Transcript 2011-10-18 1. (a)

L¨
osningsf¨
orslag till tentamen i Reglerteknik (TSRT19) 2011-10-18
1. (a)
• Exempel p˚
a styrsignal: Rodervinklar, dragkraft fr˚
an motorer
• Exempel p˚
a utsignal: Hastighet, h¨ojd, kurs
• Exempel p˚
a st¨
orsignal: Vind (turbulens)
(b) Polerna i A och C har samma vinkel till negativa realaxeln (samma relativa
d¨ampning). Dessa h¨
or d¨
arf¨
or samman med stegsvaren II och IV. Polerna i C
ligger l¨
angre fr˚
an origo, vilket motsvarar ett snabbare stegsvar. Det ger kombinationerna A - IV samt C - II. Polerna i B har l¨agre relativ d¨ampning (st¨orre
vinkel till negativa realaxeln) vilket motsvarar en st¨orre ¨oversl¨ang. Det ger kombinationen B - III. I D finns ¨
aven en pol i −0.5 vilken p˚
averkar stegsvaret och
minskar inverkan av de komplexa polerna och d¨armed ¨oversl¨angen. Det ger
kombindationen D - I. Svar: A - IV, B - III, C - II och D - I.
(c) Systemet beskrivs av
Y (s) = G(s)U (s)
d¨ar
G(s) =
ms2
1
+ fs + k
d v s systemet har den karakteristiska ekvationen
ms2 + f s + k = 0
Med m = k = 1 f˚
as ekvationen
s2 + f s + 1 = 0
J¨amf¨
orelse med
s2 + 2ζω0 s + ω02 = 0
ger ω0 = 1 och
2ζ = f
Kravet 0.7 ≤ ζ ≤ 1.0 ger kravet 1.4 ≤ f ≤ 2.0. Svar: 1.4 ≤ f ≤ 2.0.
1
2. (a) Bodediagrammen i B och C indikerar att GO (s) inneh˚
aller en integration, eftersom absolutbeloppet g˚
ar mot o¨andligheten d˚
a ω g˚
ar mot noll samt att faskurvan
b¨orjar p˚
a −90◦ . Dessa h¨
or samman med stegsvaren II och III som inte uppvisar
n˚
agot station¨
art fel. Kurvorna i B har h¨ogre sk¨arfrekvens och l¨agre fasmarginal
vilket h¨
or samman med kortare stigtid och h¨ogre ¨oversl¨ang. Det ger kombinatinerna B - III samt C - II. P˚
a motsvarande s¨att h¨or A och D samman med I
och IV. Diagrammet i A har l¨agre statisk f¨orst¨arkning, l¨agre sk¨arfrekvens och
st¨orre fasmarginal, vilket h¨
or samman med IV. Detta ger kombinationerna A
-IV samt D - I. Svar: A - IV, B - III, C - II, D - I.
(b) K¨anslighetsfunktionen ¨
ar
S(s) =
1
1 + F (s)G(s)
S(s) =
(s + 1)2
(s + 1)2 + K
vilket i detta fall, ger
Vid vinkelfrekvensen ω = 1 ger detta
| S(i) |= √
2
K2 + 4
Kravet
| S(i) |≤ 0.1
ger d¨
armed villkoret K ≥
√
396.
(c) Ett alltf¨
or stort K inneb¨
ar att reglersystemet anv¨ander st¨orre styrsignaler a¨n
n¨odv¨
andigt samt att det blir mera k¨ansligt f¨or m¨atst¨orningar.
2
3. (a) Med de givna tillst˚
anden f˚
as tillst˚
andsekvationerna
x˙ 1 = x2
och
P˚
a matrisform f˚
as
1
k
1
k
x˙ 2 = θ¨ = − θ˙ + u = − x2 + u
τ
τ
τ
τ
0
1
0
x˙ =
x+
u
0 −1/τ
k/τ
y= 1 0 x
(b) Med insatta numeriska v¨
arden f˚
as
0 1
0
x˙ =
x+
u
0 −5
250
y= 1 0 x
˚
Aterkopplingen
u = −Lx + l0 r
ger att det ˚
aterkopplade systemet f˚
ar den karakteristiska ekvationen
s2 + (250l2 + 5)s + 250l1 = 0
Poler i −5 ± 5i motsvarar det ¨onskade polynomet
s2 + 10s + 50
Detta ger l1 = 0.2 och l2 = 0.02.
