Transcript Contents 1 Generaliserade integraler av obegränsade funktioner

Logaritmiska integralekvationer
och till¨
ampningar p˚
a l¨
osning av egenv¨
ardesproblem
till Helmholtzs ekvation i omr˚
aden med ¨
oppningar
Contents
1 Generaliserade integraler av obegr¨
ansade funktioner
1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Viktiga olikheter f¨or logaritmisk funktion . . . . . . . . . .
1.3 J¨amf¨orelsesatser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
1
2
2 Cauchys integraler
2.1 H¨olders villkor . . . . . . . . . . .
2.2 Definition av Cauchys integral . .
2.3 En viktig primitiv funktion . . . .
2.4 Tv˚
a satser f¨or Cauchys integraler
.
.
.
.
3
3
3
4
4
3 Logaritmiska integralekvationer
3.1 H¨older-rum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 L¨osning av logaritmiska integralekvationer . . . . . . . . .
6
6
7
4 Fullst¨
andiga logaritmiska integraloperatorer
4.1 Entydighetssats f¨or logaritmiska integralekvationer . . . . .
4.2 Karakteristiskv¨arden till logaritmiska integraloperatorer . .
8
9
9
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5 Randv¨
ardesproblem till Helmholtzs ekvation
miska integralekvationer
5.1 Greens funktion till en rektangel . . . . . . . .
5.2 Randv¨ardesproblem till Helmholtzs ekvation i
rektangler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Reducering till en logaritmisk integralekvation
1
1.1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
och logarit. . . . . . .
unionen av
. . . . . . .
. . . . . . .
10
10
12
13
Generaliserade integraler av obegr¨
ansade funktioner
Definition
Betrakta en funktion f (x) som ¨ar definierad i ett (begr¨ansat) intervall a <
x ≤ b och som ¨ar begr¨ansad och Riemannintegrerbar i varje delintervall
[a + , b], > 0. F¨or en s˚
adan funktion f ¨ar
Z b
a
f (x)dx
(1)
en generaliserad integral. Om gr¨ansev¨ardet
lim
Z b
→+0 a+
f (x)dx = A
(2)
existerar kallas den generaliserade integralen (2) konvergent. Om gr¨ansev¨ardet
inte existerar kallas den divergent (se i boken [2]).
Exempel 1. Integralen
Z 1
dx
0 xα
¨ar generaliserad (i origo) om α > 0, och
Z 1
(3)
1 1
1
1
dx
=
dx
=
(1 − 1−α ) → 0,
α
α−1
x
1−α x
1−α
→ 0 (α < 1). (4)
D˚
a (3) ¨ar konvergent om α < 1 och divergent om α ≥ 1.
1.2
Viktiga olikheter f¨
or logaritmisk funktion
Till varje givet positivt tal α finns ett A > 0 s˚
adan att
ln x < xα ,
x > A;
(5)
1
1
< α,
t
t
0 < t < δ,
(6)
allts˚
a
ln
och
ln 1t
1
<
,
tβ
tα+β
f¨or tillr¨ackligt sm˚
a δ.
1.3
0 < t < δ,
β > 0,
(7)
J¨
amf¨
orelsesatser
Sats 1. Om
0 ≤ f (x) ≤ g(x),
(8)
f¨or alla x i integrationsintervallet s˚
a g¨aller f¨oljande: (i) om den generaliserade integralen med g(x) som integrand ¨ar konvergent s˚
a ¨ar integralen
med f (x) som integrand ocks˚
a konvergent; (ii) om integralen med g(x)
¨ar divergent s˚
a ¨ar integralen med f (x) som integrand ocks˚
a divergent.
Sats 2. Om f (x) och g(x) ¨ar obegr¨ansade funktioner i en punkt a ≤ x0 ≤
b och
f (x)
f (x) ∼ g(x) (dvs x→x
lim
= const)
(9)
0 g(x)
i omgivnignen av x0 s˚
a g¨aller f¨oljande: den generaliserade integralen med
g(x) som integrand ¨ar konvergent (divergent) s˚
a ¨ar integralen med f (x)
som integrand ocks˚
a konvergent (divergent).
