Transcript KORT SAMMANFATTNING AV FLERVARIABELKURSEN 1. Normer

KORT SAMMANFATTNING AV FLERVARIABELKURSEN
LARS SVENSSON OCH ERIC NORDENSTAM
1. Normer p˚
a vektorrum
En avbildning V 3 x 7→ |x| ∈ R fr˚
an ett vektorrum ¨
over R (eller C)
kallas en norm om ∀λ ∈ R (eller C) ∀x, y ∈ V
(1) |λx| = |λ||x|
(2) |x + y| ≤ |x| + |y| (triangelolikheten)
(3) |x| ≥ 0
(4) |x| = 0 ⇒ x = 0
Ett vektorrum f¨
orsett med en norm kallas ett normerat rum. L˚
at oss som
vanligt inf¨
ora notationen B(p, r) = {x ∈ V : |x − p| < r} f¨
or bollen med
radie r och centrum i p. Till ett normerat rum h¨
or de vanliga topologiska
begreppen som: om M ⊂ V s˚
a¨
ar
p inre punkt i M om B(p, r) ⊂ M f¨
or n˚
agot r > 0,
p yttre punkt till M om p ¨
ar inre punkt i V r M ,
p randpunkt till M om p ¨
ar varken inre punkt eller yttre punkt till M .
◦
angden av randM¨
angden av inre punkter till M betecknas M och m¨
punkter ∂M . Unionen av M och dess rand kallas slutna h¨
oljet av M och
¯ . M kallas
betecknas M
◦
(1) ¨
oppen om M = M .
¯ = M.
(2) sluten om M
(3) begr¨
ansad om M ⊂ B(0, r) f¨
or n˚
agot r > 0.
2. Konvergens
En f¨
oljd N 3 n 7→ xn ∈ V s¨
ages konvergera mot x d˚
a n → ∞ om
∀ε > 0 ∃N ∈ N n ≥ N ⇒ |x − xn | < ε.
2.1. Cauchyf¨
oljder. En f¨
oljd N 3 n 7→ xn ∈ V kallas Cauchy om ∀ε >
0 ∃N ∈ N n, m ≥ N ⇒ |xn − xm | < ε.
Som vi vet s˚
a konvergerar varje Cauchyf¨
oljd i Rn eller Cn , men detta
a
r
inte
i
allm¨
a
nhet
fallet
om
V
a
r
ett
o¨
a
ndligtdimensionellt
rum. Vi har
¨
¨
d¨
arf¨
or f¨
oljande viktiga definition.
Definition 2.2. Ett normerat rum i vilket varje Cauchyf¨
oljd konvergerar
kallas ett Banachrum.
1
2
LARS SVENSSON OCH ERIC NORDENSTAM
Med denna definition s˚
a visade vi tidigare i kursen att m¨
angden av
kontinuerliga funktioner fr˚
an en kompakt i Rn till R med max-normen ¨
ar
ett Banachrum.
3. Operatornorm och ekvivalenta normer
L˚
at V och W vara tv˚
a a
¨ndligtdimensionella vektorrum o
¨ver R (eller
C). M¨
angden L(V, W ) av linj¨
ara avbildningar fr˚
an V till W ¨
ar sj¨
alv ett
vektorrum genom additionen och multiplikationen med skal¨
ar, definierade
enligt
(S + λT )(x) = S(T ) + λT (X)
f¨
or S, T ∈ L(V, W ), x ∈ V och λ ∈ R (eller C).
Vi ska inf¨
ora en norm p˚
a L(V, W ), men f¨
orst ska vi titta lite p˚
a V . L˚
at
v1 , . . . , vn vara en bas f¨
or V och l˚
at K : V → Rn (eller Cn ) vara koordinatavbildningen h¨
orande till v˚
ar bas, dvs. om K(v) = x = (x1 , . . . , xn ) s˚
a
v = x1 v1 + · · · + xn vn . Vi har d˚
a |v| ≤ |x1 ||v1 | + · · · + |xn ||vn | som med
Cauchys olikhet i Rn ger
|v| ≤ (|v1 |2 + · · · + |vn |2 )1/2 (|x1 |2 + · · · + |xn |2 )1/2 .
Om B = (|v1 |2 + · · · + |vn |2 )1/2 och |x| betecknar den Euklidiska normen
i Rn (eller Cn ) s˚
a har vi allts˚
a
|v| ≤ B|x|
∀v ∈ V, x = K(v).
Detta visar ocks˚
a att avbildningen
Rn 3 x 7→ |x1 v1 + · · · + xn vn | ∈ R
ar kontinuerlig och s˚
aledes antar ett minimum, s¨
ag A, p˚
a den kompakta
¨
m¨
angden {x ∈ Rn : |x| = 1} = S. S˚
aledes har vi att
A ≤ |x1 v1 + · · · + xn vn |
∀x ∈ S.
Genom att skala x till godtycklig norm och notera att alla leden nedan ¨
ar
homogena under denna skalning ser vi att
A|x| ≤ |x1 v1 + · · · + xn vn | = |v| ≤ B|x|
∀x ∈ Rn .
¨
Ovning
1. Visa med hj¨
alp av ovan att alla ¨
andligtdimensionella normerade rum ¨
over R (eller C) ¨
ar Banachrum.
¨
Ovning
2. Visa ocks˚
a att om | · |1 och | · |2 ¨
ar normer i ett vektorrum V
av a
a existerar strikt positiva reella tal α och β s˚
adana
¨ndlig dimension, s˚
att α|x|1 ≤ |x|2 ≤ β|x|1 ∀x ∈ V .
Vi s¨
ager att alla normer p˚
a ett ¨
andligtdimensionellt vektorrum ¨
ar ekvivalenta d˚
a de ger upphov till samma konvergensbegrepp och samma
topologiska begrepp.
L˚
at T ∈ L(V, W ). Eftersom enhetsbollen i V a
¨r kompakt (=sluten och
begr¨
ansad f¨
or ¨
andligtdimensionella normerade vektorrum) och V 3 x 7→
FLERVARIABEL
3
|T (x)| ∈ R ¨
ar kontinuerlig s˚
a antar |T (x)| ett maximum d¨
ar. Vi definierar
operatornormen enligt
kT k = max |T (x)|.
|x|≤1
¨
Ovning
3. Verifiera att k · k ¨
ar en norm.
Om V och W har dimension n och m respektive s˚
a har L(V, W ) dimensionen nm varf¨
or i detta fall ¨
aven L(V, W ) blir ett Banachrum.
¨
Ovning
4. L˚
at T ∈ L(U, V ), S ∈ L(V, W ) d¨
ar U , V och W ¨
ar ¨
andligtdimensionella
normerade rum. Visa att
kS ◦ T k ≤ kSk · kT k.
4. Euklidiska normen p˚
a matriser
Vi l˚
ater Rn×m (Cn×m ) beteckna m¨
angden av alla reella (komplexa)
n × m-matriser. P˚
a dessa har vi inre produkten
·
Rn×m × Rn×m −→ R
(A, B) 7−→ sp B T A = B · A.
¨
Ovning
5. Hur ser motsvarigheten ut i Cn×m ?
Inre produktens symmetri f¨
oljer av
X T
XX T
T
A · B = sp A B =
(A B)ii =
(A )ij (B)ji
i
i
j
XX
=
i
Aij Bij = sp B T A = B · A.
j
Vi har f¨
oljande variant p˚
a Cauchys olikhet.
Sats 4.1. Om A ∈ Rn×m och B ∈ Rn×m s˚
a
|AB| ≤ |A||B|
d¨
ar |C| = (C · C)1/2 ¨
ar den euklidiska matrisnormen.
Bevis.
|AB|2 =
”2
X
X“X
Aik bkj
((AB)ij )2 =
ij
ij
k
”“X
”
X“X
≤ Cauchy p˚
aR ≤
(Aik )2
(Blj )2
n
ij
=
X
2
2
k
2
(Aik ) (Blj ) = |A| |B|
l
2
ijkl
4
LARS SVENSSON OCH ERIC NORDENSTAM
Anm¨
arkning. F¨
orv¨
axla inte den vanliga Cauchys olikhet, |A · B| ≤ |A||B|
med olikheten i satsen d˚
a ju A · B betecknar inre produkten medan AB
betecknar matrisprodukten mellan A och B. Den f¨
orra ¨
ar definierad bara
d˚
a A och B ¨
ar matriser av samma format.
