Transcript Potens- och exponentialfunktioner

Potens- och
exponentialfunktioner
1. Potenser med reell exponent…………………………………………..2
2. Jämförelser mellan exponentialfunktioner och
linjära funktioner……………………………………………………………5
3. Exponential- och potensfunktioner………………………………...14
Matematiken i historien, Kepler……………………………………..21
4. Logaritmer……………………………………………………………………25
Tema – Jordbävningar…………………………………………………....32
Facit……………………………………………………………………………..36
Bilder: Akvareller av Ramon Cavaller; Illustrationer: s.1 Nils-Göran Mattsson, IBL Bildbyrå:
s.15 J.E. Pasquier/Rapho, s.23 Mark Garlic/Science Photo Library; Geometriska konstruktioner
och diagram av Nils-Göran Mattsson
© Författarna och Bokförlaget Borken, 2011
Potens- och exponentialfunktioner - 1
1 Potenser med reell exponent
Teori ▪ Läs om potenser på sidorna 53 – 56 i
modulen Aritmetik
G1.1
a)
b)
c)
d)
e)
Skriv följande tal som potenser med basen 10 utan att använda
räknare.
5,5
10 ⋅10-0,4
10 0,5
10 0,5 2
f)
i)
(
)
10 5
10 5
5,5 2
-5,4
(10 ) ⋅10
(10 0,5 ) 4
10 −0,5
g)
j)
106,6⋅0,01-5,4
10 −5
10 3
(10-9,5)-2⋅10-5,4
10 0,5 ⋅ (10 −6 ) 2
10 −3,5
h)
(0,0015)3⋅10-2
10 5
(10 5 ) 7
k)
G1.2
Ordna följande potenser i storleksordning från den minsta till
den största.
3
-2
a) 6 ; 6 ; 62; 6-3; 60; 6-1; 62
b) 0,63; 0,6-2; 0,62; 0,6-3; 0,60; 0,6-1; 0,62
c) Jämför resultaten i a) och b). Vilken regel tycks gälla?
G1.3
a)
b)
c)
d)
Förenkla
a ⋅a
a⋅am
a3m⋅am
am-2⋅am-1
4
7
G1.4
a)
b)
c)
d)
27
272/3
82/3
8-2/3
1/3
e) a4m⋅a2m⋅a-2
f)
g)
a7
a
a7
a −2
Förenkla så långt som möjligt
e) (1/49)0
f) 0,0081/3
g) 100000001/7
h) 10241/10
h)
a 4m
a 3m
i) 1024-1/10
j) 0,06251/4
Potens- och exponentialfunktioner - 2
Teori ▪ Rotlagar
Eftersom uttrycket a1 / n också kan skrivas
a har potenslagarna sina
1/ n
1/ n
1/ n
motsvarigheter i rotlagarna. Ett exempel: Vi vet att a ⋅ b = (ab) .
a ⋅ n b = n ab
Alltså är
n
V1.5
Bevisa följande rotlagar:
a
a)
=
b
G1.6
a)
c)
d)
e)
b) ( a ) m = a m
a
b
3
3
4
g)
3
h)
2
4
i)
3
V1.7
2
2
2
l)
4
m)
n)
2
3
2
3
64
3
64
3 4
312
Vilka av följande talpar är lika? Använd inte räknare.
a) 2 3 och 12
b)
k)
8
j) ( 3 ) 3
8
f)
2
c) b a = b ⋅ a
Skriv i potensform och med basen 2 eller 3.
3
27
b)
n
e)
15
3
2
f) 3 ⋅ 28 och 2 ⋅ 63
och 3
5
16
4
c)
och
9
3
2
d) ( 7 ) och 14
V1.8
23 och
Skriv följande uttryck så enkelt som möjligt
3
a) (3x)
b) (
x 2
)
3
c)
Potens- och exponentialfunktioner - 3
(
2 x 2
)
3x
V1.9
Det finns en formel för att lösa tredjegradsekvationen, formulerad av Gerolamo Cardano i Ars Magna, 1545, x3+ mx = n.
