Transcript KORT SAMMANFATTNING AV ENVARIABELKURSEN 1. Lite

KORT SAMMANFATTNING AV ENVARIABELKURSEN
LARS SVENSSON OCH ERIC NORDENSTAM
1. Lite notation om m¨
angder och logik
Om A och B ¨
ar m¨
angder och P och Q p˚
ast˚
aenden s˚
a kommer f¨
oljande
beteckningar att anv¨
andas:
P ∧ Q,
P och Q,
P ∨ Q,
P eller Q,
P ⇒ Q,
P implicerar Q, om P s˚
a Q,
P ⇔ Q,
P ¨
ar ekvivalent med Q,
¬P ,
icke P ,
x ∈ A,
x¨
ar element i A,
x∈
/ A,
x¨
ar inte element i A,
A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B},
snittet av A och B,
A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B},
unionen av A och B,
A r B = {x ∈ A : x ∈
/ B}
A men inte B,
A ⊂ B,
A¨
ar delm¨
angd av B,
A × B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B},
kartesisk produkt,
∀x,
f¨
or varje x,
∀x ∈ A,
f¨
or varje x ∈ A,
∃x,
det existerar ett x, f¨
or n˚
agot x,
∃x ∈ A,
f¨
or n˚
agot x i A.
Dessutom anv¨
ands f¨
oljande namn:
∅,
den tomma m¨
angden,
N = {0, 1, 2, . . . },
de naturliga talen,
Z = {0, −1, 1, −2, 2, . . . },
de hela talen,
Q = {n/m : m 6= 0, n ∈ Z, m ∈ Z}, de rationella talen,
R,
de reella talen,
C,
de komplexa talen.
2. Konstruktion av de reella talen
Ett s¨
att att konstruera de reella talen ¨
ar genom Dedekindska snitt.
Definition 2.1. En delm¨
angd S ⊂ Q kallas ett snitt om
(1) y < x ∈ S ⇒ y ∈ S ∀x, y ∈ Q
(2) ∀y ∈ S ∃x ∈ S : y < x
(3) S 6= ∅
1
2
LARS SVENSSON OCH ERIC NORDENSTAM
Definition 2.2. Ett reellt tal ¨
ar ett snitt.
Ett rationellt tal r kan identifieras med snittet {x ∈ Q : x < r}.
Om S och T ¨
ar tv˚
a snitt s˚
a definieras tex summan S + T av S + T =
{x + y : x ∈ S ∧ y ∈ T }. Produkten definieras p˚
a liknande s¨
att och S ≤ T
precis om S ⊂ T . Utan att g˚
a in i detaljer kan man d˚
a visa f¨
oljande
fundamentala egenskap hos R, som vi ocks˚
a kan uppfatta som ett axiom.
Sats 2.3. Monotona begr¨
ansade f¨
oljder av reella tal konvergerar.
Innan vi ens f¨
orst˚
ar satsens lydelse m˚
aste n˚
agra definitioner g¨
oras.
Definition 2.4. Om det till varje n ∈ N a
a
¨r associerat ett reellt tal an s˚
s¨
ager vi att vi har en reell talf¨
oljd (an )∞
.
n=1
Definition 2.5. En f¨
oljd (an )∞
agot
n=1 kallas konvergent om det existerar n˚
a ∈ R s˚
adant att ∀ε > 0 ∃N (n > N ⇒ |an − a| < ε) .
Anm¨
arkning. Vi “underf¨
orstod” att ε ∈ R och N ∈ N. Vi skriver d˚
a att
an konvergerar mot a,
lim an = a,
n→∞
eller som vi oftast kommer att skriva an → a, n → ∞ eller ibland bara
an → a.
Definition 2.6. En f¨
oljd a1 , a2 , . . . kallas begr¨
ansad om det existerar
n˚
agot A ∈ R s˚
adant att ∀n ∈ N |an | < A.
Definition 2.7. En f¨
oljd a1 , a2 , . . . kallas v¨
axande om an ≤ an+1 ∀n ∈ N,
avtagande om an ≥ an+1 ∀n ∈ N och monoton om den ¨
ar v¨
axande eller
avtagande.
Definition 2.8. En f¨
oljd a1 , a2 , . . . kallas Cauchy om ∀ε > 0 ∃N (∀n, m >
N (|an − am | < ε)), dvs om skillnaden |an − am | kan g¨
oras hur liten som
helst om bara n och m g¨
ores stora nog.
3. Delf¨
oljder
L˚
at a1 , a2 , a3 , . . . vara en talf¨
oljd och anta att vi till varje n ∈ N har
ordnat ett n0 ∈ N s˚
adant att n ≤ n0 och med egenskapen n1 < n2 ⇒ n01 <
n02 . D˚
a s¨
ager vi att a10 , a20 , a30 , . . . ¨
ar en delf¨
oljd av a1 , a2 , a3 , . . . eller
∞
(an0 )∞
a
r
en
delf¨
o
ljd
av
(a
)
.
¨
n
n=1
n=1
Sats 3.1 (Bolzano-Weierstrass). En begr¨
ansade talf¨
oljd inneh˚
aller en konvergent delf¨
oljd.
Bevis. Antag |an | ≤ A ∀n. Dela intervallet I = [−A, A] mitt itu, i tv˚
a
intervall I 0 = [−A, 0] och I 00 = [0, A]. N˚
agot av dessa intervall m˚
aste
inneh˚
alla ett o¨
andligt antal tal i f¨
oljden a1 , a2 , a3 , . . . . L˚
at I1 vara ett
s˚
adant och l˚
at a10 vara det f¨
orsta talet i f¨
oljden som ligger i I1 . P˚
a samma
s¨
att delar vi I1 i tv˚
a lika breda intervall I10 och I100 , v¨
aljer ett som vi kallar
ENVARIABEL
3
I2 , som inneh˚
aller o¨
andligt antal tal an med n > 10 och l˚
ater a20 vara
f¨
orsta an i I2 . F¨
orfarandet uppepas och ger en delf¨
oljd a10 , a20 , a30 , . . . .
Intervallen som konstrueras In = [pn , qn ] har egenskapen: (pn )∞
axer,
n=1 v¨
(qn )∞
ar b¨
agge f¨
oljderna begr¨
ansade.
n=1 avtar och vidare ¨
Vidare ¨
ar 0 < qn − pn < 2A2−n → 0, n → ∞. S˚
aledes existerar a ∈ R
s˚
adant att pn → a och qn → a d˚
a n → ∞. Eftersom pn < an0 < qn har vi
s˚
a att an0 → a d˚
a n → ∞.
Sats 3.2. Cauchyf¨
oljder konvergerar.
Bevis. Antag a1 , a2 , . . . ¨
ar Cauchy. Genom att till exempel v¨
alja ε = 1 vet
vi att det finns N ∈ N s˚
adant att |an − aN | < 1 om n ≥ N . Detta ger att
∀n ∈ N g¨
aller
|an | ≤ max |ak | + 1 + |aN |.
1≤k<N
S˚
aledes ¨
ar Cauchyf¨
oljder begr¨
ansade. Enligt Bolzano-Weierstrass existerar
en delf¨
oljd a10 , a20 , a30 , . . . som konvergerar, s¨
ag mot a. |an − a|=|an −
an0 + an0 − a|≤|an − an0 | + |an0 − a|. Tag ε > 0. D˚
a ∃N s˚
a att b˚
ade
|an0 − a| och |an − an0 | ¨
ar mindre ¨
an ε/2 om n > N . S˚
aledes har vi att
n > N ⇒ |an − a| < ε.
4. Generalisering till Rn och Cn
I kursen i linj¨
ar algebra inf¨
ordes normer i R och C genom
kxk2 = k(x1 , . . . , xn )k2 = |x1 |2 + · · · + |xn |2
xi ∈ C eller R
¨
Ovning
1. Visa att Bolzano-Weierstrass sats g¨
aller och att Cauchy f¨
oljder
konvergerar ¨
aven i Cn och Rn .
5. Serier
L˚
at a1 , a2 , . . . vara en f¨
oljd av reella tal, eller om man s˚
a vill i Rn eller
C .
n
Definition
5.1. Om Sn = a1 + · · · + an → S, n → ∞, s˚
a s¨
ages serien
P
an konvergera.
