Förändringshastighet och derivator

manada.se

Förklara och använda begreppet  lutning  ändringskvot manada.se

 Polynom och polynomfunktion  Kontinuerliga och diskontinuerlig funktioner  Gränsvärden  Räta linjens ekvation  Ändringskvot manada.se

2.1 Ändringskvoten och begreppet derivata

Förkunskaper:

• Algebraiska uttryck • Ekvationslösning • Räta linjen ekvation • Funktioner och deras grafer • Begreppen kontinuerlig och diskontinuerlig funktion manada.se

 Polynom (grekiska) - många namn eller många termer  En summa av konstant- och variabeltermer, där varje variabelterm är en produkt av ett tal och en variabel med positiv heltalexponent

2x

4

+ 4x

3

+ 5

Konstant term Koefficient Variabel manada.se

 En bils koldioxidutsläpp beror av farten  Om koldioxidutsläppet(pollution)

p(v)

mäts i gram per kilometer och farten

v

i kilometer per timme, så kan sambandet beskrivas med uttrycket

p(v)

= 0,045

v

2 – 6,75

v

+ 393 för 30≤

v

≤ 130 (definitionsmängden) manada.se

• • 𝒑 𝒗 = 𝟎, 𝟎𝟒𝟓𝒗 𝟐 − 𝟔, 𝟕𝟓𝒗 + 𝟑𝟗𝟑 − kallas polynomfunktion Definitionsmängden 𝟑𝟎 ≤ 𝒗 ≤ 𝟏𝟑𝟎 betyder att sambandet gäller för hastigheter från och med 𝟑𝟎 𝒌𝒎/𝒉 till och med 𝟏𝟑𝟎 𝒌𝒎/𝒉 manada.se

• Polynomfunktion • är definierade för alla 𝒙 Funktionens graf hänger ihop och inte har några språng • • Denna funktion har inte en sammanhängande graf Den är inte kontinuerlig för alla 𝒙 manada.se

𝒚 = 𝒙 𝟐 + 𝟏 𝒙 𝑥 > 0 𝑥 < 0 𝒚 = 𝒙 𝟐 + 𝟏 𝒙 𝟑 𝑥 > 0 𝑥 < 0

Förändringen i

𝒚-

led

=

Förändringen i

𝒙-

led

𝑦 2 𝑥 2 − 𝑦 1 = − 𝑥 1 Δ𝑦 = Δ𝑥 En genomsnittlig förändring kallas ändringskvot manada.se

Δ𝑦 Δ𝑥 = 𝑦 2 −𝑦 1 𝑥 2 −𝑥 1 = Tecknet Δ är den grekiska bokstaven

delta

.

Delta står för differens (skillnad) eller förändring.

I detta sammanhang betyder Δ 𝑦 𝑦 − koordinater Δ𝑥 skillnaden mellan skillnaden mellan 𝑥 − koordinater manada.se

y



k x



m

manada.se

(1,5) • 2 steg i y-led (0,3) • 1 steg i x-led manada.se

(1,5) • ∆y = 2 (0,3) • ∆x = 1

Linjens lutning

∆𝑦 = ∆𝑥 2 1 = 2 14 manada.se

= linjens lutning = var linjen skär y-axeln

manada.se

• Vi har ritat grafen till funktionen • • • • Ändringskvoten Δ𝑦 Δ𝑥 10−2 ⟹ = 4 2 = 𝑓 3 −𝑓(1) 3−1 ⟹ Andringskvoten = den röda linjens lutning Linjen kallas

sekant

(

Andringskvot är kurvans 𝑥 i en viss interval

ligger mellan 1 och 3)

y (3,10) ∆y (1,2) ∆x x manada.se

manada.se

 Derivata är ett av matematikens sätt att beskriva förändring

vid en viss tidpunkt

 Här kommer en cyklist och vi fryser tiden så att händelsen och cyklist står helt stilla

”Frys händelsen”

Hastigheten 20 km/h

Vad är förändringen av hastigheten just nu i den frysta händelsen?