Beräkna en lösning till ekvationen x3+ 5x = 18 om formeln för
n
n 2 m3 3 n
n 2 m3
+
− − +
+
en lösning till ekvationen är: 3 +
2
4
27
2
4
27
V1.10 Beräkna de två potenserna nedan från ’ögonblicksbilden’ i
en applikation: Potens-4 Valbara exponenter
Modell ▪ Att lösa ekvationer med rotuttryck
Exempel 1 x – 15 = 2 x
Lösning Vi kvadrerar ekvationen och får (x – 15)2 = 4x. Här kan vi få
lösningar som inte är korrekta. Vi måste alltså pröva lösningarna innan
resultatet presenteras. En korrekt logisk uppställning är:
x – 15 = 2 x ⇒ (x – 15)2 = 4x ⇔ x2 –34x + 225 = 0 ⇔
⇔ x 1 = 25 eller x 2 = 9
Potens- och exponentialfunktioner - 4
Tecknet ⇒ betyder: Om påståendet före pilen är sant så är påståendet efter pilen
sant. Men om påståendet efter pilen är sant så behöver inte påståendet före pilen
vara det. Detta innebär att en prövning av resultatet måste göras.
Tecknet ⇔ betyder: Påståendet före dubbelpilen är sant om och endast om
påståendet efter dubbelpilen är sant.
Prövning av x = 25: Vänstra ledet = 25 – 15 = 10.
Högra ledet = 2⋅ 25 = 10 Alltså är x = 25 en lösning till rotekvationen.
Prövning av x = 9: Vänstra ledet = 9 – 15 = -6.
Högra ledet = 2⋅ 9 = 6 Alltså är x = 9 ingen lösning till rotekvationen.
G1.11 Lös rotekvationerna
a)
b)
c)
d)
2x + 1 = 5
x−7 =3
4 − x =1
2x + 1 = x − 1
e)
3x − 2 = 2 − x
f)
3x 2 − 2 = 2 − x
g)
13 − 4 x + x = 2
V1.12 Tio gånger kvadratroten ur antalet svanor i en flock, som
simmar på insjöns vattenspegel, höjer sig i flykt mot Manus
dal, emedan de ser molnen skocka sig på himlen. Åttondelen av
antalet i flocken söker skydd bland näckrosorna vid stranden,
och endast tre par svanor stannar kvar, obekymrade om det
annalkande ovädret. Säg mig, unga skönlockiga flicka, hur
många svanor fanns i flocken? (Av den indiske matematikern
Bhaskara ung. 1150 e Kr, som bl a gett flera originella bevis för
Pythagoras sats.)
Fler metoder att lös potensfunktioner finns i
Modell ▪ Beräkna basen k ur ekvationen y =k x på sidan 15
Potens- och exponentialfunktioner - 5
2 Jämförelser mellan
exponentialfunktioner och linjära
funktioner
Teori ▪ Fördubblingar och halveringar utifrån ett
begynnelsevärde, B.
Antalet bakterier i en bakterieodling fördubblas varje timme. Hur många
bakterier fanns det för 3 timmar sedan om antalet nu är 10 000 st? Detta
problem löser man enklast på följande sätt:
För 1 h sedan fanns 5000 bakterier.
För 2 h sedan fanns 2500 bakterier.
För 3 h sedan fanns 1250 bakterier.
Vi vill nu ha en formel för hur många bakterier (y st) som fanns för x
timmar sedan eller finns om x timmar, där ett positivt x betyder framtid
och ett negativt x betyder förfluten tid. Vi antar vidare att det finns B
bakterier nu. Vi gör en värdetabell.
x (h)
1
–1
(om en timme) (för en timme sedan)
B
y (bakterier)
B⋅2
= B ⋅ 2 −1
2
2
–2
B⋅22
B
= B ⋅ 2 −2
4
Vi får formeln y= B⋅2x. Den beskriver en tillväxt som innebär en fördubbling för varje tidsenhet (varje timme), B är ett begynnelsevärde. Det
sker alltså en ökning med100% för varje timme som går. Ett förlopp
som ökar (minskar) med samma procenttal under lika stora tidsperioder
kallas en exponentiell förändring. Talet 2 är förändringsfaktorn.
Formeln y=B⋅2x eller mera allmänt y=B⋅ kx beskriver en exponentialfunktion. Den kallas så för att den oberoende variabeln, x, står i exponenten.
Potens- och exponentialfunktioner - 6
Lös G–uppgifterna i detta avsnitt utan räknare.
G2.1
Frida har under några veckor fördubblat sina sparpengar varje
vecka. Hur många kronor hade hon för fyra veckor sedan om
hon har 64 kronor nu?