P
Sats 5.2 (Majorantsatsen).
Om |an | ≤ bn f¨
or alla n och
bn konvergerar
P
s˚
a konvergerar
an .
Bevis. R¨
acker att visa att Sn = a1 + · · · + an ¨
ar Cauchy. Tag n ≥ m.
˛
˛
˛ X
˛
X
X
˛
˛
|Sn − Sm | = ˛˛
ak ˛˛ ≤
|ak | ≤
bk
˛m<k≤n ˛ m<k≤n
m<k≤n
P
Men eftersom
bn konvergerar s˚
a¨
ar f¨
oP
ljden Tn = b1 + · · · + bn Cauchy.
Tag ε > 0, d˚
a ∃N s˚
a att |Tn − Tm | =
bk < ε om m > N . S˚
aledes ¨
ar
m<k≤n
(Sn )∞
armed konvergent.
n=1 Cauchy och d¨
4
LARS SVENSSON OCH ERIC NORDENSTAM
¨
Ovning
2. Bevisa f¨
oljande k¨
anda satser.
Sats
5.3 (Leibniz sats). Om an ≥ an+1 → 0 s˚
a konvergerar serien
P
(−1)n an .
√
a g¨
aller:
Sats 5.4 (Rotkriteriet). Om an ≥ 0, n an → r s˚
P
(1) r < 1 ⇒
an konvergerar.
P
(2) r > 1 ⇒ an → ∞ ⇒
an divergerar.
Sats 5.5 (Kvotkriteriet). Om an > 0, an+1 /an → q s˚
a g¨
aller:
P
(1) q < 1 ⇒
an konvergerar.
P
(2) q > 1 ⇒ an → ∞ ⇒
an divergerar.
Sats 5.6 (J¨
amf¨
orelsesatsen).
Om an ≥ 0, bn > 0 och an /bn → q och
P
konvergent s˚
a¨
ar
an konvergent.
P
bn
Sats 5.7 (Abels sats). L˚
at a1 , a2 , a3 , . . . och b1 , b2 , b3 , . . . vara reella talf¨
oljder s˚
adana att
(1) ∃A : |An | ≤ A ∀n, d¨
ar An = a1 + · · · + an .
(2) bn ≥ bn+1 → 0, n → ∞.
P
D˚
a konvergerar
an bn .
Bevis. L˚
at Sn = a1 b1 + · · · + an bn och v¨
alj N ≥ M
˛
˛ ˛
˛
˛ X
˛ ˛ X
˛
˛
˛ ˛
˛
˛
˛
˛
|SN − SM | = ˛
an bn ˛ = ˛
(An − An−1 )bn ˛˛
˛M <n≤N
˛ ˛M <n≤N
˛
˛
˛
˛ X
˛
X
˛
˛
An bn −
An bn+1 ˛˛
= ˛˛
˛M <n≤N
˛
M ≤n<N
= |AN bN | + |An (bn − bn+1 )| − |AM bM +1 |
X
≤ A|bN | + |A
(bn − bn+1 )| + A|bM +1 |
M <n<N
≤ 2AbM + A(bM +1 − bN )
V¨
alj ε > 0. D˚
a ∃K ∈P
N s˚
adan att N ≥ M ≥ K ⇒ |SN − SM | < ε. S˚
aledes
a
an bn konvergerar.
¨r (Sn ) Cauchy och
Anm¨
arkning. Observera att tekniken med partiell summation ¨
ar helt analog med partiell integrering.
6. Funktioner och relationer
En delm¨
angd av den kartesiska produkten X × Y kallas en relation
mellan X och Y . En funktion F fr˚
an X till Y a
¨r en relation av en speciell
typ.
ENVARIABEL
5
Definition 6.1. En delm¨
angd F ⊂ X × Y kallas en funktion fr˚
an X till
Y om
(1) ∀x ∈ X : ∃y ∈ Y : (x, y) ∈ F
(2) ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y , ∀z ∈ Y : (x, y) ∈ F ∧ (x, z) ∈ F ⇒ y = z
Oftast uppfattar vi inte en funktion som en delm¨
angd av X × Y utan
som en “regel” eller “svart l˚
ada” som till varje x ∈ X ordnar eller associerar
eller ber¨
aknar ett unikt y ∈ Y , oftast betecknat f (x), s˚
a att (x, y) ∈ F . Vi
skriver ofta d˚
a n˚
agot av
/Y
f :X
x
X
x
/ f (x)
X3x
@ABC
GFED
X
/
f
/
x
X
/Y
/ f (x)
/ f (x) ∈ Y
f
x
f
f
/
f (x)
@ABC
GFED
Y
/
f (x)
Y
M¨
angden av funktioner fr˚
an X till Y betecknar vi Fun(X, Y ) eller Y X .
Definition 6.2. En f : X → Y kallas
injektiv om ∀x, x0 ∈ X : x 6= x0 ⇒ f (x) 6= f (x0 ),
surjektiv om ∀y ∈ Y ∃x ∈ X : y = f (x),
bijektiv om den ¨
ar injektiv och surjektiv.
Identitetsavbildningen idX : X → X definieras av idX (x) = x, ∀x ∈ X.
f
g
Om X −
→ Y och Y −
→ Z s˚
a definieras sammans¨
attningen g ◦ f : X → Z
av
(g ◦ f )(x) = g(f (x))
och vi ritar
/Y
AA
AA g
f ◦g AA
XA
A
f
Z.
Definition 6.3. Om g ◦ f = idX , dvs
f
/Y
AA
AA g
idX AA
XA
Z
s˚
a kallas g v¨
ansterinvers till f , och f h¨
ogerinvers till g.
¨
Ovning
3. Visa att
6
LARS SVENSSON OCH ERIC NORDENSTAM
(1) Varje injektion har v¨
ansterinvers.
(2) Avbildningar med v¨
ansterinvers ¨
ar injektiva.
(3) Avbildningar med h¨
ogerinvers ¨
ar surjektiva.
Det g˚
ar inte att bevisa att varje surjektion har h¨
ogerinvers. I sj¨
alva
verket kan detta tas med i m¨
angdteorin som ett axiom eller avvisas. I
den axiomatisering av m¨
angdteorin som anv¨
ands mest, den sk ZermeloFraenkels system, tar man med detta som ett axiom och kallar det
Urvalsaxiomet. Varje surjektion har en h¨
ogerinvers.
Kardinalitet
Tv˚
a m¨
angder X och Y s¨
ages ha samma kardinalitet (eller m¨
aktighet)
f
om det existerar en bijektion X −
→ Y . Om X ¨
ar ¨
andlig och |X| betecknar
antalet element i X s˚
a ¨
ar |X| = |Y | precis om X och Y har samma
kardinalitet. F¨
oljande ¨
ovning ¨
ar inte helt l¨
att och kallas Shr¨
oder-Bernsides
lemma.
f
g
¨
Ovning
4. Visa att om X −
→ Y ¨
ar injektiv och Y −
→ X ¨
ar injektiv s˚
a
h
→ Y som ¨
ar bijektiv.
existerar X −
Om X ¨
ar en m¨
angd s˚
a betecknar P(X) m¨
angden av alla delm¨
angder
till X. P(X) kallas potensalgebran. Exempelvis har vi
P(∅) = {∅}
P(P(∅)) = {∅, {∅}}
P(P(P(∅))) = {∅, {∅}, {{∅}}, {∅, {∅}}}
S˚
a om vi inf¨
or P 0 (∅) = ∅, P 1 (∅) = {∅} och P n+1 (∅) = P(P n (∅)), s˚
a
0
har vi |P (∅)| = 0 och |P n (∅)| = 2n−1 om n ≥ 1.
F¨
oljande resultat ¨
ar centralt och visades av Cantor, m¨
angdteorins upphovsman.
Sats 6.4 (Cantor). Det existerar ingen surjektion fr˚
an en m¨
angd till dess
potensalgebra.
