Transcript TENTAMEN I REGLERTEKNIK I Lycka till!

TENTAMEN I REGLERTEKNIK I
SAL:
TID: 11 juni 2010, klockan 14 – 19
KURS: TSRT19, Reglerteknik I
PROVKOD: TEN1
INSTITUTION: ISY
ANTAL UPPGIFTER: 5
¨ ATTSBLAD):
¨
9
ANTAL SIDOR P˚
A TENTAMEN (INKLUSIVE FORS
¨
ANSVARIG LARARE:
Martin Enqvist, 28 1393 eller 0706-929114
¨
TILL˚
ATNA HJALPMEDEL:
L¨aroboken Glad-Ljung: ”Reglerteknik, grundl¨aggande
teori” med normala inl¨
asningsanteckningar, tabeller, formelsamling, r¨aknedosa
utan f¨
ardiga program.
¨
¨
LOSNINGSF
ORSLAG:
Ansl˚
as efter tentamen p˚
a kursens hemsida.
VISNING av tentan ¨
ager rum 2010-08-19 kl 12.30-13.00 i Ljungeln, B-huset,
ing˚
ang 27, A-korridoren till h¨oger.
¨
¨
PRELIMINARA
BETYGSGRANSER:
betyg 3
betyg 4
betyg 5
23 po¨ang
33 po¨ang
43 po¨ang
OBS! L¨
osningar till samtliga uppgifter ska presenteras s˚
a att alla steg (utom
triviala ber¨
akningar) kan f¨
oljas. Bristande motiveringar ger po¨angavdrag.
Lycka till!
1. (a) Systemet
G(s) =
s+1
(s + 2)(s + 3)
matas med insignalen u(t) = sin 4t. Vad blir utsignalen sedan alla
transienter d¨
ott ut?
(2p)
(b) F¨
or vilka v¨
arden p˚
a parametern β ¨ar systemet
1 β
1
x˙ =
x+
u
−1 2
−1
styrbart?
(2p)
(c) Betrakta ett linj¨
art system. Om systemet drivs med insignalen
u1 (t) erh˚
alles utsignalen y(t) = 3 sin(4t − 3). Om systemet drivs
med insignalen u2 (t) erh˚
alles utsignalen y(t) = cos(8t − 2). Ange
utsignalen om systemet drivs med signalen u3 (t) = u1 (t) + 4u2 (t)
(2p)
(d) Betrakta systemet
R
Σ
F(s)
G(s)
Y
-1
d¨
ar
G(s) =
1
(s + 1)(s + 3)
Antag att F (s) = K. Vad blir det station¨ara reglerfelet d˚
a r(t)
ar ett steg med amplitud 1?
(2p)
¨
(e) Betrakta samma system som i uppgift 1d. Ange en regulator F (s)
f¨
or systemet ovan s˚
a att det station¨ara reglerfelet blir noll d˚
a r(t)
ar ett steg med amplitud 1.
(2p)
¨
1
2. Ett system av tre seriekopplade tankar kan f¨orenklat beskrivas av
blockschemat i figuren nedan, d¨ar tillst˚
andsvariablerna x1 , x2 och x3
betecknar niv˚
an i respektive tank och u betecknar infl¨odet i den f¨orsta
tanken. Infl¨
odet i tank tv˚
a beror allts˚
a p˚
a niv˚
an i tank ett och infl¨odet
i tank tre beror av niv˚
an i tank tv˚
a.
u
1
s+1
x3
1
s+1
x2
1
s+1
x1
Figur 1: Blockschema till uppgift 2
(a) St¨
all upp en tillst˚
andsmodell f¨or systemet med de tillst˚
and som
angivits i figuren.
(3p)
(b) Best¨
am, med hj¨
alp av tillst˚
andsmodellen i uppgift a), en tillst˚
ands˚
aterkoppling p˚
a formen
u(t) = −Lx(t) + r(t)
s˚
adan att det ˚
aterkopplade systemets poler placeras i −2.
(4p)
(c) Antag att man endast kan m¨ata ett av tillst˚
anden men att man
kan f˚
a v¨
alja vilket som skall m¨atas. Vilket av tills˚
anden ¨ar att
f¨
oredra om man vill skapa ett reglersystem med hj¨alp av denna
m¨
atsignal? Motivera!
(3p)
2
3. Systemet G(s) med insignalen u och utsignalen y skall f¨olja referenssignalen r och styrs med regulatorn
U (s) = F (s)(R(s) − Y (s))
d¨
ar F ¨
ar av formen F (s) = KF0 (s). Rotorten med avseende p˚
a K f¨or
det ˚
aterkopplade systemet visas i figuren nedan. Vi antar att ingen
f¨
orkortning mellan poler och nollst¨allen sker i F (s)G(s).