(c) Den karakteristiska ekvationen f¨or allm¨ant k med den˚
aterkoppling som ber¨aknades
i b) ges av
0
0.2 0.02 ) = s2 + (0.1k + 5)s + k
det(sI − A −
5k
F¨or k = 25 f˚
as r¨
otterna −3.75 ± 3.31i. Polernas absolutbelopp minskar, d v s
systemets blir l˚
angsammare. D¨ampningen blir n˚
agot st¨orre eftersom polernas
realdel ¨
ar n˚
agot st¨
orre ¨
an imagin¨ardelen.
F¨or k = 75 f˚
as r¨
otterna −6.25 ± 5.99i. Polernas absolutbelopp ¨okar, d v s
systemets blir snabbare. D¨
ampningen blir n˚
agot st¨orre eftersom polernas realdel
agot st¨
orre ¨
an imagin¨
ardelen.
¨ar n˚
3
4. (a) Amplitudkurvan ges av
| G(iω) |=|
2
2
|| e−0.2iω |=|
|
0.25iω + 1
0.25iω + 1
d v s amplitudkurvan f¨
or¨
andras ej av tidsf¨ordr¨ojningen.
Utan tidsf¨
ordr¨
ojning ¨
ar faskurvan
arg G(iω) = arg
2
= −arctan0.25ω
0.25iω + 1
d v s faskurvan b¨
orjar p˚
a noll och g˚
ar mot −90◦ . Faskurvan visas i figuren
nedan.
0
−50
−100
−150
−200
−250
−300
−350
−400
−450
−1
10
0
1
10
10
2
10
Figur 1: Faskurva. Heldragen: Med tidsf¨ordr¨ojning. Prickad: Utan tidsf¨ordr¨ojning.
(b) Fasmarginal 55◦ inneb¨
ar arg G(iωc,d ) = −125◦ vid den ¨onskade sk¨arfrekvensen
ωc,d . Detta intr¨
affar vid ca 6 rad/s. Vid denna frekvens a¨r | G(iωc,d ) |≈ 1.1,
vilket inneb¨
ar att K kan v¨
aljas som K = 1/1.1 ≈ 0.9. Det station¨ara reglerfelet
f˚
as ur
1
1
e0 =
=
= 0.35
1 + F (0)G(0)
1 + 0.9 · 2
(c) Kravet e0 = 0 inneb¨
ar att man m˚
aste v¨alja γ = 0 Lag-l¨anken s¨anker fasmarginalen ca −6◦ vilket inneb¨ar att h¨ogsta m¨ojliga sk¨arfrekvens a¨r vid den
frekvens d¨
ar arg G(iω) = −119◦ . Detta intr¨affar f¨or ω ≈ 5.5 rad/s. Tumregeln
ger d¨
armed τI = 1.8. Detta ger Vid 5.5 rad/s ¨ar | G(i5.5) |≈ 1.2 vilket ger
K = 1/1.2 ≈ 0.8. Detta ger ˚
aterkopplingen
F (s) = 0.8
4
1.8s + 1
1.8s
5. (a) Det ˚
aterkopplade systemet har karakt¨aristisk ekvation
(s + 4)2 (s − 3)(s + β) + K(s − 1)(s + α) = 0
P˚
ast˚
aendet kan visas med hj¨
alp av rotortsresonemang p˚
a f¨oljande s¨att. Den
karakteristiska ekvationen ger att rotorten kommer att ha en startpunkt i 3
och en slutpunkt i 1 och att intervallet d¨aremellan kommer att vara till˚
atet.
Polen som startar i 3 kommer d¨arf¨or att r¨ora sig p˚
a positiva realaxeln, f¨or alla
positiva K, och g˚
a mot 1 d˚
a K g˚
ar mot o¨andligheten. F¨or alla K kommer det
allts˚
a att finnas (minst) en pol i h¨oger halvplan.
(b) I detta fall har det ˚
aterkopplade systemet den karakt¨aristiska ekvationen
(s + 4)2 (s − 3)(s − γ) + K(s − 1)(s + γ) = 0
Rotorten kommer att f˚
a en startpunkt i γ. F¨or γ > 1 kan de tv˚
a polerna
p˚
a positiva realaxeln m¨
otas, l¨amna realaxeln och eventuellt g˚
a in i v¨anster
halvplan. γ > 1 ¨
ar d¨
armed ett n¨odv¨andigt villkor. F¨or ett s˚
adant γ kan man
sedan rita rotort med avseende p˚
a K f¨or att avg¨ora om det finns n˚
agra v¨arden
p˚
a K f¨
or vilka samtliga poler ligger i VHP.
5