Bevis. Tolkningen av satsen ¨
ar att potensalgebran har strikt st¨
orre kardinalitet ¨
an ursprungsm¨
angden. Antag f : X → P(X) och bilda E = {x ∈
X:x∈
/ f (x)} ∈ P(X). Vi ska visa att f (e) 6= E f¨
or varje e ∈ X genom att
h¨
arleda mots¨
agelse om f (e) = E. S˚
a antag E = f (e). D˚
a har vi f¨
oljande
implikationer.
e∈E⇒e∈
/ f (e) = E, och
e∈
/E⇒e∈
/ f (e) ⇒ e ∈ E
S˚
aledes g¨
aller varken e ∈ E eller e ∈
/ E. Detta mots¨
ager lagen om det
uteslutna tredje, dvs antingen P eller ¬P , s˚
a antagandet att E = f (e)
m˚
aste vara fel. Detta visar att f inte ¨
ar surjektiv.
ENVARIABEL
7
Definition 6.5. En o¨
andlig m¨
angd med samma kardinalitet som N, de
naturliga talen, kallas uppr¨
aknelig och annars ¨
overuppr¨
aknelig.
Sats 6.6. De reella talen ¨
ar ¨
overuppr¨
akneliga.
Bevis. Det r¨
acker att visa att talen i intervallet [0, 1] inte ¨
ar uppr¨
akneliga.
Varje tal x i [0, 1] kan skrivas bin¨
art som x = 0.x1 x2 x3 . . . , f¨
or xi ∈ {0, 1}.
Bilda x
˜ = {i ∈ N+ : xi = 1}. Vi f˚
ar p˚
a detta s¨
att en bijektion [0, 1] 3 x 7→
x
˜ ∈ P(N+ ). I det fallet att [0, 1] skulle vara uppr¨
aknelig skulle vi f˚
a att
|N+ | = |P(N+ )| som strider mot Cantors sats.
¨
Ovning
5. L˚
at p ∈ R och visa att R och R r {p} har samma kardinalitet.
Visa ocks˚
a att [a, b] och (a, b) har samma kardinalitet om a < b.
Topologi i Rn
Om r > 0 och a ∈ Rn s˚
a definieras bollen med centrum i a och radie r
genom
B(a, r) = {x ∈ Rn : |x − a| < r}
I R = R1 ¨
ar B(a, r) = (a − r, a + r). Vi inf¨
or nu en lista av anv¨
andbara
definitioner. L˚
at A ⊂ Rn .
Definition 6.7. Ett element
p ∈ A kallas inre punkt i A om B(p, r) ⊂ A f¨
or n˚
agot r > 0,
p∈
/ A kallas yttre punkt till A om B(p, r) ∩ A = ∅ f¨
or n˚
agot r > 0,
p kallas randpunkt till A om den varken ¨
ar inre eller yttre punkt till A.
◦
A = {x : x inre punkt till A}
A¯ = {x : x inre punkt eller rand till A}
∂A = {x : x ¨
ar randpunkt till A}
Definition 6.8. M¨
angden A kallas
◦
oppen om A = A,
¨
sluten om A¯ = A,
begr¨
ansad om ∃B ∈ R ∀x ∈ A |x| < B,
kompakt om A ¨
ar sluten och begr¨
ansad.
◦
¯ r) = {x ∈ Rn : |x − a| < r}
Observera t.ex. att B(a, r) = B(a, r), B(a,
n
och ∂B(a, r) = {x ∈ R : |x − a| = r}. F¨
oljande resultat ¨
ar mycket
anv¨
andbart.
Lemma 6.9. F ⊂ Rn ¨
ar sluten precis om konvergenta f¨
oljder ur F alltid
konvergerar mot ett element i F .
Bevis. Antag f¨
orst att F ¨
ar sluten och att F 3 xn → x d˚
a n → ∞.
Vi vill visa att x ∈ F , s˚
a antag motsatsen. Komplementet F c till F ¨
ar
o
or B(x, r) ⊂ F c f¨
or n˚
agot r > 0. Men d˚
a existerar N s˚
adant att
¨ppen varf¨
xn ∈ B(x, r) om n > N . Detta strider mot att xn ∈ F f¨
or varje n.
8
LARS SVENSSON OCH ERIC NORDENSTAM
Omv¨
ant antar vi att varje x, s˚
adan att F 3 xn → x d˚
a n → ∞, tillh¨
or
F . Vi vill visa att F d˚
a m˚
aste vara sluten. Om F inte ¨
ar sluten har vi
F¯ 6= F . Men d˚
a existerar x ∈ ∂F r F . Till varje n ∈ N+ existerar d˚
a
xn ∈ B(x, 1/n) ∩ F som inneb¨
ar att xn → x d˚
a n → ∞. Men d˚
a har vi att
x ∈ F vilket ¨
ar en mots¨
agelse.
Anm¨
arkning. Det som beskrivits h¨
ar kallas den Euklidiska topologin p˚
a
Rn . Det finns andra topologier och topologier p˚
a andra rum. I dessa ¨
ar det
inte i allm¨
anhet sant att en sluten och begr¨
ansad m¨
angd ¨
ar kompakt.
Kontinuerliga funktioner
Definition 6.10. En funktion fr˚
an D ⊂ Rn till Rm ¨
ar kontinuerlig i
a ∈ D om ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D : |x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε och
likformigt kontinuerlig i D om ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x, y ∈ D : |x − y| < δ
⇒ |f (x)−f (y)| < ε. Om funktionen ¨
ar kontinuerlig i varje punkt i D s¨
ager
vi att f ¨
ar kontinuerlig i D.
¨
ar kontinuerlig i hela Rn precis om
Ovning
6. Visa att f : Rn → Rm ¨
f −1 (U ) = {x ∈ Rn : f (x) ∈ U } a
r
o
ppen
f¨
or alla o
angder U .
¨ ¨
¨ppna m¨
f
Om A −
→B ¨
ar en godtycklig avbildning s˚
a¨
ar det praktiskt att inf¨
ora
f¨
oljande notation.
Definition 6.11. Om V ⊂ A definieras framlyftningen av V under f av
f (V ) = {f (x) : x ∈ V }.
Om W ⊂ B definieras tillbakalyftningen av W under f av
f −1 (W ) = {x ∈ A : f (x) ∈ W }.
Observera att vi inte beh¨
over anta att f ¨
ar inverterbar f¨
or denna definition.
¨
Ovning
7. Tillbakalyftningen ¨
ar en mer v¨
aluppfostrad m¨
angdavbildning
an framlyftning. Visa n¨
amligen
¨
(1) f (V1 ∪ V2 ) = f (V1 ) ∪ f (V2 )
(2) f −1 (W1 ∪ W2 ) = f −1 (W1 ) ∪ f −1 (W2 )
(3) f (V1 ∩ V2 ) 6= f (V1 ) ∩ f (V2 ) i allm¨
anhet
(4) f −1 (W1 ∩ W2 ) = f −1 (W1 ) ∩ f −1 (W2 )
f
Sats 6.12. Om K −
→ Rn ¨
ar kontinuerlig och K ¨
ar kompakt i Rn s˚
a¨
ar f
likformigt kontinuerlig.
Bevis. Om f inte ¨
ar likformigt kontinuerlig existerar xn , yn ∈ K s˚
adana
att |f (xn ) − f (yn )| > ε och |xn − yn | < 1/n f¨
or n˚
agot ε > 0 och alla
n ∈ N+ . Av Bolzano-Weierstrass kan vi plocka ut delf¨
oljder xn0 och yn0
som konvergerar mot x respektive y. D˚
aK a
aste x och y
¨ven a
¨r sluten m˚
tillh¨
ora K. D˚
a |xn0 − yn0 | < 1/n0 → 0 f¨
oljer att xn0 → x och yn0 → x = y,
ENVARIABEL
9
d˚
a n → ∞. Men |f (xn0 ) − f (yn0 )| > ε ∀n implicerar att |f (x) − f (x)| =
0 ≥ ε > 0 eftersom f antogs vara kontinuerlig p˚
a K. Denna orimlighet
visar satsen.
Sats 6.13. Kontinuerliga avbildningar tar kompakter p˚
a kompakter. Det
vill s¨
aga: Om f : K → Rm ¨
ar kontinuerlig s˚
a¨
ar f (K) kompakt om K ¨
ar
kompakt.
