Transcript 3.2 Derivator och tillämpningar

3.2 Derivator och tillämpningar
Potens- och exponentialfunktioner
Undersökning av 𝑓 𝑥 =
1
𝑥2
1. Funktionen är inte definerad för 𝑥 = 0 och den kommer inte att ha några
1
nollställen då 2 ≠ 0 för alla 𝑥.
𝑥
2
2. 𝑓 𝑥 = 𝑥 −2 → 𝑓 ′ 𝑥 = −2𝑥 −3 = − 𝑥 3
Funktionens derivata är inte heller definerad för 𝑥 = 0 och kommer heller
aldrig att anta värdet 0.
𝑓 ′ 𝑥 ≠ 0 → Extrempunkter saknas.
𝑦
↗
𝑂𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟𝑎𝑑
↘
𝑦′
+
𝑂𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟𝑎𝑑
−
𝑥
0
Grafritaren ger följande bild av grafen
𝑓(𝑥)
3241
8
Rita kurvan 𝑦 = 2𝑥 + 𝑥 med hjälp av derivata och ange
extrempunkternas koordinater.
𝑦 = 2𝑥 + 8𝑥 −1
𝑦 ′ = 2 − 8𝑥 −2 = 2 −
8
𝑥2
Varken funktionen eller dess derivata är definerad för 𝑥 = 0
För att finna eventuella extrempunkter undersöker vi vart 𝑦 ′ = 0
2𝑥 2 8
2𝑥 2 − 8
8
↔ 2𝑥 2 − 8 = 0 ↔
=
0
2− 2 =0 ↔ 2 − 2 =0 ↔
𝑥
𝑥
𝑥2
𝑥
↔ 𝑥 2 = 4 ↔ 𝑥 = ±2
3241
Vi gör en teckentabell
max
min
𝑦
↗
−8
↘
≠
↘
8
↗
𝑦′
+
0
−
≠
−
0
+
𝑥
−2
𝑦 −2 = 2 −2 +
𝑦 2 =2 2 +
0
8
= −8
−2
8
=8
2
2
8
𝑦 = 2𝑥 +
𝑥
𝑦′ = 2 −
8
𝑥2
3241
max
min
𝑦
↗
−8
↘
≠
↘
8
↗
𝑦′
+
0
−
≠
−
0
+
𝑥
−2
0
2
För väldigt stora såväl positiva som negativa
8
värden på 𝑥 blir funktionen 𝑦 = 2𝑥 +
𝑥
väldigt lik 𝑦 = 2𝑥
Här blir 𝑦 axeln och linjen 𝑦 = 2𝑥
8
asymptoter till funktionen 𝑦 = 2𝑥 + 𝑥
8
𝑦 = 2𝑥 +
𝑥
𝑦 = 2𝑥
3251
En cylinderformad konservburk av plåt rymmer 1000
cm3.
ℎ
(𝑐𝑚)
𝑥
Bestäm höjd och diameter så att materialåtgången blir så liten
som möjligt.
Volymen ger oss följande samband
𝑥
𝜋×
2
2
× ℎ = 1000 ↔
𝜋𝑥 2 ℎ
4
= 1000 ↔ ℎ =
𝑑=𝑥
4000
𝜋𝑥 2
𝑥
𝑟=
2
Det material som kommer att gå åt till cylindern är en botten och
en topp samt en mantelyta.
𝜋 × 𝑑 = 𝑂 ↔ 𝜋𝑥 = 𝑂
𝐴 =ℎ×𝑂+2×
rektangel
𝜋𝑟 2
2 cirklar
4000
𝑥
=
×
𝜋𝑥
+
2
×
𝜋
𝜋𝑥 2
2
2
→
𝑑
ℎ
𝑂
𝑟
3251
→𝐴=
4000
+
𝑥
2𝜋𝑥 2
4
4000 𝜋𝑥 2
𝜋
+
= 4000𝑥 −1 + 𝑥 2
=
𝑥
2
2
ℎ
(𝑐𝑚)
𝑥
Det blir naturligt att 𝐴 endast är definerad för positiva värden på 𝑥
Vi undersöker funktionen för cylinderns area med hjälp av dess derivata.
𝐴′ = −4000𝑥 −2 + 𝜋𝑥 = 𝜋𝑥 −
𝑑=𝑥
4000
𝑥2
𝑥
𝑟=
2
Vi undersöker om vi kan hitta en så liten area som möjligt vilket skulle
leda till en så liten materialåtgång som möjligt. Vi undersöker om vi
hittar 𝐴′ = 0
4000
𝜋𝑥 3 4000
𝜋𝑥 3 − 4000
𝜋𝑥 − 2 = 0 ↔
− 2 =0 ↔
=0↔
𝑥
𝑥2
𝑥
𝑥2
↔ 𝜋𝑥 3 − 4000 = 0 ↔ 𝑥 3 =
4000
↔𝑥=
𝜋
3
4000
↔ 𝑥 ≈ 10,835
𝜋
ℎ
𝑑
𝑂
𝑟
3251
𝑥 ≈ 10,835 → 𝐴′ = 0
Vi skapar nu en teckentabell
ℎ
(𝑐𝑚)
𝑥
min
𝐴
𝑜𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟𝑎𝑑
↘
𝐴′
𝑜𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟𝑎𝑑
−
𝑥
0
553,6
↗
0
+
10,835
4000 𝜋
𝐴=
+ 10,82 = 553,6 cm2
10,8 2
Diametern 10,8 ger minimal materialåtgång. Detta ger höjden.
ℎ=
4000
≈ 10,846
𝜋 × 10,8352
𝑑
Svar: Den minsta materialåtgång vi kan få till är då diametern
och höjden är 10,8 cm vardera.
ℎ
𝑂
𝑟
𝐴=
4000 𝜋 2
+ 𝑥
𝑥
2
𝐴′ = 𝜋𝑥 −
4000
𝑥2
ℎ=
4000
𝜋𝑥 2