Deriverar vi sådana funktioner
blir derivatan 0.
Lutningen på dessa funktioner är alltid 0.
𝑓 𝑥 = 𝑘 → 𝑓′ 𝑥 = 0
Derivatan av polynomfunktioner
Har vi en polynomfunktion med flera termer så deriverar vi
funktionen term för term.
𝑓 𝑥 = 𝑘 × 𝑥 𝑛 → 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑘 × 𝑛 × 𝑥 𝑛−1
10𝑥 2
Exempel: Derivera 𝑓 𝑥 = 5𝑥 3 + 2𝑥 − 3
2
Svar: 𝑓 ′ 𝑥 = 10𝑥 2 + 2
0
Exempel
Beräkna 𝑓 ′ 3 då 𝑓 𝑥 = 3𝑥 2 − 7𝑥 + 3
𝑓 𝑥 = 𝑘 × 𝑥 𝑛 → 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑘 × 𝑛 × 𝑥 𝑛−1
𝑓 ′ 𝑥 = 6𝑥 − 7
𝑓 ′ 3 = 6 × 3 − 7 = 11
Svar: 𝑓 ′ 3 = 11
Detta betyder alltså att funktionens lutning då 𝑥 = 3 är 11.