5. Kontinuitet
En funktion f : V → W mellan tv˚
a normerade vektorrum kallas kontinuerlig i punkten a ∈ V om ∀ε > 0 ∃δ > 0 s˚
a att f (B(a, δ)) ⊂ B(f (a), ε).
a
V
>
f
f (a)
>
W
ε
δ
¨
Ovning
6. Visa med hj¨
alp av v˚
art tidigare resonemang om ekvivalenta
normer att v˚
ara tidigare k¨
anda satser, om att kontinuerliga funktioner
tar kompakter p˚
a kompakter och b˚
agvisa sammanh¨
angande m¨
angder p˚
a
dylika, g¨
aller f¨
or ¨
andligtdimensionella normerade vektorrum.
¨
Ovning
7. L˚
at f : Rn → R vara kontinuerlig ¨
overallt och att |f (x)| → ∞
n¨
ar |x| → ∞. Visa att f antar ett minsta v¨
arde.
¨
Ovning
8. L˚
at f : Rn → R vara kontinuerlig ¨
overallt, f (x) → 0 d˚
a
|x| → ∞ och att ∃a ∈ Rn med f (a) > 0. Visa att f antar ett st¨
orsta
v¨
arde.
6. Derivation
En avbildning f : V → W mellan normerade rum s¨
ages vara deriverbar
i a om det existerar en kontinuerlig linj¨
ar avbildning betecknad f 0 (a) :
V → W s˚
adan att
f (a + h) = f (a) + f 0 (a)(h) + o(h)
d¨
ar o(h) = |h|ε(h) f¨
or n˚
agot ε : V → W s˚
adan att ε(h) → 0 = ε(0) d˚
a
n → 0. Vi s¨
ager att f ¨
ar deriverbar i Ω ⊂ V om f 0 (a) existerar f¨
or varje
a ∈ Ω. S˚
aledes kan f 0 uppfattas som en avbildning fr˚
an Ω till L(V, W ).
7. Kedjeregeln
Sats 7.1. Om f : U → V ¨
ar deriverbar i a och g : V → W ¨
ar deriverbar i
b = f (a) s˚
a¨
ar g ◦ f deriverbar i a med derivata (g ◦ f )0 (a) = g 0 (b) ◦ f 0 (a).
FLERVARIABEL
5
Bevis. L˚
at h ∈ V och s¨
att k = f (a + h) − f (a). D˚
a g˚
ar k mot noll d˚
ah
g˚
ar mot noll och k = f 0 (a)(h) + o(h). Vi har nu
(g ◦ f )(a + h) = g(b + k) = g(b) + g 0 (b)(k) + o(k) =
= (g ◦ f )(a) + (g 0 (b) ◦ f 0 (a))(h) + g 0 (b)(o(h)) + o(k).
Det r¨
acker s˚
aledes att visa att
g 0 (b)(o(h)) + o(k) = o(h).
Om k 6= 0 och h 6= 0 s˚
a har vi
|g 0 (b)(o(h)) + o(k)|
|o(h)|
|o(k)| kf 0 (a)k|h| + |o(h)|
≤ kg 0 (b)k
+
·
|h|
|h|
|k|
|h|
som → 0 d˚
a h → 0. Om k = 0 ¨
ar saken trivial eftersom vi d˚
a har (g ◦
f )(a + h) = (g ◦ f )(a).
8. Medelv¨
ardesolikheten
n
Sats 8.1. Om f : R → Rm ¨
ar deriverbar p˚
a segmentet [x, y] = {tx + (1 −
t)y : 0 ≤ t ≤ 1} och kf 0 (z)k ≤ K d˚
a z ∈ [x, y] s˚
a g¨
aller
|f (x) − f (y)| ≤ K|x − y|
och om m = 1 s˚
a existerar z ∈ [x, y] s˚
adan att
f (x) − f (y) = f 0 (z)(x − y).
Bevis. Tag enhetsvektor e i Rm och definiera g : [0, 1] → R genom g(t) =
f (tx + (1 − t)y) · e. Av kedjeregeln f¨
oljer att g 0 (t) = (f 0 (tx + (1 − t)y)(x −
y)) · e. Av medelv¨
ardessatsen p˚
a g f¨
oljer d˚
a att ∃θ ∈ (0, 1) s˚
adan att
g(1) − g(0) = (f (x) − f (y)) · e = (f 0 (θx + (1 − θ)y)(x − y)) · e. S˚
aledes
har vi |(f (x) − f (y)) · e| ≤ K|x − y| f¨
or varje enhetsvektor e som ger att
|f (x) − f (y)| ≤ K|x − y|. Om m = 1 v¨
aljer vi bara e = 1 och f˚
ar f¨
or
z = θx + (1 − θ)y att f (x) − f (y) = f 0 (z)(x − y).
Anm¨
arkning. Resultatet ovan g¨
aller f¨
or godtyckliga normerade rum men
beviset kr¨
aver n˚
agot som vi v¨
antar med.
Vi ska nu trimma v˚
ar olikhet en smula. L˚
at f vara en deriverbar funktion fr˚
an Rn till Rm och definiera f¨
or fixt y ∈ Rn en funktion F genom
F (x) = f (x) − f (y) − f 0 (y)(x − y)
D˚
a ¨
ar F (y) = 0 och av kedjeregeln har vi F 0 (x) = f 0 (x) − f 0 (y), varf¨
or
medelv¨
ardesolikheten ger |F (x) − F (y)| ≤ maxz∈[x,y] |F 0 (z)||x − y|, dvs.
|f (x) − f (y) − f 0 (y)(x − y)| ≤ maxz∈[x,y] |f 0 (x) − f 0 (y)||x − y|
Anm¨
arkning. Denna olikhet g¨
aller ocks˚
a f¨
or alla normerade rum om max
ers¨
atts med supremum.
6
LARS SVENSSON OCH ERIC NORDENSTAM
9. Matrisrepresentation av derivator
n
L˚
at f : R → Rm vara deriverbar i a ∈ Rn och v¨
alj standardbasvektorer ei ∈ Rn och ej ∈ Rm . Definiera g(t) = ej · f (a + tei ) och f˚
a enligt
kedjeregeln g 0 (0) = ej · (f 0 (a)(ei )) som ¨
ar element p˚
a rad j och kolonn
i i matrisrepressentationen f¨
or f 0 (a) i standardbaserna f¨
or Rn och Rm
respektive.
Vidare om fj (x) = ej · f (x) s˚
a f˚
ar vi att
∂fj (x)
= ej · (f 0 (a)(ei )).
∂xi
10. Variabelnotation
Om x och y ¨
ar variabler i Rn och Rm respektive som ¨
ar relaterade enligt
y = f (x) f¨
or en deriverbar funktion f : Rn → Rm s˚
a skriver vi ofta
2 3
y1
6 . 7
2 ∂y
3
d 4 .. 5
∂y1
1
. . . ∂x
∂x1
n
6 .
ym
dy
.. 7
7
..
= 2 3 =6
f 0 (x) = Df (x) =
4
. 5.
dx
x1
∂ym
∂ym
. . . ∂xn
6 7
∂x1
d 4 ... 5
xn
Kedjeregeln blir d˚
a med matrismultiplikation
Rn → Rm → Rk
x 7→ y 7→ z
dz dy
dz
=
.
dx
dy dx
11. Inversa funktionssatsen
Sats 11.1 (Inversa funktionssatsen i normerad form). L˚
at f : Rn → Rn
vara kontinuerligt deriverbar i en omgivning av origo och antag att f (0) =
0 och f 0 (0) = id = I. D˚
a existerar tv˚
a omgivningar U och V till origo
samt en kontinuerligt deriverbar g : V → U s˚
adan att f ◦ g = id p˚
a V och
g ◦ f = id p˚
a U.
Bevis. D˚
a f0 ¨
ar kontinuerlig i origo existerar r > 0 s˚
adan att |f 0 (x)−I| ≤ 21
n
om |x| < r. Fixera ett y ∈ R med |y| < r/2 och definiera ϕ(x) = y + x −
f (x). Vi observerar att om x a
a har
¨r en fixpunkt till ϕ, dvs. ϕ(x) = x, s˚
vi att y = f (x), dvs. x ¨
ar “inversa bilden av y” under f .
¯ r0 ) in i sig sj¨
Vi visar f¨
orst att ϕ avbildar B(0,
alv om r0 = |y| · 2 < r. S˚
a
0
tag |x| ≤ r . D˚
a har vi |ϕ(x)| = |ϕ(x) − ϕ(0) + ϕ(0)| ≤ |ϕ(x) − ϕ(0)| + |y| ≤
maxz∈[0,x] |ϕ0 (z)||x−0|+|y| ≤ 12 r0 + 12 r0 = r0 . Enligt Banachs fixpunktssats
existerar ett unikt x = g(y) med |x| ≤ 2|y| s˚
adant att f (x) = y. Vi ska nu
FLERVARIABEL
7
visa att g ¨
ar kontinuerligt deriverbar i B(0, r/2) = V . Vi visar f¨
orst att g ¨
ar
deriverbar i origo med g 0 (0) = id = I. Om f (x) = f (0) + f 0 (0)(x) + o(x) =
x + o(x) = y s˚
a har vi x = g(y) = y − o(x) men g(0) = 0 och
|o(x)|
|o(x)| |x|
|o(x)|
=
≤2
|y|
|x| |y|
|x|
och om y → 0 s˚
a x → 0, s˚
a g ¨
ar deriverbar i origo med g 0 (0) = I.