Bevis. Antag f : K → Rm ¨
ar kontinuerlig och K kompakt. Vi m˚
aste visa
att f (K) a
ansad. Om f (K) a
ansad
¨r kompakt, dvs sluten och begr¨
¨r obegr¨
existerar f¨
or varje N ∈ N ett xn ∈ K s˚
adant att |f (xn )| > N . Eftersom K
ar kompakt f¨
oljer av Bolzano-Weierstrass att vi kan plocka ut en delf¨
oljd
¨
x10 , x20 , . . . s˚
adan att xn0 → x ∈ K d˚
a n → ∞. D˚
a konvergerar f¨
oljden
f (xn0 ). Men konvergenta f¨
oljder a
ansade. Denna mots¨
agelse
¨r alltid begr¨
visar att f (K) ¨
ar begr¨
ansad. F¨
or att visa slutenheten antar vi att xn ∈ K
och att f (xn ) → y d˚
a n → ∞. Vi vill visa att y ∈ f (K), dvs att y = f (x)
f¨
or n˚
agot x ∈ K. Plocka som vanligt ut en delf¨
oljd xn0 → x ∈ K d˚
a
n → ∞. D˚
a har vi f (xn0 ) → f (x) = y som visar satsen.
Sammanh¨
angande m¨
angder
En delm¨
angd S i Rn kallas b˚
agvis sammanh¨
angande om f¨
or varje p och
q i S det existerar en kurva helt i S som f¨
orbinder p och q. Mer precist
menar vi d˚
a att det ska existera en kontinuerlig γ : [0, 1] → S s˚
adan att
γ(0) = p och γ(1) = q.
Vi har d˚
a f¨
oljande enkla resultat.
Sats 6.14. Kontinuerliga funktioner tar sammanhang p˚
a sammanhang,
dvs: om f : S → Rm ¨
ar kontinuerlig och S ¨
ar b˚
agvis sammanh¨
angande i
Rn s˚
a¨
ar f (S) b˚
agvis sammanh¨
angande i Rm .
Bevis. Tag p0 och q 0 i f (S). d˚
a existerar p och q i S s˚
a att f (p) = p0
0
och f (q) = q . Tag γ som i definitionen ovan. D˚
a¨
ar f ◦ γ : [0, 1] → f (S)
kontinuerlig och f ◦ γ(0) = p0 , f ◦ γ(1) = q 0 som visar satsen.
/ f (S) ⊂ Rm
8
q
q
qq
q
q
q f ◦γ
qqq
f
Rn ⊃ SO
γ
[0, 1]
Anledningen till att satsen ovan ¨
ar s˚
a anv¨
andbar ¨
ar satsen om mellanliggande v¨
arden i R = R1 . Den s¨
ager att kontinuerliga avbildningar fr˚
an
R till R tar kompakta intervall p˚
a kompakta intervall.
f
Sats 6.15. Om [a, b] −
→R¨
ar kontinuerlig s˚
a existerar c och d i R s˚
adana
att f ([a, b]) = [c, d].
10
LARS SVENSSON OCH ERIC NORDENSTAM
Bevis. Det r¨
acker att visa att f tar intervall p˚
a intervall eftersom vi redan
vet att f tar kompakter p˚
a kompakter. Vi inser ocks˚
a att det r¨
acker att
visa att f har ett nollst¨
alle i [a, b] om f (a) < 0 < f (b). Till detta definierar
vi en f¨
oljd (an ) och (bn ) genom a1 = a, b1 = b, cn = 21 (an + bn ).
(
an om f (cn ) ≥ 0
an+1 =
cn annars
(
cn om f (cn ) ≥ 0
bn+1 =
bn annars
Vi f˚
ar s˚
aledes f¨
or varje n ∈ N+
(1)
(2)
an ≤ an+1 ≤ bn+1 ≤ bn
bn+1 − an+1 = (b − a)2−n → 0,
n→∞
Eftersom f¨
oljderna (an ) och (bn ) ¨
ar begr¨
ansade och monotona ¨
ar de enligt
v˚
ar f¨
orsta sats konvergenta. Tillsammans med olikheterna ovan f˚
ar vi att
∃c ∈ (a, b) : an → c och bn → c, n → ∞. Men kontinuiteten hos f och
olikheterna f (an ) < 0 < f (bn ) ger d˚
a att f (c) = 0 vilket ocks˚
a visar
satsen.
Banachs fixpunktsats
En avbildning f : K → K ⊂ Rn kallas en strikt kontraktion om det
existerar n˚
agot c < 1 s˚
adant att |f (x) − f (y)| ≤ c|x − y| ∀x, y ∈ K.
F¨
oljande sats och dess bevis ¨
ar av fundamental betydelse i analysen
Sats 6.16. Om K ¨
ar sluten och om f : K → K ¨
ar en strikt kontraktion,
s˚
a har f en unik fixpunkt, dvs ∃x ∈ K : x = f (x).
Bevis. Tag x0 ∈ K och definiera en f¨
oljd i K genom xn+1 = f (xn ), n ≥ 0.
D˚
a f (K) ⊂ K f¨
oljer att xn ∈ K ∀n. Vi ska nu visa att f¨
oljden ¨
ar Cauchy.
Ty om s˚
a vore fallet skulle xn → x d˚
a n → ∞ f¨
or n˚
agot x, som, d˚
a K
antogs sluten m˚
aste ligga i K. D˚
a f m˚
aste vara kontinuerlig (t¨
ank) s˚
a finge
vi att x = f (x). Vi har nu |x2 − x1 | = |f (x1 ) − f (x0 )| ≤ c|x1 − x0 | vilket
medf¨
or |xn+1 − xn | ≤ c|xn − xn−1 | ≤ · · · ≤ cn |x1 − x0 |. Antag n > m s˚
a f˚
ar
P
Pn−1
Pn−1 k
vi |xn −xm | = | n−1
(x
−x
)|
≤
|x
−x
|
≤
c
|x
−x
|.
1
0
k+1
k
k+1
k
k=m
k=m
k=m
Allts˚
a |xn − xm | ≤ |x1 − x0 |cm /(1 − c) → 0, m → ∞.
Ordobegreppet, litet och stort
L˚
at V vara o
allande origo och antag f : V → Rm ,
¨ppen i Rn inneh˚
m
g : V → R . Vi s¨
ager d˚
a att
(1) f ¨
ar litet ordo av g, f = o(g) om det f¨
or varje ε > 0 existerar ett
δ > 0 s˚
adant att |f (x)| ≤ ε|g(x)| om |x| ≤ δ.
(2) f ¨
ar stort ordo av g, f = O(g) om det existerar M ∈ R och ε > 0
s˚
adana att |f (x)| ≤ M |g(x)| om |x| < ε.
ENVARIABEL
11
Derivation i Rn
Avsikten med differentialkalkylen ¨
ar att reducera studiet av allm¨
anna
f
n
m
avbildningar till linj¨
ara avbildningar. En avbildning R ⊃ D −
→ R s¨
ages
vara deriverbar i a ∈ D om det existerar en linj¨
ar avbildning L : Rn → Rm
s˚
adan att f (a + h) = f (a) + L(h) + o(h), h ∈ Rn . Avbildning L betecknas
f 0 (a) och kallas derivatan av f i punkten a.
Anm¨
arkning. I fallet Rn = Rm = R ges alla linj¨
ara avbildningar fr˚
an R
till R som ett reellt tal, eller om man vill av en 1 × 1-matris a : x 7→ ax.
I det allm¨
anna fallet kan L representeras med en m × n-matris, mer om
detta i del tv˚
a av kursen.
En av de mest fundamentala egenskaperna hos derivering ¨
ar att den
respekterar sammans¨
attning. Detta kallas
f
g
Sats 6.17 (Kedjeregeln). Om Rn −
→ Rm −
→ Rk och f 0 (a) och g 0 (f (a))
0
existerar s˚
a existerar (g ◦ f ) (a) och ¨
ar lika med g 0 (f (a)) ◦ f 0 (a).
Anm¨
arkning. I fallet Rn = Rm = Rk = R betyder sammans¨
attning ◦
bara multiplikation men om f 0 (a) och g 0 (f (a)) representeras av matriser
betyder ◦ matrismultiplikation.