6
4
K= 85
K= 28
2
0
K= 2
K= 55
−2
−4
−6
−8
−6
−4
−2
0
2
4
Besvara nedanst˚
aende fr˚
agor och motivera svaren.
(a) F¨
or vilka K-v¨
arden ¨ar systemet stabilt?
(2p)
(b) F¨
or vilka K-v¨
arden ¨ar samtliga poler reella?
(2p)
(c) Vad blir det station¨ara felet om referenssignalen ¨ar en ramp? (2p)
(d) F¨
or vilka K-v¨
arden kan man uppn˚
a ett stabilt och v¨al d¨ampat
system? (L˚
at v¨
al d¨ampat betyda att varje pol har en realdel som
ar till beloppet st¨orre ¨an imagin¨ardelen.)
(2p)
¨
(e) Om F har gradtal ett i b˚
ade t¨aljare och n¨amnare, vilka gradtal
har d˚
a G i t¨
aljare och n¨amnare?
(2p)
3
4. Betrakta systemet (med nedanst˚
aende bodediagram)
G(s) =
50
s(s + 2)(s + 20)
Bode Diagram
30
Magnitude (dB)
20
10
0
−10
−20
−30
−40
−50
−90
Phase (deg)
−135
−180
−225
−270
−1
10
0
1
10
2
10
10
3
10
Frequency (rad/sec)
(a) Ange en P-regulator som ger 45o fasmarginal. Vilken sk¨arfrekvens
ωc ger detta?
(3p)
(b) Ange en fasavancerande l¨ank av formen
K
τD s + 1
βτD s + 1
som f¨
ordubblar sk¨arfrekvensen vid of¨or¨andrad fasmarginal. (3p)
(c) Betrakta den i (b) framr¨aknade regleringen. Asymptotiskt kan
den komplement¨
ara k¨anslighetsfunktionen Q skrivas
|Q(iω)| ≈
q
,
ωm
ω→∞
Vad blir m? Hur beror talet q p˚
a β, τD och K? Hur mycket
f¨
orst¨
arks en m¨
atst¨orning vid 100 rad/s?
(3p)
(d) Vilka v¨
arden har det station¨ara reglerfelet
i. d˚
a referenssignalen a¨r ett steg
ii. d˚
a referenssignalen a¨r en ramp
f¨
or den i (b) framr¨aknade regleringen?
4
(1p)
5. En enkel modell av en robotarm ges av
Y (s) = G(s)(U (s) + V (s))
d¨
ar
1
s2
v¨
ar ett st¨
ormoment som verkar p˚
a armen (gravitation, last, etc), och
n ¨
ar en m¨
atst¨
orning. Antag n(t) = 0 och att armen styrs med PD˚
aterkoppling
U (s) = (KP + KD s)(R(s) − Y (s))
G(s) =
enligt figuren nedan
v
r
u
Σ
y
Σ
F(s)
G(s)
Σ
n
Figur 2: Reglersystem
(a) Antag att r(t) = 0 och att armen p˚
averkas av en konstant st¨orning
v(t) med amplituden ett. Hur ska KP och KD v¨aljas f¨or att:
• Det ˚
aterkopplade systemet ska vara asymptotiskt stabilt?
• Reglerfelet ska uppfylla att | e(t) |≤ 0.1 i station¨art tillst˚
and?
(3p)
(b) Antag att vi, ut¨
over kravet i a), o¨nskar att det ˚
aterkopplade systemets poler ska ha relativ d¨ampning ett. Anv¨and KP fr˚
an uppgift
a) och best¨
am minsta m¨ojliga v¨arde p˚
a KD s˚
a att detta krav
uppfylls.
(3p)
(c) Antag att m¨
atningen av armens vinkel p˚
averkas av en m¨atst¨orning
n(t) enligt figuren ovan s˚
a att ˚
aterkopplingen ges av
U (s) = (KP + KD s)(R(s) − (Y (s) + N (s)))
Best¨
am ¨
overf¨
oringsfunktionen fr˚
an N (s) till Y (s).
(2p)
(d) Antag r(t) = 0, v(t) = 0 och att m¨atst¨orningen ¨ar sinusformad
och ges av n(t) = sin 50t. Best¨am amplituden hos y(t) f¨or de
v¨
arden p˚
a KP och KD som best¨amdes ovan.
(2p)
5