Fixera nu x0 = g(y0 ) och s¨
att x = x0 + s och definiera y = f (x) och
F (s) = t = f 0 (x0 )−1 (f (x0 + s) − y0 ). D˚
a har vi F (0) = 0 och F 0 (0) =
f 0 (x0 )−1 f 0 (x0 ) = I varf¨
or enligt ovan F har en lokal invers G som a
¨r
deriverbar i origo med G0 (0) = I. Vi har d˚
a G ◦ F (s) = s = x − x0 =
G◦f 0 (x0 )−1 (f (x)−y0 ) ⇒ g(y) = x0 +G◦f 0 (x0 )−1 (y−y0 ). Av kedjeregeln ¨
ar
h¨
ogra ledet deriverbart i y = y0 med derivatan G0 (0)f 0 (x0 )−1 = f 0 (x0 )−1 .
Detta visar att g 0 (y0 ) existerar och att g 0 (y0 ) = f 0 (x0 )−1 = f 0 (g(y0 )).
ar kontinuerliga.
ar kontinuerlig eftersom g och f 0 ¨
Detta visar ocks˚
a att g 0 ¨
(Vi vet ju, sedan tidigare, att inverser till kontinuerliga avbildningar ¨
ar
kontinuerliga.)
Vi ska nu generalisera satsen en smula.
Sats 11.2 (Inversa funktionssatsen). L˚
at f vara en kontinuerligt deriverbar avbildning fr˚
an en omgivning av a i Rn till Rm .
(i) Om f 0 (a) ¨
ar injektiv s˚
a existerar en kontinuerligt deriverbar avbildning g fr˚
an en omgivning till f (a) s˚
adan att g ◦ f ¨
ar identiteten i
n¨
arheten av a. Vi s¨
ager att f har en lokal v¨
ansterinvers.
(ii) Om f 0 (a) ¨
ar surjektiv s˚
a existerar en lokal h¨
ogerinvers g till f i en
omgivning av f (a) s˚
adan att f ◦ g ¨
ar identiteten i n¨
arheten av f (a).
(iii) Om f 0 (a) ¨
ar bijektiv s˚
a har f en lokal invers.
Bevis. (i) L˚
at A vara linj¨
ar : Rm → Rn s˚
adan att A ◦ f 0 (a) = id = I p˚
a
m
R . Bilda F (x) = A(f (a + x) − f (a)) d˚
a har vi F (0) = 0 och F 0 (0) = I.
Allts˚
a existerar en kontinuerligt deriverbar G i n¨
arheten av origo med
G(0) = 0 och G0 (0) = I s˚
adan att x = G ◦ A(f (a + x) − f (a)) dvs.
x−a = G◦A(f (x)−f (a)) om x ligger n¨
ara a, eller x = a+G◦A(f (x)−f (a))
S¨
att nu g(y) = a + G ◦ A(y − f (a)). S˚
a f˚
ar vi g ◦ f (x) = x, som visar (i).
(ii) L˚
at B : Rm → Rn vara linj¨
ar s˚
adan att f 0 (a)B = id = I p˚
a Rm .
Bilda F (x) = f (a + Bx) − f (a) d˚
a¨
ar F kontinuerligt deriverbar n¨
ara origo
och F (0) = 0, F 0 (0) = f 0 (a)B = I. Resten av beviset ¨
overl¨
amnas som
ovning.
¨
12. Implicita funktionssatsen
m
n
L˚
at f : R × R → Rn vara kontinuerligt deriverbar i n¨
arheten av
(a, b) ∈ Rm × Rn och anta att derivatan av
Rn 3 y 7→ f (a, y) ∈ Rn
8
LARS SVENSSON OCH ERIC NORDENSTAM
ar inverterbar i b. D˚
a existerar en kontinuerligt deriverbar funktion ϕ defi¨
nierad i en omgivning till a s˚
adan att b = ϕ(a) och d¨
ar f (x, ϕ(x)) = f (a, b)
f¨
or x n¨
ara a.
F
Bevis. Bilda Rm × Rn → Rm × Rn , (x, y) 7→ (x, f (x, y)). Om vi inf¨
or
variabelnotation z = f (x, y)) och arbetar med kolonnvektorer f˚
as
» –
x
"
# »
–
d
∂x
∂x
z
Im
0
0
∂x
∂y
F = » – = ∂z ∂z = ∂z ∂z
x
∂x
∂y
∂x
∂y
d
y
ar identitetsmatrisen av formatet m × m. det F 0 = det
d¨
ar Im ¨
punkten (x, y) = (a, b). S˚
aledes har F en lokal invers G.
Betrakta figuren.
6= 0 i
z = f (x, y) ∈ Rn
y ∈ Rn
b
dz
dy
ϕ
a
F
x ∈ Rm
o
/
c
G
a
x ∈ Rm
L˚
at P beteckna projektionen
Rm × Rn 3 (s, t) 7→ t ∈ Rn
och definiera
ϕ(x) = P ◦ G(x, c)
f¨
or x n¨
ara a.
D˚
a har vi F ◦G(x, c) = (x, c) dvs. F (x, ϕ(x)) = (x, f (x, ϕ(x))) = (x, c) som
visar att f (x, ϕ(x)) = c och att ϕ(a) = P ◦ G(a, f (a, b)) = P ◦ G ◦ F (a, b) =
b.
13. Parameteriserade m˚
angfalder
L˚
at f : Ω → Rn vara en deriverbar funktion d¨
ar Ω ¨
ar en ¨
oppen del av
R och d¨
ar 1 ≤ m ≤ n. Antag att f 0 (x) ¨
ar injektiv ∀x ∈ Ω. D˚
a kallas f (Ω)
en m-dimensionell m˚
angfald (yta) i Rn . Om Ω 3 a 7→ f (a) = p ∈ f (Ω) = S
s˚
a kallas p + Im f 0 (a) = Tp S f¨
or tangentrummet till S i p.
m
14. M˚
angfalder som niv˚
aytor
L˚
at f : Ω → R vara deriverbar (m ≤ n) i Ω ⊂ Rn d¨
ar f 0 (p) ¨
ar
surjektiv f¨
or varje p i den o
angden Ω. Definiera
¨ppna m¨
m
S = {x ∈ Ω : f (x) = 0}.
FLERVARIABEL
9
Om p ∈ S s˚
a definieras
Tp S = {x ∈ Rn : f 0 (p)(x − p) = 0}.
Vi ser att Tp S = p + ker f 0 (p) s˚
a Tp S, som kallas tangentrummet till S i
punkten p, ¨
ar en affin m¨
angd i Rn av dimensionen n − m. Om m = 1 ¨
ar
S en hyperyta och om m > 1 ¨
ar S sk¨
arningen av m stycken hyperytor.
Eftersom f 0 (p) antogs vara surjektiv s˚
a har matrisen
3
2 ∂y
∂y1
1
. . . ∂x
∂x1
n
6 .
.. 7
7
f 0 (p) = 6
4 ..
. 5
∂ym
∂ym
. . . ∂xn
∂x1
x=p,y=f (x)
linj¨
art oberoende rader. Men d˚
a kan vi v¨
alja ut m stycken kolonner, s¨
ag
de m f¨
orsta, s˚
a att
3
2 ∂y
∂y1
1
. . . ∂x
∂x1
m
6 .
.. 7
7
6= 0
det 6
4 ..
. 5
∂ym
∂ym
. . . ∂xm
∂x1
x=a
Men d˚
a f¨
oljer av implicita funktionssatsen att variablerna xm+1 , . . . , xn
kan l¨
osas ut som funktion av x1 , . . . , xm ur ekvationen f (x) = 0, n¨
ara a.
S¨
ag att (xm+1 , . . . , xn ) = ϕ(x1 , . . . , xm ). Det betyder att S kan parameteriseras enligt
(x1 , . . . , xm ) → (x1 , . . . , xm , ϕ(x1 , . . . , xm ))
lokalt n¨
ara a = (a1 , . . . , an ).
15. Taylors formel
m
Antag att f : R → R ¨
ar N g˚
anger deriverbar i a ∈ Rn och definiera f¨
or
n
fixt h ∈ R en avbildning g : R → R genom g(t) = f (a + th). Kedjereglen
ger d˚
a
h
i
∂f
∂f
(a
+
th)
.