G2.2
Antalet anställda i ett nystartat företag har en period
fördubblats var tredje månad. Hur många anställda fanns det
för ett år sedan om företaget nu har 4000 anställda?
G2.3
Radioaktiviteten i ett preparat halveras var femte dag.
Radioaktiviteten uppmättes en dag till 5600 Bq (becquerel,
sönderfall per sekund). Hur hög var radioaktiviteten 20 dagar
senare?
G2.4
Vilken exponentialfunktion gäller för ett tidsberoende förlopp
där den exponentiella förändringen är 200%?
G2.5
Antalet bilar som passerar en trafikerad led femfaldigas varje ny
månad. Med hur många procent ökar antalet bilar varje
månad?
Potens- och exponentialfunktioner - 7
Teori ▪ Jämförelser mellan exponential- och linjär
funktion
En biolog är intresserad av att se
hur snabbt granplantor växer.
Han börjar studera träden när
de är 2,00 m höga och mäter
medelvärdet av ett stort antal
plantor efter 1, 2, 3, 4, 5, 6 och
7 år. Han upptäcker på detta
sätt att träden växer med i
genomsnitt 18% varje år. Detta
innebär att ändringsfaktorn är
1,18. Tabellen till höger nedan
visar en linjär tillväxt.
Tid
(x år)
0
1
2
3
4
5
6
x
Trädets höjd Trädets Tid
Trädets höjd
(x år) ökar med
ökar med
höjd
18% varje år (y m)
0,50 m varje
år
2,00
2,00
0
2,00
2,36
1
2,00+0,50
2,00⋅1,18
2,78
2
2,00⋅1,182
2,00+2⋅0,50
3
3,29
3
2,00⋅1,18
2,00+3⋅0,50
4
3,88
4
2,00⋅1,18
2,00+4⋅0,50
5
4,58
5
2,00⋅1,18
2,00+5⋅0,50
6
5,40
6
2,00⋅1,18
2,00+6⋅0,50
y
x
2,00⋅1,18x
2,00+x⋅0,50
Trädets höjd
(y m)
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
4,50
5,00
y
I diagrammet på nästa sida ser du graferna för den exponentiella och den
linjära funktionen.
Man kan ge en exakt matematisk definition av 1,18x för godtyckliga reella
värden på x och inte bara heltal som ovan. Dessa värden kan beräknas med
en räknare.
Kontrollera att du kan göra dessa två beräkningar på din räknare:
1,180,55 (=1,0953…)
0,5–0,75 (=1,6817…)
Potens- och exponentialfunktioner - 8
Exempel
a) Vid vilken tidpunkt passerar trädet höjden 6 m enligt den
exponentiella modellen?
b) Vid vilken tidpunkt passerar trädet höjden 6 m enligt den linjära
modellen?
c) Ange formeln för den exponentiella modellen om trädets
begynnelsehöjd är 1,5 m.
d) Ange formeln för den exponentiella modellen om trädens höjd ökar
med 25% per år.
e) Formlerna för trädets höjd är matematiska modeller. Varför kan inte
dessa modeller stämma för hela trädets livslängd och kanske inte ens
då?
Potens- och exponentialfunktioner - 9
Lösning
a) Ur grafen ovan för den exponentiella modellen kan du avläsa att x ≈
6,6 ger y ≈ 6. Räknaren ger 2,00⋅1,186,6 ≈ 6.
b) Ur grafen ovan för den linjära modellen kan du avläsa att x ≈ 8 ger y
≈ 6. Räknaren ger 2,00+8⋅0,50 ≈ 6.
c) y=1,5⋅1,18x
d) y=2,0⋅1,25x
G2.6
Undersök följande exponentialfunktioner med grafritande
hjälpmedel (miniräknare eller datorprogram). Ökar eller
minskar värdena av funktionen y = B⋅k x när x–värdena ökar?
Hur beror detta på värdena av B och k?
(a) y=5⋅1,24x
(c) y=5⋅1,4–x
(b) y=4⋅0,75x
(d) y=4⋅0,5–x
G2.7
En lastbils värde y kr antas vara en funktion av bilens ålder x år
enligt y = 750000⋅0,80x.
Vad kostade lastbilen som ny?
Vad betyder faktorn 0,80?
Om x = 3 så är y =384000. Tolka detta.
