Transcript Kap 1 – Förändringshastigheter och derivator

Kap 2 – Förändringshastigheter
och derivator
1
GENOMGÅNG 2.1
• Ändringskvoter
• Begreppet derivata
2
HASTIGHET
Vad menas med begreppet hastighet?
Ex. 80 km/h
80km
1h
HASTIGHET
Jämför med Räta linjens k-värde!!
s 80 km

t
1h
Ändringskvot
Förändring i y-led
Förändring i x-led

Ändringskvot
Ändringskvot
y
 Ändringskvot
x
Var har du sett detta förr?
Ändringskvot
y
k
x
Ändringskvot
y  kx  m
LINJERS LUTNING
(1,5)
•
2 steg i y-led
•
(0,3)
1 steg i x-led
9
LINJERS LUTNING
Linjens lutning =
(1,5)
•
∆y = 2
(0,3)
y 2
 2
x 1
• ∆x = 1
10
RÄTA LINJENS EKVATION
y  kx  m
k = linjens lutning
m = var linjen skär y-axeln
11
RÄTA LINJENS EKVATION
lutning
k = linjens derivata
12
DERIVATAN
En introduktion
Begreppet derivata
(x + h)
Begreppet derivata
f ( x  h)  f ( x) y
h
x
lim f ( x  h)  f ( x)
f ' ( x) 
h0
h
KURVORS LUTNING
Lutning = 0
Lutning = 0
VILKEN LUTNING HAR X-AXELN???
VILKEN LUTNING HAR Y-AXELN???
16
Begreppet derivata
Derivative Tracer (GeoBra)
GENOMGÅNG 2.2
• Gränsvärde
• Derivatans definition
• Deriveringsregler
20
Sekant
Tangent
Begreppet derivata
f ( x  h)
yf (x f(hx)hf) (x)f ( x)
f (x)
y f ( x  h)  f ( x)

x
h
xh h
x
xh
Begreppet derivata
lim f ( x  h)  f ( x)
f ' ( x) 
h0
h
Begreppet derivata
y
x
DERIVATANS DEFINITION
Derivatans definition
Boken sidan 81
Deriveringsregler
f(x) [funktion]
x
x2
x3
x4
x5
f’(x) [derivata]
1
2x
3x2
4x3
5x4
Ser Du mönstret?
xa
axa-1
Var hittar du detta i formelbladet?
Deriveringsregler, exempel
f ( x)  4 x  1
f ´(x)  4
f ( x)  4x 2  x
f ´(x)  8x  1
f ( x)  4 x3  x 2  x
f ´(x)  12x 2  2x 1
3x 2 x
f ( x) 

4
3
f ´(x) 
6 x 1 3x 1
 

4 3 2 3
2
Vad hände med
?
5
3
x
2
3x 2
4
3
f ( x)  0,5 x  
f ´(x)  2 x 
 2 x3  x 2
3 5
3
Kurva med derivata
Kurva med derivata
Vid vilka värden på x är kurvans lutning
lika med noll?
Kurvans funktion är:
f ( x)  x3  3x  2
Kurvans derivata är:
f ´(x)  3x 2  3
Vi sätter derivatan lika med noll:
3x 2  3  0
3x 2  3  x 2  1  x  1
x1  1 x2  1
Kurva med derivata
Vilka värden har y vid kurvans extrempunkter?
Kurva med derivata
Vilka värden har y vid kurvans extrempunkter?
Vi sätter in x = -1
y1  4
f (1)  (1)3  3  (1)  2
f (1)  1  3  2
f (1)  4  y1  4
y2  0
Vi sätter in x = +1
f (1)  (1)3  3  (1)  2
f (1)  1  3  2
f (1)  0  y2  0
Extrempunkternas koordinater:
 1, 4 och 1,0
Deriveringsregler, exempel
f ( x)  x3  3x  2
f ´(x)  3x 2  3
f ( x)  4
f ´(x)  0
f ( x)  3x 4  x3  x
f ´(x)  12x3  3x 2  1
6x4 x
f ( x) 

4
6
24x 3 1
1
f ´(x) 
  6 x3 
4
6
6
x3 2
f ( x)  0,5 x  
3 5
3x 2
f ´(x)  2 x 
 2 x3  x 2
3
4
3
DESMOS
› Graf 1
› Graf 2
› Graf 3
› Graf 4
GENOMGÅNG 2.3
Deriveringsregler 1
35
Funktion
Derivata
Funktion och derivata
Deriveringsregler
f(x) [funktion]
f’(x) [derivata]
xn
nxn-1
x
x2
x3
x4
x5
1
2x
3x2
4x3
5x4
Deriveringsregler
f(x) [funktion]
f’(x) [derivata]
xn
nxn-1
x-1
x-2
x-3
x-4
x-5
-x-2 (-1*x-2)
-2x-3
-3x-4
-4x-5
-5x-6
Vi deriverar…
yx
3
y'  3x
yx
2
y '  2x
1
y'  1x
yx
2
1
0
Fundering
Hur kan en funktion se ut som har
detta utseende på derivatan?
y
y'  0
Fundering
Hur kan en funktion se ut som har
detta utseende på derivatan?
y
y '  2x
Fundering
Hur kan en funktion se ut som har
detta utseende på derivatan?
y
y '  2 x
Vi deriverar…
y  1x
0
yx
1
yx
2
y '  0x
1
22
y'  1xx
y'  2 x
3
Vi deriverar…
1
4
y 4 x
x
y´ 4 x
5
OBS!
Vi deriverar…
f ( x)  x
2
5
Uppgift 2332, sid 95
Matematik 3c-boken
Beräkna f´(2)
2  35
f ´( x)  x
5
2  35
f ´(2)   2  0,264
5
2
3
1  
5
5
(2/5) × 2^(-3/5) = 0,263901582155…
Vi deriverar…
f ( x)  x
2
5
Uppgift 2332, sid 95
Matematik 3c-boken
Beräkna f´(2)
3