.
.
(a
+
th)
g 0 (t) = f 0 (a + th)(h) = ∂x
h
∂x
n
1
= h1 D1 f (a + th) + · · · + hn Dn f (a + th)
= (h1 D1 + · · · + hn Dn )f (a + th)
∂
d¨
ar Dj = ∂x
.
j
L˚
at oss inf¨
ora notationen
h · D = h1 D1 + · · · + hn Dn
som en linj¨
ar avbildning som tar kontinuerligt deriverbara funktioner (p˚
a
Rn ) till kontinuerliga funktioner. Vi skriver d˚
a g 0 (t) = (h · D)f (a + th).
Genom att s¨
atta f1 = (h · D)f och g1 (t) = f1 (a + th) s˚
a ser vi att g 00 (t) =
0
2
g1 (t) = (h · D)f1 (a + th) = (h · D) f (a + th). F¨
orfarandet itereras och ger
g (k) (t) = (h · D)k f (a + th).
10
LARS SVENSSON OCH ERIC NORDENSTAM
Men
1
1 (N )
g (N −1) (0)tN −1 +
g (θt).
(N − 1)!
N!
g(t) = g(0) + g 0 (0)t + · · · +
S˚
aledes har vi visat att
f (a + h) =
N
−1
X
k=0
1
1
(h · D)k f (a) +
(h · D)N f (p).
k!
N!
16. N˚
agra olika skrivs¨
att
Translatet Th f : R
m
→ R definieras av
(Th f )(x) = f (x + h).
Om f ¨
ar o¨
andligt deriverbar och om Taylorserien konvergerar ¨
overallt kan
vi allts˚
a skriva
∞
X
1
(Th f )(a) =
(h · D)k f (a)
k!
0
eller om vi tar bort a
Th f =
∞
X
1
(h · D)k f
k!
0
eller om vi tar bort f
Th =
∞
X
1
(h · D)k .
k!
0
Det ¨
ar ocks˚
a naturligt att definiera
∞
X
1
eh·D =
(h · D)k .
k!
0
Taylor formel f˚
ar d˚
a utseendet
Th = eh·D ,
Vackert va!
Det finns ocks˚
a ett annat s¨
att att skriva Taylors formel, n¨
amnligen
med s.k. multiindexnotation: En lista α = (α1 , . . . , αn ) ∈ Nn kallas ett
multiindex. Om α, β ∈ Nn s˚
a definieras summan
α + β = (α1 + β1 , . . . , αn + βn )
och graden
|α| = α1 + · · · + αn
och fakulteten
α! = (α1 !)(α2 !) · · · (αn !).
Om x = (x1 , . . . , xn ) ¨
ar en lista av variabler definieras x upph¨
ojt till α av
αn
1 α2
xα = xα
1 x2 · · · xn
FLERVARIABEL
11
dvs. ett monom av grad |α|. Om D = (D1 , . . . , Dn ) ¨
ar listan av de partiella
deriveringarna s¨
atter vi Dα = (D1α1 , . . . , Dnαn ). Med ovanst˚
aende notation
kan Taylors formel skrivas precis som i envariabelkursen
X 1 α
f (a + th) =
D f (a)hα + rest
α!
|α|<N
d¨
ar
rest =
X 1 α
D f (p)hα
α!
|α|=N
f¨
or n˚
agot p ∈ [a, a + h].
¨
Ovning
9. Visa detta!
(1)
(x1 , x2 , x3 , x4 )(1,2,0,3) = x1 x22 x34 ,
(2)
(1, 2, 0, 3)! = (1!)(2!)(0!)(3!) = 1 · 2 · 1 · 6 = 12.
17. Max och min
Definition 17.1. En punkt a kallas kritisk till f : Rn → R om f 0 (a) = 0.
Vi har omedelbart f¨
oljande enkla sats.
Sats 17.2. Om f har ett lokalt min eller max i a s˚
a¨
ar a kritisk.
Bevis. S¨
att f¨
or en enhetsvektor e i Rn g(t) = f (a+te). D˚
a har g lokalt max
eller min i 0 s˚
a g 0 (0) = f 0 (a)e = 0. Men e var godtycklig s˚
a f 0 (a) = 0. L˚
at nu f : Rn → R vara tv˚
a g˚
anger deriverbar. Enligt Taylors har vi
d˚
a
f (a + h) = f (a) + f 0 (a)h +
1
(h · D)2 f (p)
2
f¨
or n˚
agot p mellan a och a + h. Men
X
(h · D)2 f (x) = (
hi hj Di Dj )f (x)
i,j
=
X
hi (Di Dj f (x))hj = hT f 00 (x)h
i,j
d¨
ar f 00 (x) betecknar den s.k. Hessianen
2
D1 D1 f (x) . . .
6
..
00
f (x) = 4
.
Dn D1 f (x) . . .
3
D1 Dn f (x)
7
..
5.
.
Dn Dn f (x)
Allts˚
a har vi
f (a + h) = f (a) + f 0 (a)(h) +
1 T 00
h f (p)h.
2
12
LARS SVENSSON OCH ERIC NORDENSTAM
Anm¨
arkning. Om D = (D1 . . . Dn ) s˚
a kan vi symboliskt skriva
2 3
D1
˜
6 . 7ˆ
00
T
f = D Df = 4 .. 5 D1 . . . Dn f.
Dn
18. Karakterisering av kritiska punkter
L˚
at a vara kritisk till f : Rn → R. D˚
a har vi att
1 T 00
f (a + h) = f (a) + h f (p)h, p ∈ (a, a + h).
2
Vi har omedelbart f¨
oljande.
Sats 18.1. Om f 00 ¨
ar positivt definit i en omgivning av a s˚
a har f ett
lokalt minimum i a. Om f 00 (p) ¨
ar negativt definit i en omgivning av a s˚
a
har f ett lokalt maximum i a.
ar kontinuerlig i a och om f 00 (a) ¨
ar pos. def. resp
Anm¨
arkning. Om f 00 ¨
neg. def. i a s˚
a¨
ar ¨
aven f 00 (p) pos. def. resp neg. def. i en omgivning av a
p˚
a grund av kontinuiteten.
Vi har ocks˚
a
Sats 18.2. Om f 00 ¨
ar kontinuerlig i a och om det f 00 (a) 6= 0 samt att
00
f (a) har b˚
ade strikt positiva och negativa egenv¨
arden, dvs. ¨
ar indefinit,
s˚
a har f en sadelpunkt i a (dvs. varken lokalt max eller min).
¨
Bevis. Ovning.
Anv¨
and att egenv¨
ardena till en matris varierar kontinuerligt med matrisens element.
Anm¨
arkning. I det fall att det A = 0 kr¨
aver en helt annan analys f¨
or
best¨
amning av vilken karakt¨
ar en kritisk punkt har (A = f 00 ). Detta problem ¨
ar mycket sv˚
art och leder in i singularitetsteori och s.k. katastrofteori.
Om man ska avg¨
ora om en symmetrisk n × n-matris A ¨
ar pos. def, neg.
def eller indefinit s˚
a har man stor nytta av f¨
oljande resultat, som vi visade
i linj¨
ar algebra kursen.
19. Positivt och negativt definita matriser
Sats 19.1. Om A ¨
ar en reell symmetrisk n × n-matris och om Dk definieras som determinanten av matrisen [aij ]1≤i,j≤k s˚
a g¨
aller att A ¨
ar positivt
definit precis om Dk > 0 ∀k = 1, 2, . . . , n.
Bevis. Vi p˚
aminner om att en matris ¨
ar positivt definit precis om hT Ah >
n
0 f¨
or alla nollskilda vektorer h i R . Detta ¨
ar ocks˚
a ekvivalent med att alla
egenv¨
arden till A a
orst att A a
¨r strikt positiva. Antag f¨
¨r pos. def. Betrakta
underrummet Ek = linspan{e1 , . . . , ek }. Om 0 6= h = h1 e1 + · · · + hk ek ∈
P
Ek s˚
a har vi hT Ah = ki,j=1 hi aij hj > 0. Detta betyder att den matris vi
FLERVARIABEL
13
f˚
ar om vi stryker alla rader och kolonner i A utom de k f¨
orsta ¨
ar pos. def.
Men d˚
a¨
ar alla egenv¨
arden hos denna positiv och d¨
armed dess determinant.