Ge en tolkning av olikheten 750000⋅0,80x < 500000.
a)
b)
c)
d)
G2.8
a)
b)
c)
d)
Johan har med sig nyponsoppa i en termos under en skidtur
vid 0°C. För innehållet i denna termos gäller att
temperaturskillnaden till omgivningen sjunker med 8 % varje
timme. Detta förhållande gäller under de första 6 timmarna
från det att termosen har fyllts med 80–gradig soppa.
Vilken temperatur har soppan efter 1 timme?
Skriv upp den formel som visar nyponsoppans temperatur efter
x h om x ≤ 6.
Vilken temperatur har soppan efter 5 h?
Rita funktionens graf för tidsintervallet 0 ≤ x ≤ 6, dvs för
definitionsmängden.
Potens- och exponentialfunktioner 10
G2.9
a)
b)
c)
d)
Femtio kaniner som kommit loss på en större obebodd ö
förökar sig med 62% per månad.
Ange den funktion f(x) som beskriver kaninernas antal efter x
månader om inga kaniner har dött under dessa månader.
Åskådliggör f(x) i ett koordinatsystem.
Använd grafen för att avläsa hur många kaniner det finns efter
8 månader och
när antalet kaniner uppgår till 5000.
G2.10 Var och en av 5 speglar reflekterar 90% av den inkommande
ljusintensiteten. Hur många procent av ljusintensiteten går
förlorad, om ljuset reflekteras i dessa fem speglar i följd?
G2.11 Bakteriehalten i en simbassäng är 18000 per cm3 klockan 7 en
a)
b)
måndag morgon och fördubblas därefter till samma klockslag
varje efterföljande dag.
Ange formeln för bakteriehalten efter x dygn.
Vilken är bakteriehalten följande måndag klockan 12?
V2.12 En IT–tekniker som har 24 000 kr i månadslön skall be om
löneförhöjning. Skall han be om (a) årlig uppräkning av lönen
med 3000 kr/mån eller (b) årlig uppräkning av lönen med
9,5%? Gör en utredning av för– och nackdelar med de två
modellerna.
Teori ▪ Kol-14-metoden
Kol–14–metoden är ett sätt att bestämma åldern på lämningar av organiskt material. Sådana lämningar kan till exempel vara föremål av trä och
ben, textila material, mumier och måltidsrester från gamla boplatser. En
av grundämnet kols isotoper (atomvarianter) tecknas 14C och kallas kol–
14. Små mängder kol–14 bildas i atmosfären då neutroner i den kosmiska strålningen kolliderar med kväveatomer. Dessa atomer uppträder för
övrigt som vanligt kol och förenar sig med syre till koldioxid och upptas
av levande organismer via fotosyntesen. Kol–14–atomerna är instabila
och sönderfaller. Vid sönderfallet sänder atomerna ut strålning. I en
Potens- och exponentialfunktioner 11
levande organism är halten kol–14 konstant. Men när organismen dör
tillförs inte några nya kol–14–atomer och halten börjar sjunka i en takt
som innebär att hälften har försvunnit efter 5600 år. Ju äldre ett föremål
är desto mindre strålning sänder det alltså ut. Med hjälp av strålningsmätning kan det bestämmas hur länge det var sedan organismen dog.
För utvecklingen av denna metod fick Willard Frank Libby Nobelpris i
kemi 1960.
Hälften av ett radioaktivt ämne sönderfaller under en halveringstid, som
för 14C vid åldersbestämningar brukar anges till 5568 år. Efter ytterligare
en halveringstid återstår hälften av hälften dvs en fjärdedel och så vidare.
Antalet radioaktiva atomer tecknas B(x) = B ⋅2 − x /5568 , där B är antalet
14
C–atomer vid tiden x = 0 år och B(x) är antalet 14C som återstår efter x
år. Sätter vi in halveringstiden x = 5568 får vi B(5568 )= B ⋅2 −5568/5568 =
B
som betyder hälften av antalet atomer som vid tiden x = 0.
B⋅2–1 =
2
Frimärket nedan visar kurvan B(x)=B 0 ⋅2 − x /5568
Potens- och exponentialfunktioner 12
V2.13 Nils ställde upp på ett medicinskt experiment som innebar att
a)
b)
c)
d)
radioaktivt teknetium–99 tillsattes de vita blodkropparna. Med
hjälp av strålningsmätning kan invärtes skador då lokaliseras.
Hur många procent teknetium finns kvar i kroppen efter 5 h
om formeln för dess sönderfall är y = B ⋅2 − x / 6,007 , där tiden x
mäts i timmar.
