Transcript Sekant, tangent, ändringskvot och derivata för en funktion

Sekant, tangent, ändringskvot och
derivata för en funktion
Ändringskvot
Ändringskvoten beskriver en genomsnittlig förändring.
T ex ökning/år eller minskning/sekund. Medelhastighet är
en ändringskvot.
Uppgift:
Kalle vägde 120 kg när han började banta. Tabellen visar hur hans vikt förändrades.
Tid i veckor
Vikt i kg
0
2
4
6
10
20
120
118
114
112
105
97
a) Hur stor var Kalles genomsnittliga viktminskning per vecka under hela perioden?
b) Bestäm ändringskvoten kg/vecka från vecka 2 till 4.
Sekantens lutning
Bilden visar grafen till funktionen
𝑓 𝑥 = 𝑥 2 + 1.
Bestäm ändringskvoten då 𝑥 ändras
från 𝑥 = 1 till 𝑥 = 3.
Vi ska alltså bestämma
sekantens lutning!
∆𝑦 𝑓 3 − 𝑓(1) 10 − 2
Ändringskvoten =
=
=
=4
∆𝑥
3−1
2
Uppgift
Bestäm ändringskvoten för funktionen 𝑓 𝑥 = 3𝑥 2 , då 𝑥
ändras
a) från 2 till 2,01
b) från 2 till 2 + ℎ
Lösningar
a) Ändringskvoten =
𝑓 2,01 − 𝑓(2)
=
2,01 − 2
12,1203 − 12
=
0,01
b) Ändringskvoten =
𝑓 2 + ℎ − 𝑓(2)
=
(2 + ℎ) − 2
3 ∙ 2,012 − 3 ∙ 22
=
0,01
0,1203
= 𝟏𝟐, 𝟎𝟑
0,01
3 ∙ (2 + ℎ)2 −3 ∙ 22
=
2+ℎ−2
3 4 + 4ℎ + ℎ2 − 12
=
ℎ
12ℎ + 3ℎ2
=
ℎ
12 + 12ℎ + 3ℎ2 − 12
=
ℎ
ℎ(12 + 3ℎ)
= 𝟏𝟐 + 𝟑𝒉
ℎ
Från sekant till tangent
Det är svårt att rita en korrekt tangent till en kurva. För att bestämma
tangentens lutning kan man istället utgå från en sekant och låta avståndet
mellan de två skärningspunkterna bli mindre och mindre. När punkterna
till slut sammanfaller, så övergår sekanten till en tangent.
Från sekant till tangent
Derivata
 Tangentens lutning är detsamma som funktionens derivata i
den punkten.
 Funktionens derivata beskriver alltså en kurvas lutning i en
punkt.
Derivatan negativ
Derivatan positiv
Derivatan noll
Resonemang och begrepp
Sid 63 i boken:
 Varför är det lättare att rita en sekant än att rita en tangent till en




kurva?
På vilket sätt kan man bestämma en kurvas medellutning i ett
intervall?
På vilket sätt kan man bestämma en kurvas lutning i en punkt?
En rät linje kan i vissa fall vara både en sekant och en tangent till
en kurva. Hur kan grafen till en sådan funktion se ut?
I vilka situationer kan man vara intresserad av att veta lutningen på
tangenten till en kurva i en viss punkt?
Gränsvärde
Vi går tillbaka till ändringskvoten för funktionen 𝑓 𝑥 = 3𝑥 2 ,
då 𝑥 ändras från 2 till 2 + ℎ:
Vi fick att ändringskvoten = 12 + 3ℎ
𝒉 är lika med avståndet
mellan punkterna.
Om vi låter ℎ gå mot noll så
kommer sekanten att övergå till en
tangent och vi får ett värde på
derivatan i punkten där 𝑥 = 2.
Alltså…
Derivatan där 𝑥 = 2 är
lim 12 + 3ℎ = 12 + 3 ∙ 0 = 12
ℎ→0
Derivatan av funktionen 𝑓(𝑥) i den punkt där 𝑥 = 2 skrivs 𝑓´ 2 och utläses ”f prim 2”.
Derivatans definition
Felix Herngren
𝑓 𝑎 + ℎ − 𝑓(𝑎)
𝑓´ 𝑎 = lim
ℎ→0
ℎ
Detta är derivatan till funktionen 𝑓(𝑥) där 𝑥 = 𝑎.
𝑓´(𝑎) betyder också tangentens k-värde i den punkt där 𝑥 =
𝑎.
Uppgifter
Beräkna gränsvärdena
a) lim (2ℎ + 5)
ℎ→0
b)
c)
𝑥−𝑥 2
lim
ℎ→0 𝑥
8+ℎ 2 −82
lim
ℎ
ℎ→0
Beräkna 𝑓´(2) med hjälp av derivatans definition, då
d) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 3
e) 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 + 6𝑥
Lösningar
a)
b)
2 2+ℎ +3−(2∙2+3)
ℎ
lim (2ℎ + 5) = 2 ∙ 0 + 5 = 𝟓
ℎ→0
Förenkla
𝑥−𝑥 2
𝑥
𝑥−𝑥 2
lim
ℎ→0 𝑥
=
𝑥(1−𝑥)
𝑥
Förenkla
=
16ℎ+ℎ2
ℎ
64+16ℎ+ℎ2 −64
ℎ
=
= 16 + ℎ
8+ℎ 2 −82
ℎ
ℎ→0
lim
=
= lim (16 + ℎ) = 16 +
ℎ→0
Sätt upp ändringskvoten
Sätt upp ändringskvoten
2+ℎ 2 +6 2+ℎ −(22 +6∙2)
ℎ
=
0 = 𝟏𝟔
d)
2ℎ
ℎ
lim 2 = 𝟐
ℎ→0
8+ℎ
ℎ
=
ℎ→0
e)
c)
4+2ℎ+3−4−3
ℎ
2
=1−𝑥
= lim (1 − 𝑥) = 1 − 0 = 𝟏
2 −82
=
𝑓 2+ℎ −𝑓(2)
ℎ
=
4+4ℎ+ℎ2 +12+6ℎ−4−12
ℎ
=
10ℎ+ℎ2
ℎ
10 + ℎ
lim 10 + ℎ = 10 + 0 = 𝟏𝟎
ℎ→0
𝑓 2+ℎ −𝑓(2)
ℎ
=
=
=
=