Transcript Matematiken bakom Per Nørgårds oändlighetsserie

Matematiken i
Per Nørgårds oändlighetsserie
Matematikbiennalen 2014
Hans Thunberg
[email protected]
Per Nørgård
– Dansk tonsättare , född 1932
– En av de ledande i Norden i sin generation
• Nordiska rådets musikpris 1974
• Sibeliuspriset 2006
• Stockholms Konserthus tonsättarfestival 2012
Oändlighetsserien
en metod att generera melodier
- med överflöd på symmetrier och
fraktal struktur
- med i princip oändlig utsträckning
utan exakt upprepning
Konstruktion av en oändlighetsserie
- Välj ett tonförråd (”skala”)
t ex stamtonerna (”de vita tangenterna”)
- Välj två inledande toner
Nørgårds algoritm gör resten …..
Nørgårds algoritm
+1
-2
+1
-1
-2
+2
Nørgårds algoritm, forts.
+3
+3
-3
-1
-1
Differens efter n steg subtraheras resp. adderas efter 2n steg
+1
+ 13
+ 13
- 13
Enkel formel – Rika egenskaper
• Nya lägsta och högsta toner efter 2𝑛 steg
• Innehåller oändligt många transponerade
kopior av sig själv i långsammare tempo
• Innehåller oändligt många spegelvända (”uppoch-nervända”) transponerade kopior av sig
själv
• Har fraktal struktur
Nya lägsta och
högsta toner
efter 2𝑛 steg:
Var fjärde ton ger
tillbaks den
ursprungliga
melodin
Var annan ton med start från andra tonen ger melodin transponerad
+1 -2
-1
+3 -1 -1
+2
-3
-2 +5
+1
+1
+2
-5
Var annan ton ger melodin spegelvänd (”upp-och-ner”)
Var 8:e ton med start från den sjunde ger en transponerad spegelbild
Var 8:e ton med start från den åttonde ger ett transponat
osv
Klipp-och-Klistra Egenskapen
?
Modell: Nørgårdföljder 𝐴 = 𝑎0 , 𝑎1 , 𝑎2 , …
Talföljd {𝑎0 , 𝑎1, 𝑎2 , 𝑎3 , … }
Välj två inledande toner
Välj begynnelsevärden 𝑎0 och 𝑎1
𝑎𝑘 för 𝑘 ≥ 2 ges av
Differens efter n steg subtraheras och adderas
efter 2n steg
𝑎2𝑛 = 𝑎2𝑛−2 − 𝑑𝑛
𝑎2𝑛+1 = 𝑎2𝑛−1 + 𝑑𝑛
där 𝑑𝑛 = 𝑎𝑛 − 𝑎𝑛−1
Exempel
𝑎2𝑛 = 𝑎2𝑛−2 − 𝑑𝑛
𝑎2𝑛+1 = 𝑎2𝑛−1 + 𝑑𝑛
där 𝑑𝑛 = 𝑎𝑛 − 𝑎𝑛−1
Välj t ex 𝑎0 = 1, 𝑎1 = 3
𝑑1 = 𝑎1 − 𝑎0 = 3 − 1 = 2
𝑎2 = 𝑎0 − 𝑑1 = 1 − 2 = −1
𝑎3 = 𝑎1 + 𝑑1 = 3 + 2 = 5
𝑑2 = 𝑎2 − 𝑎1 = −1 − 3 = −4
𝑎4 = 𝑎2 − 𝑑2 = −1 + 4 = 3
𝑎5 = 𝑎3 + 𝑑2 = 5 − 4 = 1
𝑑3 = 𝑎3 − 𝑎2 = 5 + 1 = 6
𝑎6 = 𝑎4 − 𝑑3 = 3 − 6 = −3
𝑎7 = 𝑎5 + 𝑑3 = 1 + 6 = 7
𝑑4 = 𝑎4 − 𝑎3 = 3 − 5 = −2
osv …
𝑎8 = 𝑎6 − 𝑑4 = −3 + 2 = −1
𝑎 9 = 𝑎 7 + 𝑑4 = 7 − 2 = 5
Om 𝐴 = 𝑎0 , 𝑎1 , 𝑎2 , … är en Nørgårdföljd gäller
Sats 1.