5
2
f ´( x)  x
5
3
2 5
f ´(2)   2  0, 264
5
(2/5) × 2^(-3/5) = 0,263901582155…
Vi deriverar…
Bestäm f´(x) om f ( x)  3 x 
Uppgift 2333, sid 95
Matematik 3c-boken
5
x
1
1
1

5
5
f ( x)  3 x 
 3x 2  1  3x 2  5 x 2
x
x2
1
3


1
1
f '( x)   3x 2  (  5 x 2 )
2
2
1

2
3
5
f ' ( x)  x  x
2
2
3
5
f '( x) 

2 x 2x x
3
f '( x) 
3

2
2x
5
2x
3
2

5
1
2
1
2
2x  x  x
1
2

1
2
5

2x
5
2
2
2x  x
1
2

3
2
5
2x  x
1
2

5
2x x
Vi deriverar…
Uppgift 2333, sid 95
Matematik 3c-boken
3  12 5  32
f ' ( x)  x  x
2
2
f ' ( x) 
3
2x
1
2
3

5
2x
3
2
5
f ' ( x) 

2 x 2x x
3
2
1
2
1
2
1
2
x  x x x  x x x  x x
GENOMGÅNG 2.4
Deriveringsregler 2
54
Uppgift 2130
y  x2  1
A (1,2)
y  x 1
2
y '  2x
X
2
1,5
1,1
1,01
1
Y
5
3,25
2,21
2,0201
2
y
x
k
?2
Deriveringsregler
f(x) [funktion]
f’(x) [derivata]
xn
nxn-1
x
x2
x3
x4
x5
1
2x
3x2
4x3
5x4
Deriveringsregler (Repetition)
f(x) [funktion]
f’(x) [derivata]
xa
axa-1
x-1
x-2
x-3
x-4
x-5
-x-2 (-1*x-2)
-2x-3
-3x-4
-4x-5
-5x-6
Vi deriverar…(Repetition)
f ( x)  x
2
5
Uppgift 2332, sid 98
Matematik 3bc-boken
Beräkna f´(2)
3

5
2
f ´(x)  x
5
3
2 5
f ´(2)   2  0, 264
5
(2/5) × 2^(-3/5) = 0,263901582155…
Hur ser derivatan ut?
y  x2  2 x 1
Hur ser derivatan ut?
y  x3  4x2  2x 1
Deriveringsregler
Vi deriverar…
f ( x)  a
x
f ´(x)  a  ln a
x
f ( x)  5
x
f ´(x)  5  ln 5
x
Derivatan av funktionen y = ax
ln e
ln e  1
Vad visar din räknare om du slår in
ln e ?
ln e & lg 10
Jämför ln e med lg10
lg10  1
ln e  1
Vi deriverar…
f ( x)  e
x
VAD INNEBÄR DETTA?
f ´(x)  e  ln e
x
Vi deriverar…
f ( x)  e
x
VAD INNEBÄR DETTA?
f ´(x)  e  ln e
x
Vi deriverar…
f ( x)  e
x
VAD INNEBÄR DETTA?
f ´(x)  e  ln e
x
f ( x)  e
2x
f ´(x)  2e  ln e
2x
ye
x
Naturliga logaritmer
Logaritmlagar
Logaritmer ett exempel
Uppgift 2419, sid 105
Matematik 3bc-boken
GENOMGÅNG 2.5
2.5 Grafisk och numerisk derivering
75
ln e & lg 10 (rep.)
Jämför ln e med lg10
lg10  1
ln e  1
Uppgift 2130 (rep.)
y  x2  1
A (1,2)
y  x 1
2
y '  2x
X
2
1,5
1,1
1,01
1
Y
5
3,25
2,21
2,0201
2
y
x
k
?2
Hur ser derivatan ut? (rep.)
y  x2  2 x 1
Hur ser derivatan ut? (rep.)
y  x3  4x2  2x 1
Grafisk och numerisk derivering
Sid 113
Matematik 3bc-boken
Grafisk och numerisk derivering
 y  3 1, 2 x

x
 y '  3 1, 2  ln1, 2
Grafisk och numerisk derivering
Sid 113
Matematik 3c-boken
.
Grafisk derivering med räknare
Bestäm ett närmevärde med 2 decimaler
till
Tryck [2ND] + CALC
Svar:
f ´(2)  0,42
f ' (2)
då
f ( x)  3x  0,7 x
.
Numerisk derivering med räknare
Bestäm ett närmevärde med 2 decimaler
till
f ´(2) 
f (2,1)  f (1,9)
2,1  1,9
f (2,1)  f (1,9)
f ´(2) 
0,2
Med räknare
Svar:
f ´(2)  0,42
f ' (2)
då
f ( x)  3x  0,7 x
.
Derivering med räknarens inbyggda
funktion
Bestäm ett närmevärde med 2 decimaler
till
Med räknare
Tryck <MATH> + 8
nDeriv(3x*0,7^x,x,2)
Mata in värden enligt nedan
Tryck <Enter>
Svar:
f ´(2)  0,42
f ' (2)
då
f ( x)  3x  0,7 x
.
Derivering med räknarens inbyggda funktion
TI-82, Äldre TI-84 etc.
Bestäm ett närmevärde med 2 decimaler
till
Med räknare
Tryck <MATH> + 8
Mata in värden enligt nedan
nDeriv(3X*0,7^X,X,2) Tryck <Enter>
Svar:
f ´(2)  0,42
f ' (2)
då
f ( x)  3x  0,7 x
Vi jämför…