Transcript 110912 2 Kedejregeln i Ma E - Anna Svärd.pdf

Från bloggen Svärds värld på Ehrensvärdska gymnasiet på http://mattebron.ncm.gu.se
Anna Svärd, Ehrensvärdska gymnasiet
[email protected]
9 september 2011
Kedjeregeln i Ma E
Denna vecka har vi ägnat oss åt kedjeregeln. Där behandlar man kedjeregeln i olika
tillämpningar, alla handlar om areor eller volymer till skillnad från D-kursen där en sammansatt
) .
funktion deriverades direkt, t ex derivera ( ) (
Jag har hittat följande svårigheter med kedjeregeln i E-kursen:
a) Hitta den aktuella formeln för uppgiften (typ
b) Hitta ett uttryck för
c)
).
.
blir ingen färdig funktion där ett visst t-värde, typ
uttrycket för
och dels numeriskt värde för
.
består dels av
. Detta är något nytt för eleverna.
d) Slutligen är skrivsättet svårt. I tidigare kurser har vi haft funktionen ( ) vars derivata är
( ). För ( ( )) är dock inte ( ( )) derivatan utan endast en del av den. Detta har
man löst genom att sätta
( ( )) och därmed
( ( ))
( ). Vissa böcker skriver
( ( ))
( ( ))
( ) och
.
Läser man läroböckernas Ma E-exempel har de inte så klar koppling till D-kursens kedjeregel.
Det är pang på
, förutom någon bok även skrev skrivsättet ( )
( ) ( ).
När jag undervisar detta brukar jag börja med följande exempel:
En snöboll smälter så att radien minskar konstant med 0,10 cm per minut. Hur mycket minskar
snöbollens volym med när dess radie är 12 cm?
Jag beskriver att V beror på r och r beror på t, alltså beror V på t, sambandet
skrivs
upp och förklaras, kopplingen till kedjeregeln diskuteras. Därefter försöker vi komma fram till
ett uttryck på . Efter lite räknande och insättning får vi fram ett svar. Men ger detta en
förståelse för vad den inre och yttre funktionen är? Snarare en metod om hur man löser sådana
här uppgifter.
I år började jag likadant och alla lämnade in hemläxan om kedjeregeln lektionen efter. Alla hade
exemplariska lösningar, men fanns förståelsen?
Från bloggen Svärds värld på Ehrensvärdska gymnasiet på http://mattebron.ncm.gu.se
Anna Svärd, Ehrensvärdska gymnasiet
[email protected]
9 september 2011
Lektionen efter fortsatte vi med kedjeregeln, men nu började vi med D-kursen som
utgångspunkt:
) ?
Vad blir ( ) då ( ) (
Kunde man inte skriva det som ( )
( ( ))
( )
och ( )
och få derivatan genom
( ) , yttre·inre derivata? Hur blir det då?
Efter att rett ut uppgiften ovan gick vi tillbaka till snöbollen, V beror på r och r beror på t, alltså
( ( )). Hur kan vi skriva derivatan av det? Jo, yttre·inre derivata,
( ( ))
( )
( ) eller med skrivsättet
.
Nu till nästa svåra moment. Vi har ingen funktion som ska deriveras utan vi ska snarare hitta ett
numeriskt värde på ( ) vid en viss radie r
(vid en viss tidpunkt ). Detta sker genom att
vi bestämmer ett uttryck för ( ) och beräknar ( ). ( ) multipliceras med ( ), som var
given i uppgiften, och får då ut det sökta värdet på ( ).
Kan detta vara den stora svårigheten? I föregående kurser när vi bestämt derivatans värde för ett
viss t-värde har vi haft en funktion. Funktionen deriveras, värdet på t sättas in, och ut kommer
derivatans värde vid givet t-värde. Nu ska ( ) för den aktuella radien bestämmas med hjälp av
en produkt med ”färdiga värden”. Vi har inga t som ska bytas ut mot ett x-värde.
När eleverna deriverat sammansatta funktioner i D-kursen har de kunnat ”göra allt i ett”:
. Denna färdighet har man velat öva upp hos eleverna i Ma D. Nu i Ekursen består deras funktion av två delar där de ska få fram ett numeriskt värde på varje del och
sedan multiplicera ihop dem. Den inre och yttre funktion (derivatan) hänger inte ihop som en
enhet på samma sätt som i D-kursen. I exemplet snöbollen är det dels och dels .
Efter att repeterat kedjeregeln á la Ma D så kanske eleverna borde få uppgifter av nedan karaktär
som introduktion i E-kursens kedjeregel?
a)
b)
c)
d)
Derivera
( ( ))
Bestäm
Bestäm ( ) då ( ( ))
och
Bestäm ( ) då
och ( )
( )
, ( )
Och kanske man borde arbeta mer med de olika skrivsätten för derivata?
Min upplevelse är att eleverna inte fått någon klar förståelse utan endast en metod för att räkna ut
kedjeregelns uppgifter i Ma E. Jag anser att kopplingen till kedjeregeln i D-kursen måste göras
ännu tydligare för att eleverna ska få förståelsen.