Succesiva min infaller på positioner 2𝑛 − 2
Succesiva max infaller på positioner 2𝑛 − 1
Dessa avtar/ökar aritmetiskt med 𝑑1
Sats 2.
Den delföljd som börjar på position 2𝑛 − 2 och består av
element på avstånd 2𝑛 är en translaterad spegelbild av 𝐴.
Den delföljd som börjar på position 2𝑛 − 1 och består av
element på avstånd 2𝑛 är ett translat av 𝐴.
Sats 3.
Om de 2𝑛 första elementen i 𝐴 har bestämts, kan ytterligare
2𝑛 element bestämmas med klipp-och-klistra algoritmen.
Modelltest
𝑎0 = 1, 𝑎1 = 3 ger
1, 3, -1, 5, 3, 1, -3, 7, -1, 5, 1, 3, 5, -1, -5, 9, 3, 1, -3, 7, 1, 3, -1, 5, -3, 7, 3, 1, 7, -3, -7, 11, …
Succesiva min och max:
1, 3, -1, 5, 3, 1, -3, 7, -1, 5, 1, 3, 5, -1, -5, 9, 3, 1, -3, 7, 1, 3, -1, 5, -3, 7, 3, 1, 7, -3, -7, 11, …
Translat och translaterade speglingar:
1,
3,
-1,
5,
3,
1,
3
-1,
3,
5,
5,
3,
-3, -1,
1,
7,
7,
-3,
Klipp-och-klistra:
1,
5,
3,
5
-5,
-1,
9,
3,
9,
-5,
1,
-3,
1,
-3,
1,
7,
-1,
3,
7,
-3,
5,
7,
5,
-1,
3,
7,
7,
1,
-7,
-3,
1,
…
11, …
…
-7,
…
1, 3, -1, 5, 3, 1, -3, 7, -1, 5, 1, 3, 5, -1, -5, 9, 3, 1, -3, 7, 1, 3, -1, 5, -3, 7 3, 1, 7, -3, -7, 11, …
Börja med specialfall (det enklaste!)
𝑁 = 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐2 , … , 𝑐0 = 0, 𝑐1 = 1
𝑑1 = 𝑐1 − 𝑐0 = 𝑐1
𝑑2 = 𝑐2 − 𝑐1 = −𝑐1 − 𝑐1 = −2𝑐1
𝑑3 = 𝑐3 − 𝑐2 = 2𝑐1 + 𝑐1 = 3𝑐1
𝑑4 = 𝑐4 − 𝑐3 = 𝑐1 − 2𝑐1 = −𝑐1
osv …
𝑐2 = 𝑐0 − 𝑑1 = −𝑐1 = −1
𝑐3 = 𝑐1 + 𝑑1 = 2𝑐1 = 2
𝑐4 = 𝑐2 − 𝑑2 = −𝑐1 + 2𝑐1 = 𝑐1 = 1
𝑐5 = 𝑐3 + 𝑑2 = 2𝑐1 − 2𝑐1 = 0
𝑐6 = 𝑐4 − 𝑑3 = 𝑐1 − 3𝑐1 = −2𝑐1 = −2
𝑐7 = 𝑐5 + 𝑑3 = 0𝑐1 + 3𝑐1 = 3𝑐1 = 3
𝑐8 = 𝑐6 − 𝑑4 = −2𝑐1 + 𝑐1 = −𝑐1 = −1
𝑐9 = 𝑐7 + 𝑑4 = 3𝑐1 − 𝑐1 = 2𝑐1 = 2
𝑁 = 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐2 , … , 𝑐0 = 0, 𝑐1 = 1
𝑛
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 12 13 14 15 16 17
𝑐𝑛
0
1
-1
2
1
0
-2
3
-1
2
0
1
2
-1
-3
4
1
0
Påstående 1: 𝑐2𝑛 = −𝑐𝑛
Påstående 2: 𝑐2𝑛+1 = 𝑐𝑛 + 1
Bevis: 𝑐2 = −1 = −𝑐1 , 𝑐3 = 2 = 𝑐1 + 1.