• • Förändringen av hastigheten just nu är

derivatan av hastigheten

Den beskriver man med fysikaliska termen

acceleration

som just nu är förändring av hastigheten manada.se

 Här skyter vi upp en boll och fryser bollen och händelsen precis på toppen av dess bana.

”Frys händelsen” Vad är förändringen av höjden just nu i den frysta händelsen?

Höjd: 3 meter • • • Förändringen av höjden just nu är

derivatan av höjden

Just nu så står det bollen still, så höjden förändras inte alls. Så

derivata

är ju 0 𝑚/𝑠 den här tillfället vid manada.se

 Vi låter bollen åka när åt marken igen så fryser vi händelse precis innan den träffar marken vid 0,5 m

Vad är förändringen av höjden just nu i den frysta händelsen?

• • Förändringen av höjden just nu är

derivatan av höjden Derivatan

är just nu negativ (t.ex. -1 m/s) då bollen är tillbaka igen mot marken

”Frys händelsen”

Höjd: 0,5 meter manada.se

    Förändringshastigheten vid en viss tidpunkt Derivatan kopplar man alltid med funktioner och man betecknar derivatan på ett speciellt viss.

Om vi har en funktion 𝒇(𝒙) 𝒇´(𝒙) ⟹ ”𝑓 𝑝𝑟𝑖𝑚 𝑎𝑣 𝑥” betecknas derivata som Man sätter en apostrof mellan 𝑓 − 𝑒𝑡 och 𝑥 − 𝑒𝑡 och då menar man att det är derivatan till funktionen manada.se

Höjd,

𝒇

(

𝒙)

Tid,

𝒙 Funktionen 𝒇

(

𝒙 ) ger höjden på en boll efter 𝒙 sekunder  f(0,5) = 1 betyder att efter 0,5 sek bollen befinner sig på 1 m höjd  f´(0,5) = 1,5 betyder att efter 0,5 s förändras höjden (+1,5) m/s uppåt  f´(1) = 0 betyder att efter 1 sekund förändras inte höjden något och bollen befinner sig i toppen  f´(1,5) = (-1) betyder att efter 1,5 sekunder är bollen på väg neråt. Höjden minskar med 1 m/s manada.se

A B C    Funktionen 𝒇(𝒙) växande är Tangentens 𝒌 − värde är positivt Derivatan 𝒇´(𝒙) positiv    Funktionen punkt 𝒇(𝒙) har en maximum Tangentens är 0 𝒌 -värde Derivatan 𝒇´(𝒙) är 0    Funktionen avtagande 𝒇(𝒙) är Tangentens 𝒌 -värde är negativt Derivatan 𝒇´(𝒙) negativ Om derivatan är positiv så är funktionen växande Om derivatan är negativ så är funktionen avtagande manada.se

• • • • • • När vi behöver få reda på hur ett värde har förändrats under en viss tid använder vi begreppet derivata För att bestämma förändringshastighet För att bestämma andra förändringar: • • • • bakterietillväxt, befolkningsmängd tillväxt ekonomiska förlopp muskeltillväxt För att generalisera till ytor, volymer, fysikaliska processer För att analysera kurvor (förlopp) Derivata är utgångspunkt för mycket inom matematiken och fysiken manada.se

a) b) c) d) Skriv en ekvation för en funktion 𝑦 = 𝑓(𝑥) ändringskvoten Δ𝑦 Δ𝑥 alltid lika stor Vad kallas de funktioner som har konstant ändringskvot?

där Vad är det för skillnaden mellan följande uttryck 𝑓(2) och 𝑓´(2) För en funktion 𝑦 = 𝑓(𝑥) är 𝑓(3) = 2 och 𝑓´(3) = (−1) . Förklara vad det betyder.

manada.se

a) b) c) a) 𝑦 = 3𝑥 + 4 linjer funktion 𝑓(2) – temperaturen vid tiden 𝑡 = 2 𝑓´(2) 𝑡 = 2 – ändring av temperaturen då tiden Grafen går genom punkt (3,2) i punkten är (−1) och lutningen manada.se