Observera att om integralen
¨ar ocks˚
a konvergent.
Z b
a
f (x)dx ¨ar konvergent, d˚
a c
Z b
a
f (x)dx
Exempel 2. Integralerna
Z 1
0
ln x1
√ dx,
x
Z 1
0
ln 1
√ x dx,
1−x
och
Z 1
0
q
ln x1
dx
x(1 − x)
(10)
¨ar generaliserade (i origo och i x = 1). Betrakta den f¨orsta integralen.
Enligt (7),
ln 1
1
0 ≤ √ x < α+1/2 , 0 < x < δ, β > 0.
(11)
x
x
Z 1
dx
f¨or n˚
agot positivt tal α < 1/2. Eftersom
¨ar konvergent f¨oljer
0 xα+1/2
att den ursprungliga integralen ¨ar ocks˚
a konvergenta.
L¨agg m¨arke till att integralerna
Z 1
0
ln x
√ dx,
x
Z 1
ln |x|
q
dx,
−1
|x|
och
Z 1
ln |x|
√
dx,
−1
1 − x2
(12)
¨ar ocks˚
a konvergent.
Exempel 3. Antag att x ¨ar ett tal som tillh¨or intervallet (−a, a). Integralen
Z a ln |x − s|
√
ds
(13)
−a
a2 − x2
¨ar konvergent d¨arf¨or att, till exempel,
ln |x − s|
ln |a − t − s|
1
√
√√
√ ,
=
{a
−
x
=
t}
=
∼
t 2a − t
t
a2 − x2
t → +0 (x → a, x < a)
(14)
Exempel 4. Antag att x ¨ar ett tal som tillh¨or intervallet (−a, a) och
φ(s), s ∈ [−a, a], ¨ar en kontinuerlig funktion (φ(s) ∈ C[−a, a]). D˚
a ¨ar
integralen
Z a ln |x − s|
√
φ(s)ds
(15)
−a
a2 − x2
konvergent, ¨aven om φ(s) ∼ |s ± a|β , 0 ≤ β < 1/2, i omgivnignen av
s = ±a.
2
2.1
Cauchys integraler
H¨
olders villkor
En kontinuerlig funktion φ(x) satisfierar H¨
olders villkor (H.v.) i ett intervall a < x < b om
|φ(x1 ) − φ(x2 )| < A|x1 − x2 |µ ,
x1,2 ∈ (a, b),
(16)
f¨or vissa positiva A och µ ≤ 1.
En kontinuerlig funktion av tv˚
a variabler f (x, t) satisfierar H.v. i
([a, b] × [a, b]) om
|f (y, t2 )−f (x, t1 )| ≤ A1 |y −x|λ +A2 |t2 −t1 |λ
∀x, y ∈ [a, b], t1 , t2 ∈ [a, b].
(17)
f¨or vissa positiva A1,2 och λ ≤ 1.
2.2
Definition av Cauchys integral
Antag att en kontinuerlig funktion φ(s) satisfierar H.v. i ett intervall
(−a, a) och −a < x < a. Definiera Cauchys integral, eller principiella
v¨ardet av integralen (en s¨arskild generaliserad integral av en obegr¨ansad
funktion), med f¨oljande likheter
Z x−
Z a φ(s)
φ(s)
v.p.
ds = lim
+
ds.
−a s − x
−a
x+ s − x
→+0
Z a
(18)
Den h¨ar definitionen ¨ar riktig eftersom gr¨ansev¨ardet i (18) existerar. Vi
har
φ(s)
φ(s) + φ(x) − φ(x)
1
φ(s) − φ(x)
=
= φ(x)
+
.