Om Påstående 1 är sant för 0 < 𝑘 < 𝑛 fås
𝑐2𝑛 = 𝑐2𝑛−2 − 𝑐𝑛 − 𝑐𝑛−1 = 𝑐𝑛−1 − 𝑐𝑛 + 𝑐𝑛−1 = −𝑐𝑛 .
Påstående 2 bevisa på motsvarande sätt.
En ekvivalent men enklare modell …
𝑐0 = 0, 𝑐1 = 1
𝑐2𝑛 = 𝑐2𝑛−2 − 𝑑𝑛
,
𝑐2𝑛+1 = 𝑐2𝑛−1 + 𝑑𝑛
𝑑𝑛 = 𝑐𝑛 − 𝑐𝑛−1
𝑐0 = 0, 𝑐1 = 1
𝑐2𝑛 = −𝑐𝑛
𝑐2𝑛+1 = 𝑐𝑛 + 1
𝑐0 = 0, 𝑐1 = 1,
𝑐2𝑛 = −𝑐𝑛 ,
𝑐2𝑛+1 = 𝑐𝑛 + 1
Sats 1.
Succesiva min infaller på positioner 2𝑛 − 2
Succesiva max infaller på positioner 2𝑛 − 1
Dessa avtar/ökar aritmetiskt med 𝑑1
Bevis:
Sats 3.
Om de 2𝑛 första elementen i 𝐴 har bestämts, kan
ytterligare 2𝑛 element bestämmas med klipp-ochklistra algoritmen.
Bevis
Induktion i det stora trädet …
Bevis sats 3, steg I:
Nästan alla likheter ärvs från raden ovanför
Bevis sats 3, steg II:
Bevis av likhet vid två nya positioner - trädklättring
Sats 2.
(i) Den delföljd som börjar på position 2𝑛 − 2 och består av
element på avstånd 2𝑛 är en translaterad spegelbild av 𝐴.
(ii) Den delföljd som börjar på position 2𝑛 − 1 och består av
element på avstånd 2𝑛 är ett translat av 𝐴.
Bevis: Induktivt bevis genom att använda
rekursionsformlerna.
Observera att för 𝑛 = 1 följer (i) ur 𝑐2𝑛 = −𝑐𝑛 ,
vilket också direkt ger att 𝑐4𝑛 = 𝑐𝑛
𝑛
0
1
𝑐𝑛 0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-1 2 1 0 -2 3 -1 2 0
11 12 13 14 15 16 17
1 2 -1 -3 4 1 0
Generalisera till det generella fallet
Om 𝑁 = 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐2 , … är den Nørgårdföljd som ges av
𝑐0 = 0, 𝑐1 = 1
och 𝐴 = 𝑎0 , 𝑎1 , 𝑎2 , … är en godtycklig Nørgårdföljd
gäller att
𝑎𝑛 = 𝑎0 + 𝑐𝑛 (𝑎1 − 𝑎0 ).
(följer av att rekursionsekvationerna är linjära)
Sats 1 - 3 gäller därmed för varje Nørgårdföljd.
Thue-Morse följden
Om istället
𝑎2𝑛 = 𝑎2𝑛−2 + 𝑑𝑛
𝑎2𝑛+1 = 𝑎2𝑛−1 − 𝑑𝑛
där 𝑑𝑛 = 𝑎𝑛 − 𝑎𝑛−1
fås med 𝑎0 = 0, 𝑎1 = 1 den s k Thue-Morse följden
0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 …..
A
B
0110
0110
…
0110
B
A
B
A
…
Tack för er uppmärksamhet!