Vilken är halveringstiden enligt formeln?
Finns det något teknetium kvar i kroppen efter 10 år?
Skriv funktionen på formen y = B⋅k x.
V2.14 På ett laboratorium sätter man ett bakteriedödande preparat till
a)
b)
c)
en bakteriekultur. Grafen visar antalet bakterier i denna
bakteriekultur efter x minuter.
Hur många bakterier fanns det från början?
Efter hur lång tid återstår det endast 25% av bakterierna?
Vilken är den procentuella förändringen av antalet bakterier
per min?
Potens- och exponentialfunktioner 13
V2.15 Utsläppen av koldioxid har medfört att koldioxidhalten idag är
ca 30% högre än vid 1900–talets början. Vi antar att
förändringen av koldioxidhalten i atmosfären är exponentiell.
Med hur många procent har den ökat per år under 1900–talet?
V2.16 Vid Tjernobyl–olyckan släpptes det ut stora mängder
a)
b)
c)
radioaktivt cesium och jod.
Ange en formel för att beräkna aktiviteten x år efter olyckan.
Aktiviteten sjunker till 50% av begynnelsevärdet på 30 år, dvs
den 26 april 2016. Ledning: Använd värdet 100(%) för B.
Rita grafen till a) med hjälp av grafritande räknare eller
dataprogram.
Efter hur många år är strålningen 1% av den ursprungliga?
V2.17 Frankrikes senaste testsprängning av kärnvapen utfördes i Stilla
Oceanen 1996. Omedelbart efter explosionen var strålningen
från strontium–90 100 gånger högre än den högsta tillåtna för
att ön ska vara beboelig. När blir ön åter beboelig om
halveringstiden för strontium–90 är 29 år?
Potens- och exponentialfunktioner 14
3 Exponential- och potensfunktioner
Modell ▪ Beräkna basen k ur ekvationen y =k x
Exempel
Lös ekvationen 9 = k7
Lösning
Upphöj båda led till 1/7
91/7 = (k7)1/7
Men (k7)1/7 = k eftersom exponenten 7⋅(1/7) = 1
Alltså är k = 91/7
Ekvationen 9 = k7 har lösningen k = 91/7 ≈ 1,4
G3.1
a)
b)
c)
d)
i)
Bestäm med tre värdesiffror lösningarna till ekvationerna
x7 = 15
e)
0,25⋅x15 = 157
x3/7 = 7
f)
31,2x0,6 = 74,5
x1,21 = 23
g)
0,39 x-3/4 = 7,6
3,4⋅x1,5 = 145
h)
2,5⋅y0,15+3,0=
17
G3.2
En lägenhet hade under 80–talet en hyresstegring från 1900
kr/mån den 1 jan 1980 till 3500 kr/mån den 1 jan 1989.
Vilken blir den årliga procentuella hyreshöjningen om hyran
under hela 80–talet växte exponentiellt?
G3.3
En bank erbjuder Urban treåriga s k ”nollkupongare”. Den
ränta som man i vanliga fall får vid årsskiftet läggs till kapitalet.
Urban erhåller ränta och insatt kapital efter tre år. Han sätter in
17120 kr och får ut 20000 kr vid förfallodagen. Vilken är
räntan under denna period på ”nollkupongaren”?
Potens- och exponentialfunktioner 15
Teori ▪ Exponential- och potensfunktionernas ABC
Exempel Ett bra exempel på rovdjurens betydelse för naturen är hjortpopulationen i Grand Canyon vid seklets början. År 1910 fanns här en
stam på 14000 hjortar i god kondition. Under en kort period utrotades
då vargar och pumor som är de djur som jagar hjortar. Om vi antar att
antalet hjortar därefter ökade exponentiellt och vi dessutom vet att
antalet hjortar år 1920 var 47500, vilken årlig procentuell ökning
motsvarar detta?
Hur många hjortar fanns efter fem år?
Ange ett funktionsuttryck som beskriver hjortarnas antal under tiden
efter 1910.
Rita funktionens graf samt avläs ur grafen vilket år antalet hjortar
överstiger 60 000.
(Naturligtvis kunde inte detta fortgå hur länge som helst. Så småningom
blev det brist på föda när antalet hjortar närmade sig miljöns bärförmåga
och ökningstakten avtog. Då kan inte längre den exponentiella modellen
användas för att beskriva förändringen.)
Potens- och exponentialfunktioner 16