(19)
s−x
s−x
s−x
s−x
D˚
a
Z x−
Z a φ(s)
lim
+
ds =
−a
x+ s − x
→+0
Z x−
Z a Z x−
Z a φ(s) − φ(x)
1
φ(x) lim
+
ds + lim
+
ds =
−a
x+ s − x
−a
x+
→+0
→+0
s−x
(20)
Z a φ(s) − φ(x)
x + a
+
{t = s − x, s = x ± → t = ±} = φ(x) ln ds,
−a
x − a
s−x
och den andra inegralen i (20) ¨ar en konvergent (p˚
a grund av H.v.) generaliserad integral av en obegr¨ansad funktion (i punkten s = x).
2.3
En viktig primitiv funktion
Genom att utg˚
a fr˚
an de bekanta formlerna och partiella integrationen
kan man f˚
a primitiva funktionen
F (x, t) =
Z
dt
√
,
(t − x) a2 − t2
q
(21)
2
1
a − xt + (a2 − x2 )(a2 − t2 ) ,
√
F (x, t) =
ln s−x
a2 − x2 x ∈ (−a, a),
D˚
a
F (x, a) = F (x, −a) = √
2.4
(22)
t ∈ [−a, a].
ln a
,
a2 − x2
x ∈ (−a, a), a > 0.
(23)
Tv˚
a satser f¨
or Cauchys integraler
Sats 3. Om φ(s) ¨ar definierad i ett intervall −a ≤ s ≤ a och satisfierar
Z a φ(s)
H.v. med konstanten µ, d˚
a satisfierar Cauchys integral F (x) =
ds
−a s − x
H.v. med en viss konstant ν s˚
adan att ν ≤ µ.
Sats 4. Om
φ∗ (s)
√
φ(s) =
(24)
a2 − s2
och φ∗ (s) satisfierar H.v. med konstanten µ i ett intervall −a ≤ s ≤ a,
d˚
a Cauchys integral
Z a
F ∗ (x)
φ(s)
ds = √ 2
F (x) =
−a s − x
a − x2
d¨ar F ∗ (x) satisfierar H.v. med en viss konstant ν ≤ µ.
(25)
Exempel 5. Man kan anv¨anda (22), (23), definitionen av Cauchys integral och Sats 4 f¨or att ber¨akna integralen
Z a
ds
√
= 0,
−a (s − x) a2 − x2
x ∈ (−a, a),
(26)
med hj¨alp av ins¨attnings formeln.
Av logaritmfunktionens egenskaper f¨oljer att derivatan
d ln |x − s|
1
√
√
=
.
dx a2 − x2
(s − x) a2 − x2
D¨arf¨or
Z a
a
ln |x − s|
√
ds
=
const
=
π
ln
,
−a
2
a2 − s2
F¨or ett godtyckligt intervall (a, b),
Z b
a
(27)
x ∈ (−a, a),
(28)
x ∈ (a, b).
(29)
ln |x − s|
b−a
ds = π ln
,
4
(s − a)(b − s)
q
Konstanterna ber¨aknas med hj¨alp av residuekalkyl. S¨arskilt
Z 2
ln |x − s|
√
ds = 0,
−2
a2 − x2
x ∈ (−2, 2),
(30)
och ¨aven
Z b
a
q
ln |x − s|
ds = 0,
(s − a)(b − s)
x ∈ (a, b),
b − a = 4.
(31)
Det betyder att den homogena integralekvationen
Z b
a
ln |x − s|φ(s)ds = 0,
x ∈ (a, b),
(32)
har icke-triviala l¨osningar f¨or a och b s˚
adana att b − a = 4.
Exempel 6. L¨os den homogena integralekvationen
P (λ, a)φ ≡
Z a "
−a
#
b
φ(s)ds = 0,
C ln |x − s| +
λ − λ0
x ∈ (−a, a),
(33)
d¨ar λ0 , b och C ¨ar konstanter, dvs., best¨am par (λ, φ) som l¨oser (33). S¨att
1
φ(s) = φ0 (s) = √ 2
a − s2
och bevis genom direkt r¨akning med hj¨alp av (28) att
a
b
+π
.