Antag nu omv¨
ant Dk > 0 f¨
or alla k ≤ n. Vi anv¨
ander nu induktion ¨
over
n och antar att satsen ¨
ar visad f¨
or matriser av mindre format ¨
an n × n
(trivialt f¨
or 1 × 1). D˚
a¨
ar allts˚
a A positivt definit p˚
a En−1 . Om A inte ¨
ar
positivt definit s˚
a m˚
aste minst tv˚
a egenv¨
arden till A vara negativa (eller
ett med algebraisk multiplicitet minst 2). L˚
at L vara ett tv˚
adimensionellt
underrum i Rn som sp¨
anns av motsvarande egenvektorer. Eftersom dim L+
dim En−1 > n s˚
a existerar en nollskild h ∈ L ∩ En−1 Men d˚
a har vi en
mots¨
agelse eftersom h ∈ L → hT Ah < 0 och h ∈ En−1 → hT Ah > 0. Om D1 < 0, D2 > 0, D3 < 0, . . . s˚
a¨
ar A negativt definit (ty d˚
a¨
ar ju
−A positivt definit). I ¨
ovriga fall, d˚
a Dn = det A 6= 0 ¨
ar A indefinit.
20. Extremv¨
ardesproblem med bivilkor
L˚
at f , g1 , . . . , gk vara kontinuerligt deriverbara funktioner fr˚
an Rn
till R och anta att k < n. Problem: maximera eller minimera f (x) d˚
a
g1 (x) = · · · = gk (x) = 0. Vi har nu f¨
oljande anv¨
andbara sats.
Sats 20.1. Om a ∈ Rn ¨
ar ett max eller min till f under bivillkoren
g1 = · · · = gk = 0 s˚
a m˚
aste f 0 (a), g10 (a), . . . , gk0 (a) vara linj¨
art beroende.
Bevis. Antag motsatsen, dvs. att de ¨
ar linj¨
art oberoende och definiera en
hj¨
alpfunktion H : Rn → R × Rk genom
2
3
f (x)
6g1 (x)7
6
7
Rn 3 x 7→ H(x) = 6 . 7 ∈ R × Rk .
4 .. 5
gk (x)
Betrakta figuren.
R ∼ f (x)
(
b
a
)
Rn
H
/
e
0
Rk ∼ g1 (x) . . . gk (x)
Om f 0 (a), g10 (a), . . . , gk0 (a) a
art oberoende s˚
aa
¨r linj¨
¨r H 0 (a) surjektiv. Enligt
inversa funktionssatsen
har d˚
a H en lokal h¨
ogerinvers, G s¨
ag,3i n¨
arheten av
2 3
2
e
0
e
0
H(a). Om 4 .. 5 tillh¨
or denna “n¨
arhet” s˚
a uppfyller b = G(4 .. 5) bivillkoren
.
.
0
0
g1 (b) = · · · = gk (b) = 0 och f (b) = e. Genom att v¨
alja e > f (a) respektive
e < f (a) ser vi att a varken ¨
ar max- eller minpunkt.
14
LARS SVENSSON OCH ERIC NORDENSTAM
21. Frenets formler
x
L˚
at R 3 t 7→ x(t) ∈ Rn vara en n g˚
anger deriverbar kurva och l˚
at
e1 (t), . . . , en (t) vara den ortonormala bas f¨
or Rn som ges av Gram-Schmidts
ortogonaliseringsf¨
orfarande till¨
ampad p˚
a x(t),
˙
x
¨(t), . . . . Vi antar h¨
arvid att
x(t),
˙
x
¨(t), . . . , x(n) (t) ¨
ar linj¨
art oberoende (det s.k. generiska fallet). Per
konstruktion har vi att f¨
or 1 ≤ k ≤ n,
linspan{x0 (t), . . . , x(k) (t)} = linspan{e1 (t), . . . , ek (t)}.
Vidare f¨
orjer av konstruktionen att
e01 (t) = λ11 (t)e1 (t) + λ12 (t)e2 (t)
e02 (t) = λ21 (t)e1 (t) + λ22 (t)e2 (t) + λ23 (t)e3 (t)
(3)
..
.
e0k−1 (t) = λk−1,1 (t)e1 (t) + · · · + λk−1,k (t)ek (t)
..
.
e0n (t) = λn1 (t)e1 (t) + · · · + λnn (t)en (t).
Vidare f¨
oljer av ei (t) · ej (t) = δij att
ei (t) · e0j (t) + e0i (t) · ej (t) = 0
∀i, j.
Men enligt (3) har vi ¨
aven att ei (t)·e0j (t) = λji (t), d¨
ar vi definierar λji (t) =
0 om 1 + j < i. Allts˚
a har vi λij (t) = −λji (t) ∀i, j och f¨
oljdaktligen
e01 (t) = λ12 (t)e2 (t)
e02 (t) = λ21 (t)e1 (t) + λ23 (t)e3 (t)
..
.
e0k−1 (t) = λk−1,k−2 (t)ek−2 (t) + λk−1,k (t)ek (t)
..
.
e0n (t) = λn,n−1 (t)en−1 (t).
Dessa formler brukar kallas Frenet’s. Inf¨
or nu den ortogonala matrisen
E(t) = [e1 (t), . . . , en (t)]
FLERVARIABEL
med ej (t) som den j:te kolumnen,
2
0
λ12
0
6−λ12
0
λ23
6
6 0
−λ23
0
6
6 0
0
−λ
34
Λ=6
6 .
.
.
..
..
6 ..
6
4 0
0
0
0
0
0
15
och den antisymmetriska bandmatrisen
3
0
...
0
0
7
0
...
0
0
7
7
λ34 . . .
0
0
7
7
0
...
0
0
7.
7
..
..
..
..
7
.
.
.
.
7
0
...
0
λn−1,n 5
0
...
−λn−1,n
0
Matrisen ¨
ar bara nollskilld p˚
a sub och superdiagonalen.
¨
Ovning
10. Uttryck Frenets formel som en relation mellan matriserna
E(t), E(t)0 och Λ(t).
Anm¨
arkning. F¨
or fallet n = 3 brukar λ12
torsion. Λ f˚
ar d˚
a formen
2
0
κ
4−κ
0
0
−τ
.
= κ kallas kr¨
okning och λ23 = τ
3
0
τ5
0
F¨
or praktiskt bruk kan det vara enklare att anv¨
anda formlerna f¨
or κ
och τ som st˚
ar i kursboken.
22. H¨
ogre ordningens derivator
L˚
at f : V → W0 vara en o¨
andligt deriverbara funktion mellan ¨
andligtdimensionella
normerade rum. L˚
at vidare L(V, W ) beteckna m¨
angden av linj¨
ara avbildningar fr˚
an V till W . Vi inf¨
or ocks˚
a beteckningen Ln (V, W ) f¨
or m¨
angden
av multilinj¨
ara avbildninngar fr˚
an V n = V × V × · · · × V till W .
Vi har nu
f (0) = f : V → W0
f (1) = f 0 : V → L(V, W0 ) = W1
f (1) = f 00 : V → L(V, W1 ) = W2
..
.
f (n) = f (n−1)0 : V → L(V, Wn−1 ) = Wn
..
.
Vi ska nu konstruera en kanonisk avbildning fr˚
an Wn till Ln (V, W0 )
och sedan ska vi visa att bilden av denna endast inneh˚
aller symmetriska
multilinj¨
ara avbildningar. Uppenbarligen ¨
ar W1 = L1 (V, W0 ) = L(V, W0 ).
∼
Antag vi har konstruerat en avbildning Wn−1 → Ln−1 (V, W0 ) betecknad
∼
T 7→ T˜. Vi ska nu definiera Wn → L(V, W0 ) s˚
a tag T ∈ Wn = L(V, Wn−1 )
16
LARS SVENSSON OCH ERIC NORDENSTAM
och (h1 , h2 , . . . , hn ) ∈ V n . Definiera nu T˜ genom T˜(h1 , h2 , . . . , hn ) =
T^
(hn )(h1 , h2 , . . . , hn−1 ).
¨
Ovning
11. Verifiera att T˜ a
ar. Vi definierar nu Dn f genom
¨r multilinj¨
(n) (x))
(Dn f )(x) = (f^
och f˚
ar allts˚
a att Dn f : V → Ln (V, W0 ).
¨
Ovning
12. Visa att Taylorpolynomet av f i punkten a kan skrivas
1
f (a + h) = f (a) + Df (a)(h) + D2 f (a)(h, h) + . . .
2!
Vi ska nu visa att Dn f (a) ¨
ar en symmetrisk multilinj¨
ar avbildning. En
multilinj¨
ar T : V n → W kallas symmetrisk om f¨
or varje permutation π:
T (h1 , h2 , . . . , hn ) = T (hπ(1) , hπ(2) , . . . , hπ(n) )
g¨
aller f¨
or alla (h1 , . . . , hn ) i V n .
Vi b¨
orjar med ett lemma.