Bevis. S¨
att b = f (a). Tag litet h ∈ Rn och inf¨
or k ∈ Rm genom k =
f (a+h)−f (a). Vi f˚
ar med givna antaganden att (g ◦f )(a+h) = g(b+k) =
g(b) + g 0 (b)(k) + o(k) = g(b) + g 0 (b)(f 0 (a)(h) + o(h)) + o(k) = {T¨
ank!} =
g(b) + (g 0 (b) ◦ f 0 (a))(h) + o(h) = g ◦ f (a) + (g 0 (f (a)) ◦ f 0 (a))(h) + o(h). Sats 6.18. L˚
at V och W vara delm¨
angder av Rn och Rm respektive. L˚
at
V vara kompakt och f : V → W vara en kontinuerlig bijektion. D˚
a ¨
ar
inversen till f ocks˚
a kontinuerlig.
Bevis. L˚
at g : W → V vara invers till f . Om g inte ¨
ar kontinuerlig s˚
a
existerar W 3 yn → y ∈ W d˚
a n → ∞ s˚
adan att |g(yn ) − g(y)| > ε >
0 f¨
or n˚
agot ε ∈ R och alla n ∈ N. Bolzano-Weierstrass ger konvergent
delf¨
oljd (xn0 ) till (xn ) = (g(yn )). S¨
ag att xn0 → x d˚
a n → ∞. Men f
ar kontinuerlig i V och x ∈ V eftersom V ¨
ar kompakt. S˚
aledes har vi
¨
f (xn0 ) = f (g(yn0 )) = yn0 → f (x) = y. Detta strider mot att 0 < ε <
|g(yn0 ) − g(y)| = |xn0 − x| → 0, n → ∞. och satsen ¨
ar visad.
Satsen ovan s¨
ager att inversen till kontinuerliga avbildningar ¨
ar kontinuerliga. Men hur avg¨
or man om en avbildning har invers? Senare i kursen
ska vi visa inversa funktionssatsen som s¨
ager att f har invers (lokalt) om
f har en invertibel derivata som ¨
ar kontinuerlig.
12
LARS SVENSSON OCH ERIC NORDENSTAM
Medelv¨
ardessatsen och Taylors formel
Sats 6.19 (Rolles sats). Om f : [a, b] → R ¨
ar kontinuerlig och om f
ar deriverbar i (a, b) samt om f (a) = f (b) s˚
a existerar c ∈ (a, b) med
¨
f 0 (c) = 0.
Bevis. f antar b˚
ade min och maximum i [a, b] eftersom f a
¨r kontinuerlig.
Om inte f ¨
ar konstant, i vilket fall f 0 (c) = 0 ∀c ∈ (a, b), s˚
a¨
ar minimumet
strikt mindre ¨
an f (a) eller maximumet strikt st¨
orre ¨
an f (a). L˚
at oss anta
att f (c) ≥ f (x) ∀x ∈ [a, b] och att c ∈ (a, b) och f (c) ≥ f (a). L˚
at
x < c < y, s˚
a f˚
as
f (x) − f (c)
f (y) − f (c)
≥0≥
x−c
y−c
om x % c och y & c s˚
a f˚
ar vi f 0 (c) ≥ 0 ≥ f 0 (c) som ger f 0 (c) = 0.
Sats 6.20 (Medelv¨
ardessatsen). Om f : [a, b] → R ¨
ar kontinuerlig i hela
[a, b] och deriverbar i (a, b) s˚
a existerar c ∈ (a, b) s˚
adant att
f 0 (c) =
f (b) − f (a)
b−a
Bevis. Till¨
ampa Rolles sats p˚
a
F (x) = (b − a)f (x) − (f (b) − f (a))(x − a)
Den generaliserade medelv¨
ardessatsen
Sats 6.21. Om f och g ¨
ar som i satserna ovan s˚
a existerar c ∈ (a, b)
s˚
adan att
f 0 (c)(g(b) − g(a)) = g 0 (c)(f (b) − f (a))
Bevis. Till¨
ampa Rolles sats p˚
a
F (x) = f (x)(g(b) − g(a)) − g(x)(f (b) − f (a))
Anm¨
arkning. Om dessutom g(a) 6= g(b) s˚
a har vi det mer anv¨
andbara
uttrycket
f 0 (c)
f (b) − f (a)
=
g 0 (c)
g(b) − g(a)
Beviset ¨
overl˚
ates som ¨
ovning till l¨
asaren.
ENVARIABEL
13
L’Hospitals regel typ 0/0
L˚
at f och g vara som ovan och anta att f (a) = g(a) = 0 och
f 0 (x)
→ L, d˚
ax&a
g 0 (x)
D˚
a g¨
aller
f (x)
→ L, d˚
ax&a
g(x)
L’Hospitals regel typ ∞/∞
Sats 6.22. L˚
at f och g vara deriverbara reellv¨
arda funktioner p˚
a R+
0
+
s˚
adana att g(x)g (x) 6= 0 ∀x ∈ R och att
f 0 (x)
→ L, d˚
ax→∞
g 0 (x)
D˚
a g¨
aller att
f (x)
→ L, d˚
ax→∞
g(x)
Bevis. Till y < x existerar z ∈ (y, x) s˚
adan att
f (x) − f (y)
f 0 (z)
= 0
g(x) − g(y)
g (z)
⇒
⇒
⇒
f (x)g 0 (z) − f (y)g 0 (z) = f 0 (z)g(x) − f 0 (z)g(y)
f (x)
f (y)
f 0 (x)
f 0 (z) g(y)
=
+ 0
− 0
·
g(x)
g(x)
g (z)
g (z) g(x)
˛
˛ ˛
˛ ˛ 0
˛ ˛ 0
˛
˛ f (x)
˛ ˛ f (y) ˛ ˛ f (z)
˛ ˛ f (z) g(y) ˛
− L˛ ≤ ˛
− L˛ + ˛ 0
·
˛
˛+˛ 0
˛
g(x)
g(x)
g (z)
g (z) g(x)
Fixera ett y som garanterar att |f 0 (z)/g 0 (z) − L| ≤ ε f¨
or z > y och d¨
ar
ε>0¨
ar godtyckligt vald. V¨
alj sedan N s˚
a stort att |f (y)/g(x)| ≤ ε och
|g(y)/g(x)| ≤ ε om x > N . D˚
a har vi s˚
aledes att
˛
˛
f
(x)
˛
˛
− L˛ ≤ ε + ε + (L + ε) · ε.
˛
g(x)
D˚
a ε var godtycklig har vi att
f (x)
−→ L, d˚
a x −→ ∞
g(x)
som visar satsen.
Sats 6.23. L˚
at f vara N g˚
anger deriverbar reellv¨
ard funktion i en omgivning V av a. Till varje x ∈ V existerar ett c mellan a och x s˚
adant
att
N
−1
X
1 (N )
1 (n)
f (x) =
f (a)(x − a)n +
f
(c)(x − a)N
n!
N
!
n=0
14
LARS SVENSSON OCH ERIC NORDENSTAM
Bevis. Bilda
F (x) = f (x) −
X
0≤n<N
1 (n)
f (a)(x − a)n .
n!
0
Observera att F (a) = F (a) = · · · = F (N −1) (a) = 0. Genom att successivt
utnyttja den generaliserade medelv¨
ardessatsen f˚
ar vi
F (x) − F (a)
F 0 (x1 )
F (x)
=
=
N
N
N
(x − a)
(x − a) − (a − a)
N (x1 − a)N −1
0
0
F (x1 ) − F (a)
F 00 (x2 )
=
=
N (x1 − a)N −1 − N (a − a)N −1
N (N − 1)(x2 − a)N −2
F (N ) (xN )
f (N ) (xN )
=
N!
N!
d¨
ar xn ligger mellan a och xn−1 , n ≥ 1 och x0 = x. Om c = xN s˚
a har vi
allts˚
a F (x) = (1/N !)f (N ) (c) som visar satsen.
= ··· =
¨
Ovning
8. Definiera f : R → R genom
( 1
e− x , om x > 0,
f (x) =
0,
om x ≤ 0.