2
λ − λ0
P (λ, a)φ0 = cπ ln
D˚
a har ekvationen
P (λ, a)φ0 = 0
(34)
(35)
en l¨osning
b
, a 6= 2.
(36)
ln a2
och paret (λ∗ , φ0 ) l¨oser (33) f¨or a 6= 2. Vi ser att λ∗ (a) ¨ar verkligen ett
nollst¨alle till funktionen P (λ, a)φ0 av variabeln λ [en rot av ekvationen
(35)].
λ = λ∗ (a) = λ0 +
3
Logaritmiska integralekvationer
3.1
H¨
older-rum
Beteckna med Hµ (Γ) en m¨angd av kontinuerliga funktioner som satisfierar
H.v. (16) i ett (begr¨ansad) intervall Γ = (a, b). Hµ (Γ) ¨ar Banach-rummet
med normen
kϕkHµ = kϕkC + hµ (ϕ),
d¨ar
kϕkC = sup |ϕ(t)|,
t∈Γ
och
|ϕ(t0 ) − ϕ(t00 )|
hµ (ϕ) = sup
.
|t0 − t00 |µ
t0 ,t00 ∈Γ
˜ µ (Γ), beteckna en m¨angd av funktioner s˚
L˚
at H
adana att
ϕ∗ (t)
,
ϕ(t) =
R(t)
d¨ar funktionen
ϕ∗ ∈ Hµ (Γ),
q
R(t) = (b − t)(t − a)
(37)
(38)
kallas en vikt.
˜ µ,0 (Γ) en m¨angd av funktioner φ representerade i form
Beteckna med H
˜ µ,0 (Γ) ¨ar ett slutet underrum till H
˜ µ (Γ).
(37), d¨ar ϕ∗ (a) = ϕ∗ (b) = 0. H
˜ 1 (Γ) betecknar en m¨angd av funktioner vars derivator tillh¨or H
˜ µ,0 (Γ).
H
µ,0
Normen i det h¨ar Banach-rummet definieras som
kϕkH˜ µ,0
= kϕkC + kϕ0 kH˜ µ1 .
1
3.2
L¨
osning av logaritmiska integralekvationer
Betrakta den logaritmiska integralekvationen i kanonisk form
1 Zb
1
Lϕ ≡
ln
ϕ(s)ds = f (x). x ∈ (a, b).
πa
|s − x|
(39)
Antag att f i (39) ¨ar en deriverbar funktion [f ∈ C 1 (a, b)]. Genom att
r¨akna derivator av h¨ogerledet och v¨ansterledet av ekvationen (39), f˚
ar vi
en singul¨ar integralekvation
1 Zb ϕ(s)ds
Sϕ ≡
= f 0 (x),
π a s−x
x ∈ (a, b).
(40)
Teorin av singul¨ar integralekvationer utarbetas i [1], [4], [5] och [6].
Antag att funktion f 0 i ekvationen (40) satisfierar H.v. D˚
a, kan man
anv¨anda Hilberts formel f¨or att skriva den fullst¨andiga l¨osningen av (40)
q
1 Zb (b − x)(x − a)f 0 (x)dx
−1
q
ϕ(s) = L f ≡ −
+
π a (b − s)(s − a)(x − s)
q
C
, (41)
(b − s)(s − a)
V¨alja konstanten C s˚
a att ϕ satisfierar (39). Enligt (29),
1 Zb
1
ln
πa
|x − s|
ds
4
= ln
,
b−a
(b − s)(s − a)
q
x ∈ (a, b).
Ins¨attning av (41) i (39) ger
1
C=
ln
4
b−a


f (x)
+
Zb
Zb
1
1
ln
ds
π2 a
|x − s| a
q
0

(b − τ )(τ − a) f (τ ) dτ 
.
(b − s)(s − a) (τ − s)
q
(42)
Man kan visa att C ¨ar en konstant med hj¨alp av Poincar´e–Bertrands
formel.