Lemma 22.1. Om f : R2 → R ¨
ar s˚
adan att alla partiella derivatorna ∂1 f ,
∂2 f , ∂1 ∂2 f och ∂2 ∂1 f existerar i en omgivning av (a, b) och d¨
ar ∂1 ∂2 f eller
∂2 ∂1 f ¨
ar kontinuerlig i (a, b) s˚
a ∂1 ∂2 f (a, b) = ∂2 ∂1 f (a, b).
Bevis. Fixera h och k och definiera
g(y) = f (a + h, y) − f (a, y),
F (h, k) = g(b + k) − g(b)
= f (a + h, b + k) − f (a, b + k) − f (a + h, b) + f (a, b).
Av medelv¨
ardessatsen f¨
oljer d˚
a att
F (h, k) = g 0 (b + tk)k = (∂2 f (a + h, b + tk) − ∂2 f (a, b + tk))k
f¨
or n˚
agot 0 < t < 1. Medelv¨
ardessatsen ger vidare
F (h, k) = ∂1 ∂2 f (a + sh, b + tk)kh
f¨
or n˚
agot 0 < s < 1. F¨
or hk 6= 0 har vi allts˚
a
f (a + h, b + k) − f (a, b + k) − f (a + h, b) + f (a, b)
= ∂1 ∂2 f (a+sh, b+tk).
hk
L˚
at nu f¨
or fixt k 6= 0 h → 0. Vi f˚
ar d˚
a
∂1 f (a, b + k) − ∂1 f (a, b)
F (h, k)
= lim
.
h→0
k
hk
L˚
at nu k → 0 och vi f˚
ar
F (h, k)
∂2 ∂1 f (a, b) = lim lim
k→0 h→0
hk
p˚
a samma s¨
att f˚
as
F (h, k)
∂1 ∂2 f (a, b) = lim lim
.
h→0 k→0
hk
FLERVARIABEL
17
Men
F (h, k)
= ∂1 ∂2 f (a + sh, b + tk) → ∂1 ∂2 f (a, b) om (h, k) → (0, 0)
hk
eftersom ∂1 ∂2 f ¨
ar kontinuerlig i (a, b). S˚
aledes har vi visat att de b¨
agge
upprepade gr¨
ansv¨
ardena sammanfaller, dvs. att
∂1 ∂2 f (a, b) = ∂2 ∂1 f (a, b)
som visar lemmat.
Sats 22.2. Om f : V → W ¨
ar tv˚
a g˚
anger kontinuerligt deriverbar i en
omgivning av a ∈ V s˚
a¨
ar D2 f (a) en symmetrisk bilinj¨
ar avbildning fr˚
an
V × V till W .
Bevis. Det r¨
acker att visa att
(f 00 (a)(h))(k) = (f 00 (a)(k))(h) ∀h, k ∈ V.
Fixera h, k ∈ V och en linj¨
ar avbildning α : W → R. Definiera g :
R × R → R genom g(x, y) = α ◦ f (a + xh + yk). D˚
a a
a g˚
anger
¨r g tv˚
kontinuerligt deriverbar i n¨
arheten av (0, 0) och
∂1 g(x, y) = α(f 0 (a + xh + yk)h)
∂1 g(0, y) = α(f 0 (a + yk)h) =
⇒
= α(f 0 (a)h + f 00 (a)(yk)(h) + o(yk)h)
∂2 ∂1 g(0, 0) = α(f 00 (a)(k)(h))
⇒
P˚
a samma s¨
att f˚
as
∂1 ∂1 g(0, 0) = α(f 00 (a)(k)(h))
Men ∂1 ∂2 g(0, 0) = ∂2 ∂1 g(0, 0) ger d˚
a att
α(f 00 (a)(h)(k) − f 00 (a)(k)(h)) = 0 ∀α
f 00 (a)(h)(k) = f 00 (a)(k)(h) ∀h, k ∈ V
⇒
23. Variabelsubstitution i multipelintegraler
¯ och E
¯ ¨
L˚
at D och E vara ¨
oppna delm¨
angder i Rn s˚
adana att D
ar
kompakta.
¯ →E
¯ a
Antag att ϕ : D
adan att
¨r en kontinuerlig deriverbar bijektion s˚
¯ Antag vidare att f : E
¯ → R ¨
det ϕ0 > 0 ´i D.
a
r
s˚
adan
att
Riemannin´
tegralerna E f och D f ◦ ϕ det ϕ0 existerar. (Det skulle duga om f vore
kontinuerlig.)
D˚
a g¨
aller f¨
oljande
Sats 23.1.
ˆ
ˆ
f ◦ ϕ det ϕ0
f=
ϕ(D)
D
18
LARS SVENSSON OCH ERIC NORDENSTAM
Id´en med v˚
art bevis ¨
ar att f¨
orst visa satsen f¨
or avbildningar ϕ som bara
andrar en av variablerna: Vi inf¨
or
¨
Definition 23.2. En avbildning ϕ : Rn → Rn kallas enkel om
ϕ(x1 , x2 , . . . , xn ) = (y1 , y2 , . . . , yn )
d¨
ar y1 = ψ(x1 , x2 , . . . , xn ) och yk = xk om 1 < k ≤ n. (Eller om detta
uppn˚
as efter en omnumrering av variablerna.)
Vi noterar att
det ϕ0 = ∂1 ψ.
Lemma 23.3. Om ϕ ¨
ar enkel s˚
a g¨
aller sats 23.1.
Bevis. L˚
at oss f¨
orst f¨
or en delm¨
angd A ⊂ Rn definiera
A˜ = {˜
x ∈ Rn−1 : (x1 , x
˜) ∈ A f¨
or n˚
agot x1 ∈ R}
A(˜
x) = {x1 ∈ R : (x1 , x
˜) ∈ A}
R 3 x1
A
A(˜
x)
Rn−1 3 x
˜
x
˜
ˆ
ˆ
f=
E
f (y1 , y˜) dy1 d˜
y=
y∈E
ˆ
=
f (y1 , y2 , . . . , yn ) dy1 dy2 . . . dyn =
ˆ
“ˆ
”
= {Fubini} =
f (y1 , y˜) dy1 d˜
y=
y∈E
ˆ
“ˆ
=
˜
x
˜∈E
˜
y
˜∈E
y1 ∈E(˜
y)
”
f (y1 , x
˜) dy1 d˜
x
y1 ∈E(˜
x)
I den inre integralen, f¨
or fixt x
˜, g¨
or vi substitutionen y1 = ψ(x1 , x
˜) varvid
dy1 = ∂1 ψ(x1 , x
˜)dx1 och y1 ∈ E(˜
x) ⇔ (y1 , x
˜) ∈ E ⇔ (ψ(x1 , x
˜), x
˜) ∈ E ⇔
ϕ(x1 , x
˜) ∈ E ⇔ (x1 , x
˜) ∈ D ⇔ x1 ∈ D(˜
x). Allts˚
a f˚
ar vi
ˆ
ˆ
“ˆ
”
f=
f (ψ(x1 , x
˜), x
˜)∂1 ψ(x1 , x
˜)dx1 d˜
x
˜
x
˜∈D
E
ˆ
x1 ∈D(˜
x)
ˆ
f ◦ ϕ det ϕ0 .
(f ◦ ϕ)∂1 ψ =
=
D
D
FLERVARIABEL
19
Vi visar nu att om sats 23.1 g¨
aller f¨
or ϕ1 och ϕ2 s˚
a g¨
aller den f¨
or ϕ1 ◦ϕ2
ϕ
ϕ
som
i
satsen.
ty l˚
at D →2 D1´ →1 E vara bijektioner
´
´
´
Antag att ϕ1 (D1 ) f1 = D1 f1 ◦ ϕ1 det ϕ01 och att ϕ2 (D) f2 = D f2 ◦
ϕ2 det ϕ02 f¨
or godtyckliga f1 : E → R och f2 : D1 → R. D˚
a har vi om
ϕ = ϕ1 ◦ ϕ2 och f : E → R att
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
0
f=
f=
f ◦ ϕ1 det ϕ1 =
f ◦ ϕ1 det ϕ01 =
E
ϕ1 (D1 )
D1
ϕ2 (D)
ˆ
f ◦ ϕ1 ◦ ϕ2 ((det ϕ01 ) ◦ ϕ2 ) det ϕ02 .
D
Men av kedjeregeln har vi
ϕ0 (x) = (ϕ1 ◦ ϕ2 )0 (x) = (ϕ01 ◦ ϕ2 (x)) ◦ ϕ02 (x)
dvs.
det ϕ0 (x) = det(ϕ01 ◦ ϕ2 (x)) det ◦ϕ02 (x).
S˚
aledes har vi visat att
ˆ
ˆ
f=
f ◦ ϕ det ϕ0 .
