3.2 Derivator och tillämpningar
Download
Report
Transcript 3.2 Derivator och tillämpningar
3.2 Derivator och tillämpningar
Potens- och exponentialfunktioner
Undersökning av π π₯ =
1
π₯2
1. Funktionen är inte definerad för π₯ = 0 och den kommer inte att ha några
1
nollställen då 2 β 0 för alla π₯.
π₯
2
2. π π₯ = π₯ β2 β π β² π₯ = β2π₯ β3 = β π₯ 3
Funktionens derivata är inte heller definerad för π₯ = 0 och kommer heller
aldrig att anta värdet 0.
π β² π₯ β 0 β Extrempunkter saknas.
π¦
β
ππππππππππ
β
π¦β²
+
ππππππππππ
β
π₯
0
Grafritaren ger följande bild av grafen
π(π₯)
3241
8
Rita kurvan π¦ = 2π₯ + π₯ med hjälp av derivata och ange
extrempunkternas koordinater.
π¦ = 2π₯ + 8π₯ β1
π¦ β² = 2 β 8π₯ β2 = 2 β
8
π₯2
Varken funktionen eller dess derivata är definerad för π₯ = 0
För att finna eventuella extrempunkter undersöker vi vart π¦ β² = 0
2π₯ 2 8
2π₯ 2 β 8
8
β 2π₯ 2 β 8 = 0 β
=
0
2β 2 =0 β 2 β 2 =0 β
π₯
π₯
π₯2
π₯
β π₯ 2 = 4 β π₯ = ±2
3241
Vi gör en teckentabell
max
min
π¦
β
β8
β
β
β
8
β
π¦β²
+
0
β
β
β
0
+
π₯
β2
π¦ β2 = 2 β2 +
π¦ 2 =2 2 +
0
8
= β8
β2
8
=8
2
2
8
π¦ = 2π₯ +
π₯
π¦β² = 2 β
8
π₯2
3241
max
min
π¦
β
β8
β
β
β
8
β
π¦β²
+
0
β
β
β
0
+
π₯
β2
0
2
För väldigt stora såväl positiva som negativa
8
värden på π₯ blir funktionen π¦ = 2π₯ +
π₯
väldigt lik π¦ = 2π₯
Här blir π¦ axeln och linjen π¦ = 2π₯
8
asymptoter till funktionen π¦ = 2π₯ + π₯
8
π¦ = 2π₯ +
π₯
π¦ = 2π₯
3251
En cylinderformad konservburk av plåt rymmer 1000
cm3.
β
(ππ)
π₯
Bestäm höjd och diameter så att materialåtgången blir så liten
som möjligt.
Volymen ger oss följande samband
π₯
π×
2
2
× β = 1000 β
ππ₯ 2 β
4
= 1000 β β =
π=π₯
4000
ππ₯ 2
π₯
π=
2
Det material som kommer att gå åt till cylindern är en botten och
en topp samt en mantelyta.
π × π = π β ππ₯ = π
π΄ =β×π+2×
rektangel
ππ 2
2 cirklar
4000
π₯
=
×
ππ₯
+
2
×
π
ππ₯ 2
2
2
β
π
β
π
π
3251
βπ΄=
4000
+
π₯
2ππ₯ 2
4
4000 ππ₯ 2
π
+
= 4000π₯ β1 + π₯ 2
=
π₯
2
2
β
(ππ)
π₯
Det blir naturligt att π΄ endast är definerad för positiva värden på π₯
Vi undersöker funktionen för cylinderns area med hjälp av dess derivata.
π΄β² = β4000π₯ β2 + ππ₯ = ππ₯ β
π=π₯
4000
π₯2
π₯
π=
2
Vi undersöker om vi kan hitta en så liten area som möjligt vilket skulle
leda till en så liten materialåtgång som möjligt. Vi undersöker om vi
hittar π΄β² = 0
4000
ππ₯ 3 4000
ππ₯ 3 β 4000
ππ₯ β 2 = 0 β
β 2 =0 β
=0β
π₯
π₯2
π₯
π₯2
β ππ₯ 3 β 4000 = 0 β π₯ 3 =
4000
βπ₯=
π
3
4000
β π₯ β 10,835
π
β
π
π
π
3251
π₯ β 10,835 β π΄β² = 0
Vi skapar nu en teckentabell
β
(ππ)
π₯
min
π΄
ππππππππππ
β
π΄β²
ππππππππππ
β
π₯
0
553,6
β
0
+
10,835
4000 π
π΄=
+ 10,82 = 553,6 cm2
10,8 2
Diametern 10,8 ger minimal materialåtgång. Detta ger höjden.
β=
4000
β 10,846
π × 10,8352
π
Svar: Den minsta materialåtgång vi kan få till är då diametern
och höjden är 10,8 cm vardera.
β
π
π
π΄=
4000 π 2
+ π₯
π₯
2
π΄β² = ππ₯ β
4000
π₯2
β=
4000
ππ₯ 2