Visa att f ¨
ar o¨
andligt deriverbar ¨
overallt och att f (n) (0) = 0 ∀n ≥ 0.
Definition 6.24. En o¨
andligt deriverbar funktion kallas analytisk i a om
N
X
1 (n)
f (a)(x − a) −→ f (x),
n!
n=0
d˚
a N −→ ∞
och om |x − a| ¨
ar tillr¨
ackligt liten.
Riemannintegralen
L˚
at a = (a1 , a2 , . . . , an ) ∈ Rn och b = (b1 , b2 , . . . , bn ) ∈ Rn . Ett intervall
n
iR ¨
ar en m¨
angd p˚
a formen [a, b] = {x = (x1 , . . . , xn ) : ai ≤ xi ≤ bi ∀i}.
Ett intervall i R2 ¨
ar s˚
aledes en rektangel och i R3 ett r¨
atblock. Volymen,
eller m˚
attet, av [a, b] betecknas Vol[a, b] och definieras Vol[a, b] = (b1 −
a1 )(b2 − a2 ) . . . (bn − an ) om [a, b] 6= ∅ och som 0 annars. Vi definierar
funktionen 1[a,b] : Rn → R genom
(
1 om x ∈ [a, b]
1[a,b] (x) =
0 annars
L˚
at oss kalla funktioner av typ 1[a,b] f¨
or intervallfunktioner och linj¨
arkombinationer av s˚
adana f¨
or trappfunktioner. Om aj ∈ Rn , bj ∈ Rn ,
cj ∈ R och 1 ≤ j ≤ N s˚
a¨
ar s˚
aledes
T = c1 1[a1 ,b1 ] + · · · + cN 1[an ,bn ] ∈ T
ENVARIABEL
15
d¨
ar T betecknar vektorrummet ¨
over R av trappfunktioner. Vi definierar
nu en linj¨
ar avbildning
R
T −→ R
Z
N
X
cj Vol[aj , bj ]
T 7−→ T =
j=1
R
Att : T → R ¨
ar linj¨
ar ¨
ar uppenbart. RVidareR¨
ar monoton i den meningen
att
a m˚
aste S ≤ T speciellt g¨
aller s˚
aledes att
R om S,
R T ∈ T och S ≤ T s˚
| T | ≤ |T |. Vi inf¨
or nu f¨
oljande
R
Definition 6.25. En funktion f : Rn → R kallas Riemannintegrabel
om det f¨
or varje
adana att
R ε > 0 existerar trappfunktioner T , S ∈ T s˚
S ≤ f ≤ T och (T − S) < ε.
F¨
or att kunna definiera integralen av f f¨
or Riemannintegrabla funktioner beh¨
over vi f¨
oljande lemma.
Lemma 6.26. Antag Sn0 , Tn0 , Sn00 och Tn00 ∈ T och att
(1) Sn0 ≤ f ≤ Tn0 ,
00
00
(2) S
R n ≤ f ≤ Tn ,
(3) R (Tn0 − Sn0 ) < 1/n,
(4) (Tn00 − Sn00 ) < 1/n.
D˚
a existerar I ∈ Rn s˚
adant att
Z
Z
Z
Z
Sn0 → I,
Tn0 → I,
Sn00 → I,
Tn00 → I,
d˚
a n → ∞.
Anm¨
arkning. Talet I ovan betecknas
f.
R
f och kallas Riemannintegralen f¨
or
Bevis. Tag P och Q ∈ T. Definiera
(1) max(P, Q)(x) = max(P (x), Q(x)),
(2) min(P, Q)(x) = min(P (x), Q(x)).
Det ¨
ar uppenbart att max(P, Q) och min(P, Q) b¨
agge ¨
ar i T. Bilda
(1) Sn = max(S10 , S100 , . . . , Sn0 , Sn00 ),
(2) Tn = min(T10 , T100 , . . . , Tn0 , Tn00 ).
Vi ser att
Sn0 ≤ Sn ≤ Sn+1 ≤ f ≤ Tn+1 ≤ Tn ≤ Tn0
och att
Z
Z
Z
Sn ≤ Sn+1 ≤ T1 ∀n.
R
Det
adan att Sn → I Rd˚
a n → ∞. Men 0 ≤
R 0ger existensen
R 0av I 0∈ R s˚
(Tn − Sn ) ≤ (Tn − SRn ) < 1/n → 0 ger d˚
a att Tn0 → I d˚
a n → ∞.
R
P˚
a samma s¨
att f˚
as att Tn00 → I och att Tn → I d˚
a n → ∞. Men
16
LARS SVENSSON OCH ERIC NORDENSTAM
R 0
R
0
a att Sn0 → I. P˚
a samma s¨
att f˚
ar vi att
R0 ≤00 (Tn − Sn ) < 1/n → 0 ger d˚
Sn → I, n → ∞, som visar lemmat.
¨
Ovning
9. Visa att “kamfunktionen” f som definierad p˚
a [0, 1] a
a
¨r 1 p˚
rationella tal och noll f¨
or ¨
ovrigt inte ¨
ar Riemannintegrabel.
Vi ska nu titta p˚
a integraler i R1 .
Sats 6.27. Om f : [a, b] → R ¨
ar kontinuerlig s˚
a¨
ar f integrabel.
Bevis. Tag ε > 0. Eftersom [a, b] ¨
ar kompakt s˚
a¨
ar f likformigt kontinuerlig
vilket medf¨
or att det existerar δ > 0 s˚
adant att |f (x) − f (y)| < ε om
|x − y| < δ, x, y ∈ [a, b]. V¨
alj a = x0 ≤ x1 ≤ · · · ≤ xn = b s˚
adana att
|xk+1 − xk | < δ ∀k och l˚
at Ik = (xk , xk+1 ], k = 0, 1, . . . , n − 1 och v¨
alj x
ˆk
och x
ˇk i I¯k s˚
a att
∀x ∈ I¯k .
f (ˇ
xk ) ≤ f (x) ≤ f (ˆ
xk )
S¨
att nu
Tˇ =
n−1
X
f (ˇ
xk )1Ik ,
k=0
Tˆ =
n−1
X
f (ˆ
xk )1Ik .
k=0
D˚
a har vi Tˇ ≤ f ≤ Tˆ p˚
a [a, b] = I och att
integrabiliteten hos f 1I .
R
(Tˆ − Tˇ) < ε(b − a) som visar
R
Rb
Anm¨
a betecknar a f integralen f 1I
Raarkning. Om a R≤ b och I = [a, b] s˚
och b betecknar − f 1I .
P
Anm¨
arkning. Om x
¯k ∈ Ik och T¯R = Rf (¯
xk )Ik s˚
a har vi Tˇ ≤ T¯ ≤ Tˆ och
R
T¯ kallas Riemannsumma och | T¯ − f | ≤ ε(b − a).
¨
Ovning
10. Visa att monotona funktioner p˚
a [a, b] ¨
ar Riemannintegrabla.
¨
Ovning
11. Visa integralkalkylens
Om f : [a, b] → R
R x fundamentalsats:
Rx
or a < x < b s˚
a¨
ar F
ar kontinuerlig och om F (x) = a f = a f (y)dy f¨
¨
deriverbar i (a, b) med derivatan F 0 (x) = f (x).
¨
Ovning
12. Visa integralkalkylens medelv¨
ardessats: Om f och g : [a, b] →
R ¨
ar s˚
adana att f ¨
ar kontinuerlig och g integrerbar och icke negativ s˚
a
existerar c ∈ (a, b) s˚
adana att
Z b
Z b
f g = f (c)
g.
a
a
ENVARIABEL
17
Funktionsf¨
oljder
f
n
m
Om R ⊃ D −
→ R s˚
a definierar vi supremumnormen kf kD av f p˚
a
f¨
oljande s¨
att. Normen ¨
ar odefinierad (eller s¨
atts till ∞) om f ¨
ar obegr¨
ansad, men annars existerar en minsta ¨
ovre begr¨
ansning kf kD ∈ R till
|f | s˚
adan att
(1) |f (x)| ≤ kf kD ∀x ∈ D.