ϕ(D)
D
Det som ˚
aterst˚
ar att visa ¨
ar att varje avbildning ϕ : Rn → Rn kan
skrivas som en sammans¨
attning av h¨
ogst n stycken enkla avbildningar.
Detta visas med hj¨
alp av implicita funktionssatsen. Det blir naturligtvis
ett lokalt resultat och eventuellt m˚
aste vi omnumrera koordinaterna vilket
naturligtvis inte spelar n˚
agot roll eftersom satsen ¨
ar trivial f¨
or permutationer.
Vi beh¨
over
Lemma 23.4. L˚
at ϕ = (ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn ) vara en kontinuerligt deriverbar
funktion fr˚
an en ¨
oppen omgivning av a ∈ Rn till Rn s˚
adan att ∂1 ϕ1 (a) 6= 0.
D˚
a kan ϕ faktoriseras enligt ϕ = α ◦ β d¨
ar vi f¨
or x n¨
ara a har
β
α
(x1 , x2 , . . . , xn ) 7→ (y1 , x2 , . . . , xn ) 7→ (y1 , y2 , . . . , yn )
d¨
ar yi = ϕi (x).
Bevis. Det r¨
acker att visa att (y2 , . . . , yn ) kan l¨
osas ut som en kontinuerligt
deriverbar funktion av (y1 , x2 , . . . , xn ) i n¨
arheten av v˚
ar punkt. Betrakta
d¨
arf¨
or avbildningen
((y1 , x2 , . . . , xn ), (x1 , y2 , . . . , yn )) 7→ (ϕ1 (x) − y1 , . . . , ϕn (x) − yn )
fr˚
an Rn × Rn med v¨
arden i Rn . D˚
a har vi att
2
∂1 ϕ1 (x)
6 ∂1 ϕ2 (x)
6
∂(ϕ1 (x) − y1 , . . . , ϕn (x) − yn )
6
= 6 ∂1 ϕ3 (x)
6
∂(x1 , y2 , . . . , yn )
..
4
.
∂1 ϕn (x)
0
−1
0
0
0
−1
...
...
...
0
0
0
−1
0
...
−1
3
7
7
7
7
7
5
20
LARS SVENSSON OCH ERIC NORDENSTAM
ar invertibel i v˚
ar aktuella punkt eftersom dess determinant, som ¨
ar (−1)n−1 ∂1 ϕ1 (a),
¨
ar nollskilld. Implicita funktionssatsen fullbordar beviset.
¨
Genom ett kompakthetsresonemang, som l¨
amnas som ¨
ovning, kan man
visa att v˚
arat D kan delas upp i ett ¨
andligt antal mindre omr˚
aden D1 , D2 , . . . , DN
s˚
adana att ∪Dj = D och Di ∩ Dj saknar inre punkter om i 6= j och s˚
adana
att ϕ p˚
a varje Dj kan skrivas som en sammans¨
attning av enkla avbildningar s˚
aledes har vi
ˆ
ˆ
f=
f ◦ ϕ det ϕ0 ∀j
ϕ(Dj )
som ger
ˆ
f=
Xˆ
ϕ(D)
Dj
Xˆ
f=
ϕ(Dj )
ˆ
f ◦ ϕ det ϕ0 =
Dj
f ◦ ϕ det ϕ0
∀j.
D
Detta visar satsen.
24. Volymer av parallellepipeder
Om A ¨
ar en n × m-matris med kolonner a1 , a2 , . . . , am i Rn och m ≤ n,
s˚
a sp¨
anner dessa upp en parallellepiped som vi betecknar
X
Ep(a1 , . . . , am ) = {
ti ai : 0 ≤ ti ≤ 1}.
Vi vill nu definiera dess m-dimensionella volym.
Till detta v¨
aljer vi enhetsvektorer bm+1 , . . . , bn som ¨
ar parvis ortogonala
och som dessutom ¨
ar ortogonala mot alla ai :na. Bilda ocks˚
a n × (n − m)matrisen B med kolonnerna bm+1 , . . . , bn . Vi har d˚
a att, om C = [A, B]
ar den n × n-matris vi f˚
ar en kolonnerna a1 , a2 , . . . , am , bm+1 , . . . , bn ,
¨
(det C)2 = det C T det C = det(C T C).
Men
CT C =
–
AT ˆ
A
BT
»
» T
˜
A A
B =
0
0
I
–
s˚
a (det C)2 = det(AT A) ¨
ar s˚
aledes oberoende av valet av b:na. Vi definierar
den m-dimensionella volymen av Ep(a1 , . . . , am ) genom
Volm Ep(a1 , . . . , am ) = (det AT A)1/2 .
25. Ytor och deras areor
m
σ
L˚
at R ⊃ D → S ⊂ Rn vara en kontinuerligt deriverbar och bijektiv
avbildning s˚
adan att σ 0 ¨
ar injektiv i hela D, d¨
ar m ≤ n:
FLERVARIABEL
21
en
em
D
σ(t)
σ
t
−→
e1
em
S
e1
Vi definierar den m-dimensionella volymen av S eller arean eller m˚
attet
kort och gott genom
ˆ
ˆ
(4)
dS =
(det σ 0T σ 0 )1/2 .
S
D
¨
Ovning
13. Visa att integralen i (4) bara beror av S, dvs. antag att om
˜ →D ¨
σ
˜ = σ ◦ α d¨
ar α : D
ar kont deriverbar s˚
a¨
ar
ˆ
ˆ
dS =
(det σ
˜ 0T σ
˜ 0 )1/2 .
S
˜
D
Anm¨
arkning. Vi skriver lite formellt att det oriktade aream˚
attet ges av
dS = (det σ 0 (t)T σ 0 (t))1/2 dt1 . . . dtm
i parametriseringen
D 3 (t1 , . . . , tm ) 7→ σ(t1 , . . . , tm ) ∈ S.
26. Fl¨
odesintegralen
σ
L˚
at Rn−1 ⊃ D → S ⊂ Rn vara en parametrisering av hyperytan S och
ˆ : S → S n−1 = {x ∈ Rn : |x| = 1} ¨
antag N
ar normal till S. Detta betyder
ˆ (σ(u)) ¨
att N
ar ortogonal mot Im σ 0 (u) f¨
or alla u i D.
Definition 26.1 (Orientering). Vi s¨
ager att σ ¨
ar en positiv parametriseˆ om det[σ 0 , N
ˆ ◦ σ] > 0 i hela D.
ring till ytan S med normal N
L˚
at oss f¨
orest¨
alla oss en inkompressibel v¨
atska som str¨
ommar i R3 och
som vi tiden t och punkten x har hastigheten F (x, t) och att densiteten
ar konstant lika med ett ¨
overallt. Hur mycket v¨
atska str¨
ommar d˚
a genom
¨
en t¨
ankt yta S per tidsenhet om vi r¨
aknar v¨
atskan som str¨
ommar med
positiv inre produkt med normalen som positivt fl¨
ode.
Vi resonerar nu f¨
orst en smula heuristiskt. Betrakta en infinitesimal
parallellepiped
u + Ep[e1 du1 , . . . , en−1 dun−1 ]
i D. Denna avbildas, via σ, p˚
a epipeden
σ(u) + Ep[σ 0 (u)e1 du1 , . . . , σ 0 (u)en−1 dun−1 ].
22
LARS SVENSSON OCH ERIC NORDENSTAM
Denna senare, som ¨
ar en liten epiped p˚
a ytan S, flyttas av fl¨
odet under
den infinitesimala tiden dt, vektorn F (σ(u), t)dt. Men d˚
a blir fl¨
odet genom
denna epiped under tiden dt lika med determinanten
det[σ 0 (u)e1 du1 , . . . , σ 0 (u)en−1 dun−1 , F (σ(u), t)dt].
S˚
aledes verkar det inte helt orimligt att definiera fl¨
odet ut genom S
ˆ per tidsenhet genom
med normal N
ˆ
det[σ 0 , F (σ(u), t)]du1 . . . dun−1
D
och fl¨
odet som passerar ytan S mellan tidpunkterna a och b blir
«
ˆ b „ˆ
det[σ 0 , F (σ(u), t)]du1 . . . dun dt.
a
D
Vi ska h¨
or inte syssla med fl¨
oden som beror av tiden, utan bara med
station¨
ara fl¨
oden, d˚
aF ¨
ar oberoende av t. Vi definierar d˚
a fl¨
odet av vekˆ genom
torf¨
altet F : Rn → Rn ut genom hyperytan S med normal N
ˆ
det[σ 0 , F ◦ σ]
D
om σ ¨
ar positiv parametrising.