(2) ∀ε > 0 ∃x ∈ D |f (x)| > kf kD − ε.
Om D ¨
ar kompakt och f kontinuerlig s˚
a ¨
ar kf kD = maxx∈D |f (x)|. I
annat fall brukar man skriva kf kD = supx∈D |f (x)|, supremum av |f | ¨
over
ar en norm, dvs
D. Man verifierar direkt (¨
ovning) att k kD ¨
(1) kf kD ≥ 0,
(2) kf kD = 0 ⇔ f = 0,
(3) kf + gkD ≤ kf kD + kgkD (triangelolikheten),
(4) kαf kD = |α|kf kD om α ∈ R (eller C).
Definition 6.28. En f¨
oljd f1 , f2 , f3 , . . . av funktioner fr˚
an D ⊂ Rn till
Rm s¨
ages konvergera likformigt mot f : D → Rm om kfn − f kD → 0 d˚
a
n → ∞.
Anm¨
arkning. Det vill s¨
aga fn → f likformigt i D, n → ∞ om ∀ε > 0 ∃N
∀x ∈ D (n > N ⇒ |fn (x) − f (x)| < ε).
Vi f˚
ar omedelbart
Sats 6.29. Om fn → f likformigt i D och om fn och f ¨
ar Riemannintegrabla s˚
a
Z
Z
Z
Z
fn = fn 1D −→
f = f 1D , n −→ ∞
D
D
Bevis.
˛Z
˛ Z
Z
Z
˛
˛
˛ fn −
˛≤
f
|f
−
f
|
≤
kf
−
f
k
1D −→ 0,
n
n
D
˛
˛
D
D
n −→ ∞
D
m
Definition 6.30. En f¨
oljd f1 , f2 , . . . av funktioner D → R kallas likformigt Cauchy p˚
a D om ∀ε > 0 ∃N ∀n, m (n, m > N ⇒ kfn − fm kD < ε).
Sats 6.31. Om f1 , f2 , . . . ¨
ar likformigt Cauchy p˚
a D s˚
a existerar f : D →
Rm s˚
adan att fn → f likformigt p˚
a D d˚
a n → ∞.
Bevis. Tag ε > 0 och v¨
alj N s˚
adant att kfn − fm k < ε om n och m > N .
Om x ∈ D s˚
a har vi speciellt |fn (x)−fm (x)| ≤ kfn −fm k < ε om n, m > N .
S˚
aledes ¨
ar f1 (x), f2 (x), . . . Cauchy i Rm och konvergerar s˚
aledes mot n˚
agot
element, s¨
ag f (x) i Rm . Vi har nu om n, m > N att |fn (x) − f (x)| =
|fn (x) − fm (x) + fm (x) − f (x)| ≤ |fn (x) − fm (x)| + |fm (x) − f (x)| ≤
ε + |fm (x) − f (x)|. L˚
at nu m → ∞ s˚
a f˚
ar vi |fn (x) − f (x)| ≤ ε om n > N
∀x ∈ D. Men detta betyder att kfn − f k ≤ ε om n > N .
18
LARS SVENSSON OCH ERIC NORDENSTAM
Sats 6.32. Om fn : D → Rm ¨
ar kontinuerlig ∀n ≥ 1 och om fn → f
likformigt p˚
a D ⊂ Rn d˚
a n → ∞, s˚
a¨
ar f kontinuerlig p˚
a D.
Anm¨
arkning. Kontinuerlig kan ocks˚
a ers¨
attas mot likformigt kontinuerlig
(¨
ovning).
Bevis. Tag a ∈ D och ε > 0. Fixera n s˚
adant att kf − fn k < ε. Vi har nu
|f (x) − f (a)| = |f (x) − fn (x) + fn (x) − fn (a) + fn (a) − f (a)|
≤ |f (x) − fn (x)| + |fn (x) − fn (a)| + |fn (a) − f (a)|
≤ 2ε + |fn (x) − fn (a)|.
Till v˚
art fixa n kan vi v¨
alja δ > 0 s˚
adant att (|x − a| < δ, x ∈ D) ⇒
|fn (x) − fn (a)| < ε. S˚
aledes har vi |f (x) − f (a)| ≤ 3ε om x ∈ D, |x − a| < δ
som visar satsen.
I en variabel har vi ocks˚
a f¨
oljande.
Sats 6.33. L˚
at fn och g : [a, b] → R d¨
ar [a, b] ¨
ar intervall i R och antag
att fn ¨
ar kontinuerligt deriverbara och att
(1) fn (a) → A, n → ∞,
(2) fn0 → g likformigt p˚
a [a, b], n → ∞.
D˚
a g¨
aller att fn → f , n → ∞ likformigt i [a, b] f¨
or n˚
agot f s˚
adan att
f 0 = g p˚
a (a, b)
Bevis.
x
Z
fn (x) = fn (a) +
fn0 (y)dy −→ A +
a
x
Z
g,
n −→ ∞
a
D˚
a fn0 ¨
ar kontinuerliga och likformigt konvergenta
mot g ¨
ar ¨
aven g kontiRx
g
a
r
deriverbar.
S˚
aledes, om
nuerlig s˚
a fundamentalsatsen
ger
att
x
→
7
¨
a
Rx
a¨
ar f 0 = g och fn → f , n → ∞ likformigt
vi definierar f (x) = A + a g s˚
i [a, b].
Potensserier
Funktioner p˚
a formen
∞
X
f (x) =
an xn ,
an ∈ R (eller C),
x ∈ R (eller C)
n=0
kallas potensserier. L˚
at fn (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn . Vi har d˚
a
Sats 6.34. L˚
at x0 och B vara s˚
adana att |an xn
a g¨
aller
0 | < B ∀n ≥ 0. D˚
att om c < |x0 |
(1) fn → f , n → ∞ likformigt i |x| ≤ c,
(2) fn0 → f 0 , n → ∞ likformigt i |x| ≤ c,
(3) Fn → F , n → ∞ likformigt i |x| ≤ c
Rx
Rx
d¨
ar Fn (x) = 0 fn och F (x) = 0 f .
ENVARIABEL
19
Bevis. Tag N > M .
˛ X
˛
|fN (x) − fM (x)| = ˛˛
M <n≤N
˛
˛
an xn ˛˛ ≤
X
|an ||x|n
M <n≤N
˛ ˛n
B|c/x0 |M +1
˛ c ˛
≤
|an xn
−→ 0,
˛ ≤
0 |˛
x0
1 − |c/x0 |
M <n<N
X
M −→ ∞
Detta visar att fn → f och f¨
oljaktligen FP
alj
n → F likformigt i |x| ≤ c. V¨
0
n−1
c0 s˚
a att c < c0 < |x0 |. Eftersom fm
(x) = m
s˚
a har vi
n=1 nan x
X
X B “ c ”n ˛˛ c0 ˛˛n
0
0
|fN
− fM
|≤
n|an ||x|n−1 ≤
n 0 ˛ ˛ .
C
c
x0
M <n≤N
M <n≤N
0 n
V¨
alj M s˚
a stort att n(c/c ) < 1 om n < M . D˚
a f˚
as
0
0
|fN
(x) − fM
(x)| ≤ (B/C)|c0 /x0 |M +1 (1 − |c0 /x0 |)−1 .
Detta visar att fn0 → f 0 likformigt i |x| ≤ c.
Konvexa funktioner
n
En m¨
angd K ⊂ R kallas konvex om segmentet [x, y] = {λx + (1 − λ)y :
0 ≤ λ ≤ 1} ligger helt i K s˚
a fort x och y ligger i K.
En funktion f : Rn → R kallas konvex om dess epigraf, dvs {(x, y) ∈
Rn × R : f (x) ≤ y} ¨
ar konvex i Rn × R. Ett annat, ekvivalent, s¨
att att
definiera konvexitet hos f : R → R ¨
ar att kr¨
ava att det f¨
or varje a ∈ R
existerar k ∈ R s˚
adant att f (a) + k(x − a) ≤ f (x) ∀x ∈ R. Man kan
visa (¨
ovning) att konvexa funktioner ¨
ar kontinuerliga. Vidare kan man
visa (¨
ovning) att f¨
or tv˚
a g˚
anger deriverbara funktioner f ¨
ar konvexitet
ekvivalent med att f 00 ≥ 0.