Vi ska nu visa att denna integral ¨
ar oberoende av val av positiv paraα
σ
˜ →
D → S d¨
ar vi antar det α0 > 0
metrisering. L˚
at n¨
amnligen Rn−1 ⊃ D
och s¨
att σ
˜ = σ ◦ α. Vi har d˚
a
ˆ
ˆ
det[σ 0 , F ◦ σ] =
˜
α(D)
det[σ 0 ◦ α, F ◦ σ ◦ α] det α0 =
˜
D
ˆ
det[σ 0 ◦ α, F ◦ σ
˜ ] det
=
˜
ˆD
»
α0
0
–
0
=
1
det[(σ 0 ◦ α)α0 , F ◦ σ
˜] =
=
˜
D
ˆ
det[˜
σ0 , F ◦ σ
˜]
=
˜
D
d¨
ar
ˆ
α0 0
0 1
˜
betecknar en n × n-matrisv¨
ard funktion p˚
a D.
27. Gauß sats
n
n
L˚
at F : R → R vara ett vektorf¨
alt och Ω en kropp i Rn med en
ˆ . Definiera ϕt (x) = x + tF (x). Enligt
randyta S med ut˚
atg˚
aende normal N
variabelsubstitutionsformeln har vi d˚
a att
ˆ
ˆ
1=
det(id +tF 0 ) = Vol ϕt (Ω).
ϕt (Ω)
Ω
FLERVARIABEL
23
Detta g¨
aller ˚
atminstonde f¨
or t litet eftersom det(id +tF 0 ) → 1 om t → 0.
L˚
at λ1 , . . . , λn vara egenv¨
ardena till F 0 . D˚
a har id +tF 0 egenv¨
ardena
1 + tλ1 , . . . , 1 + tλn , varf¨
or
det(id +tF 0 ) = (1 + tλ1 ) . . . (1 + tλn )
= 1 + t(λ1 + · · · + λn ) + O(t2 ) = 1 + t sp F 0 + O(t2 ).
´
d
Vol ϕt (Ω) = Ω sp F 0 .
Allts˚
a har vi f¨
or t = 0 att dt
Definition 27.1. Divergensen av vektorf¨
altet div F ¨
ar sp˚
aret av F 0 .
div F = sp F 0
´
d
¨
Ovning
14. Visa att dt
|t=0 Vol ϕt (D) = D det[σ 0 , F ◦ σ] dvs. fl¨
odet av
vektorf¨
altet F ut ur S.
Vi har s˚
aledes
Sats 27.2 (Gauß). Fl¨
odet av ett vektorf¨
alt F¯ ut ur en yta S som omsluter
en kropp Ω i Rn ¨
ar lika med integralen av divergensen av F ¨
over Ω.
ˆ
ˆ
det[σ 0 , F ◦ σ] =
div F
D
Ω
σ
ˆ ◦ σ] > 0, d¨
ˆ ¨
om Rn−1 ⊃ D → S och om det[σ 0 , N
ar N
ar den ut˚
atg˚
aende
normalen till ytan S.
¨
Ovning
15. Visa genom att till¨
ampa Gauß sats f¨
or n = 2 p˚
a vektorf¨
altet
»
–
Q
F¯ =
−P
den s.k. Greens formel
ˆ
¨
P dx + Qdy =
(Qx + Py )dxdy
Γ
D
d¨
ar Γ ¨
ar en kurva i planet som ¨
or positivt orienterad och omsluter D.
27.3. Specialfallet R3 . (Fysiknotation med vektorstreck) L˚
at S vara en
tv˚
adimensionell yta i R3 som parametriseras enligt
R2 ⊃ D 3 (u, v)
r
¯
/ r¯(u, v) ∈ R3
och l˚
at F¯ : R3 → R3 vara v˚
art vektorf¨
alt givet at F¯ = (P, Q, R). D˚
a har vi
sp F¯ 0 = Px + Qy + Rz , d¨
ar koordinaterna i R3 kallas (x, y, z) som vanligt.
Vi har ocks˚
a d˚
a att
2 ∂x ∂x
3
P
∂u
∂v
∂ r¯ ∂ r¯ ¯
0
∂y
∂y
det[σ , F ◦ σ] = det[ ,
, F ◦ r¯] = det 4 ∂u ∂v Q5
∂u ∂v
∂z
∂z
R
∂u
∂v
„
«
∂ r¯
∂ r¯
=
×
· F¯ (¯
r(u, v)).
∂u
∂v
24
LARS SVENSSON OCH ERIC NORDENSTAM
∂r
¯
∂r
¯
Vi inf¨
or d˚
a ocks˚
a d¯
s = ∂u
× ∂u
dudv. Gauß sats blir d˚
a
‹
˚
ˆ
ˆ
F¯ · d¯
s=
div F¯ dV =
div F
det[σ 0 , F ◦ σ] =
S
D
d¨
ar
‹
¨
F¯ · d¯
s=
S
F¯ (¯
r(u, v)) ·
Ω
„
D
Ω
∂ r¯(u, v)
∂ r¯(u, v)
×
∂u
∂v
«
dudv.
28. Stokes sats
L˚
at F¯ = (P, Q, R) vara ett vektorf¨
alt R3 → R3 . D˚
a ¨
ar F¯ 0 − F¯ 0T en
antisymmetrisk avbildning med matrisrepressentationen
2
3 2
3 2
3
0
Py − Qx Pz − Rx
Px Py Pz
Px Qx Rx
4Qx Qy Qz 5 − 4Py Qy Ry 5 = 4Qx − Py
0
Qz − Ry 5 .
Rx Ry Rz
Rx − Pz Ry − Qz
0
Pz Qz Rz
Vi vet att kryssprodukter i R3 kan representeras med antisymmetriska
3 × 3-matriser och viceversa.
2 3 2 3 2
3 2
32 3
a
x
bz − cy
0 −c
b
x
4 b 5 × 4y 5 = 4cx − az 5 = 4 c
0 −a5 4y 5
c
z
zy − bx
−b a
0
z
S˚
aledes har vi att
3
Ry − Qz
(F¯ 0 − F¯ 0T )¯
v = 4 Pz − Rx 5 × v¯.
Q x − Py
2
Vi definierar rotationen av vektorf¨
alltet F¯ som
2 3 2
3
P
Ry − Qz
rot F¯ = rot 4Q5 = 4 Pz − Rx 5 .
R
Qx − Py
Vi f˚
ar att rot F¯ inte beror av v˚
art speciella val av ON-system, eftersom
F¯ 0 − F¯ 0T bara beror av v˚
art val av inre produkt, som beh¨
ovs f¨
or definition
av transponatet.
Sats 28.1 (Stokes). L˚
at F¯ vara ett kontinuerligt deriverbart vektorf¨
alt p˚
a
R3 och l˚
at S vara en orienterade sl¨
at yta med randkurva Γ och normaltf¨
alt
¯ riktade p˚
N
a vanligt s¨
att (figur). D˚
a g¨
aller
¯
N
¨
˛
rot F¯ · d¯
s=
S
F¯ · d¯
r.
S
Γ
Γ
FLERVARIABEL
25
Bevis. Enligt definitionen p˚
a integralen r¨
acker det att visa satsen d˚
a S
best˚
ar av ett a
¨ndligt antal plana trianglar.
Kalla trianglarna S1 , S2 , . . . , Sm och deras respektive randkurvor Γ1 , Γ2 ,
. . . , Γm . Eftersom
¨
X¨
rot F¯ · d¯
s=
rot F¯ · d¯
s
S
och
Si
i
˛
F¯ · d¯
r=
Γ
Xˆ
i
F¯ · r¯.
Γi
S˚
a det r¨
acker att visa satsen f¨
or en triangel som vi kallar S. D˚
a vidare
rot F¯ ¨
ar oberoende av koordinatsystem, s˚
a l¨
ange det ¨
ar ON, kan vi utan
inskr¨
ankning anta att S ligger
h xiixy-planet.
L˚
at nu D = {[ xy ] ∈ R2 : y ∈ S} och kalla den positivt orienterade
0
randen till D f¨
or C. D˚
a parametriseras S enligt
2 3
» –
x
x
D3
7→ 4y 5 ∈ S
y
0
och vi har
2 3
0
d¯
s = 405 dxdy
1
varf¨
or
rot F¯ · d¯
s = (Qx (x, y, 0) − Py (x, y, 0))dxdy.
Greens formel i planet ger d˚
a
¨
¨
rot F¯ · d¯
s=
(Qx (x, y, 0) − Py (x, y, 0))dxdy =
S
ˆD
=
P (x, y, 0)dx + Q(x, y, 0)dy =
ˆC
˛
=
P dx + Qdy + Rdz =
F¯ · d¯
r
Γ
som visar satsen.
E-mail address: [email protected]
Γ