Jensens olikhet
R
L˚
at m : R → R vara integrabel med m = 1R och l˚
at Rϕ : R → R vara
konvex. Om f : R → R ¨
ar integrabel s˚
a g¨
aller ϕ( f m) ≤ (ϕ ◦ f )m.
+
Bevis. Vi vet att ∀a
a att ϕ(a) + k(x − a) ≤ ϕ(x) ∀x ∈ R.
R ∈ R ∃k ∈ R s˚
V¨
alj speciellt a = f m och byt x mot f (t) s˚
a har vi
R
R
ϕ( f m) + k(f (t) − f m) ≤ ϕ(f (t)).
Multiplicera med m(t) och integrera.
R
R
R
R
R
R
ϕ( f m)( m) + k f m − k( f m)( m) ≤ (ϕ ◦ f )m
R
Men m = 1 s˚
a vi har
R
R
ϕ( f m) ≤ (ϕ ◦ f )m.
20
LARS SVENSSON OCH ERIC NORDENSTAM
Legendretransformen
Vi ska inf¨
ora en avbildning L som tar konvexa funktioner p˚
a konvexa
och som ¨
ar sin egen invers. F¨
or att g¨
ora saken lite enklare f¨
or oss antar
vi att v˚
ara funktioner ¨
ar tv˚
a g˚
anger deriverbara med strikt positiv andra
derivata. Definiera allts˚
a
C ={ϕ : R → R : ϕ00 > 0},
L =C → C,
ϕ 7→ L(ϕ) = ϕ
˜
d¨
ar ϕ(y)
˜
= max(xy − ϕ(x)). Notera speciellt att
x∈R
xy ≤ ϕ(x) + ϕ(y)
˜
∀x, y ∈ R.
¨
Ovning
13. Visa att ϕ ∈ C ⇒ L(ϕ) ∈ C och att L ◦ L = idC .
¨
Ovning
14. Antag p, q > 0 och att 1/p + 1/q = 1. Visa att om ϕ(x) =
xp /p s˚
a¨
ar ϕ(y)
˜
= y q /q. Speciellt f˚
ar man allts˚
a olikheten
xp
yq
+ .
p
q
Vi ska nu anv¨
anda olikheten ovan f¨
or att visa H¨
olders olikhet. L˚
at oss
ar en funktion som ¨
ar Riemannintegrabel i
f¨
orst anta att m : R → R+ ¨
varje begr¨
ansat intervall. Definiera vidare p-normen kf kp av en integrabel
f : R → R genom
„Z
«1
p
kf kp =
|f |p m
.
R
Sats 6.35. |f g|m ≤ kf kp kgkq
xy ≤
Bevis. Genom att multiplicera b¨
agge leden med αβ d¨
ar
Z
Z
p
q
|αf | m = |βg| m = 1
kan vi f¨
orst anta att kf kp = kgkq = 1. D˚
a har vi
Z
Z
Z “ p
|f |
|g|q ”
1
1
|f g|m = |f ||g|m ≤
+
m = + ≤ 1.
p
q
p
q
Sats 6.36. kf kp = max
kgkq =1
R
f gm
R
Bevis. Klart ¨
ar att f gm ≤ kf kp om kgkq R= 1 enligt H¨
olders olikhet.
Antag kf kp = 1. Det r¨
acker d˚
a att visa att f gm = 1 f¨
or n˚
agon g med
kgkq = 1. S¨
att (sgn f )(x) = 1 (−1) om f (x)
> 0 (< 0) och definiera
R
g = (sgn f )|f |p/q . D˚
a har vi dels att kgkq = ( |f |p m)1/q = 1 och dels att
R
R
p/q
f g = |f ||f |
=R |f |p . S˚
aledes f˚
ar vi f gm = |f |p m = kf kpp = 1. Detta
visar att max f gm antas och ¨
ar 1.
kgkq =1
ENVARIABEL
21
Sats 6.37 (Minkowskis Olikhet). kf + gkp ≤ kf kp + kgkp
Bevis. kf + gkp = max ∫ (f + g)hm ≤ max ∫ f hm + max ∫ ghm =
khkq =1
khkq =1
khkq =1
kf kp + kgkp
Weierstrass approximationssats
Som f¨
oljande sats visar kan m˚
anga funktioner approximeras v¨
al med
polynom a
¨ven om de saknar Taylorutveckling.
Sats 6.38. Om f : [a, b] → R ¨
ar kontinuerlig och ε > 0 s˚
a existerar
polynom p s˚
adant att |f (x) − p(x)| < ε ∀x ∈ [a, b].
Bevis. Genom att ers¨
atta f med funktionen f (x) − f (0) − x(f (1) − f (0))
kan vi utan inskr¨
ankning anta att f (0) = f (1) = 0. Vi best¨
ammer f¨
orst
R1
√
cn ∈ R s˚
a att cn −1 (1 − x2 )n dx = 1. Visa f¨
orst att cn < n. F¨
or detta
bildar vi Ψ(t) = (1 − t)n − 1 + nt. D˚
a f˚
as Ψ0 (t) = n − n(1 − t)n−1 ≥ 0 om
0 ≤ t ≤ 2. D˚
a Ψ(0) = 0 f˚
ar vi med t = x2 att (1 − x2 )n ≥ 1 − nx2 . Vi
anv¨
ander olikheten d˚
a 0 ≤ x2 ≤ 1/n.
1
Z
(1 − x2 )n dx = 2cn
1 = cn
−1
(1 − x2 )n dx ≥ 2cn
≥ 2cn
0
»
= 2cn
(1 − x2 )n dx ≥
0
√
1/ n
Z
1
Z
nx3
x−
3
–1/√n
0
√
1/ n
Z
1 − nx2 dx =
0
1 2
cn
= 2cn √ · > √
n 3
n
Bilda nu ϕn (x) = cn (1 − x2 )n och antag att [a, b] = [0, 1]. Definiera nu
f (x) = 0 om x ∈
/ [0, 1] och s¨
att
Z
1
fn (x) =
f (x + t)ϕn (t)dt.
−1
Substitutionen y = x + t ger
Z
x+1
f (y)ϕn (y − x)dy.
fn (x) =
x−1
Men d˚
a x ∈ [0, 1] s˚
a¨
ar x − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ x + 1. Allts˚
a har vi
Z
1
1
Z
f (y)(1 − (y − x)2 )n dy.
f (y)ϕn (y − x)dy = cn
fn (x) =
−1
0
22
LARS SVENSSON OCH ERIC NORDENSTAM
S˚
aledes ¨
ar fn ett polynom (av grad 2n) i x. Vi ska nu visa att fn → f
likformigt d˚
a n → ∞ i [0, 1].
Z 1
˛Z 1
˛
˛
˛
|fn (x) − f (x)| = ˛
f (x + t)ϕn (t)dt −
f (x)ϕn (t)dt˛
Z
−1
1
≤
−1
|f (x + t) − f (x)|ϕn (t)dt
−1
Tag ε > 0 och v¨
alj δ > 0 s˚
a att |f (x + t) − f (x)| < ε om |t| < δ. Detta ¨
ar
m¨
ojligt eftersom f a
a
¨r likformigt kontinuerlig. Vi har d˚
|fn (x) − f (x)|
Z
Z
≤
|f (x + t) − f (x)|ϕn (t)dt +
|t|<δ
|f (x + t) − f (x)|ϕn (t)dt.
δ≤|t|≤1
L˚
at M = maxy∈[0,1] |f (y)| och notera ¨
aven att ϕn (0) ≥ ϕn (δ) ≥ ϕn (t) om
|t| ≥ δ.
Z
Z 1
|fn (x) − f (x)| ≤ ε ϕn + 2M · 2
cn (1 − δ 2 )n dt
δ
√
≤ ε + 4M (1 − δ 2 )n n
√
V¨
alj nu N s˚
a stort att 4M (1 − δ 2 )n n < ε om n > N . S˚
aledes g¨
aller att
fn → f , n → ∞ likformigt i [0, 1] vilket skulle bevisas.
E-mail address: [email protected]