1
˜µ → H
˜ µ,0
Sats 5. L : H
¨ar kontinuerlig och injektiv om b − a 6= 4 och
µ < 1/2.
˜ µ f¨or varje
Det betyder att ekvationen (39) har precis en l¨osning φ ∈ H
1
˜ µ,0
givet h¨ogerled f ∈ H
. Olikheten
kLϕkH˜ µ,0
≤ AkϕkH˜ µ ,
1
betyder att L ¨ar kontinuerlig.
˜ µ,
∀ϕ ∈ H
4
Fullst¨
andiga logaritmiska integraloperatorer
Betrakta en fullst¨andig logaritmisk integraloperator
Kϕ = Lϕ + N ϕ ≡

Zb 1


1
ln
+ N (x, t) ϕ(t)dt,
π |x − t|
a
(43)
d¨ar N (x, t) ¨ar en differentierbar funktion vars derivata kan representeras
genom
∂N
n(x, t) − n(t, t)
=
,
∂x
t−x
n(x, t) ∈ Hλ,λ ([a, b] × [a, b]), 0 < λ < 1, (44)
dvs., n(x, t) ¨ar en kontinuerlig funktion av tv˚
a variabler som satisfierar
H.v. i ([a, b] × [a, b]), eller
∂N
n∗ (x, t)
=
,
∂x
|t − x|κ
0 ≤ κ ≤ 1,
(45)
n∗ (t0 , t) ∈ Hλ1 ,λ1 ([a, b] × [a, b]), 0 < λ1 < 1.
Om ∂N/∂x ∈ Hλ2 ,λ2 ([a, b] × [a, b]) (0 < λ2 < 1) ¨ar en kontinuerlig
funktion av tv˚
a variabler d˚
a, i (44),
n(x, t) = (x − t)n∗ (x, t),
n∗ (x, t) ∈ Hλ2 ,λ2 ([a, b] × [a, b]), 0 < λ2 < 1.
(46)
Betrakta en integraloperator
Nϕ ≡
Zb
N (x, t)ϕ(t)dt.
(47)
a
Sats 6. Antag att N (x, t) ¨ar en differentierbar funktion vars derivata
∂N/∂x representeras genom (44); (45); eller (44) och (46) med en konstant
1
˜µ → H
˜ µ,0
µ < 1. D˚
a ¨ar N : H
en kompakt operator.
Sats 6 bevisas i [3].
˜µ → H
˜ 1 ¨ar en Fredholm-operator om µ < 1/2.
Sats 7. K : H
µ,0
4.1
Entydighetssats f¨
or logaritmiska integralekvationer
Betrakta den logaritmiska integralekvationen
Kφ ≡
Z b
a
[C ln |x − s| + N (x, s)] φ(s)ds = f (x),
x ∈ (a, b),
(48)
d¨ar C = const och N (x, s) satisfierar villkoren av Sats 6. Genom att
anv¨anda definitionerna (41) och (42) f¨or L−1 och (47) f¨or integraloperatoren N , man kan bevisa olikheten
kL−1 N kHµ
˜ ≤ A(l) < 1,
(49)
om l = b − a ¨ar tillr¨akligt litet. D˚
a g¨aller
˜ µ f¨or varje
Sats 8. Integralekvationen (48) har precis en l¨osning φ ∈ H
1
˜ µ,0
givet h¨ogerledet f ∈ H
om l = b − a ¨ar tillr¨akligt litet.
4.2
Karakteristiskv¨
arden till logaritmiska integraloperatorer
Betrakta den homogena integralekvationen
K(λ)φ ≡
Z b
a
K(λ; x, s)φ(s)ds = 0,
x ∈ (a, b),
(50)
d¨ar k¨arnan K(λ; x, s) och integraloperatoren K = K(λ) ¨ar funktioner av
variabeln λ. Att l¨osa homogena integralekvationen
K(λ)φ = 0
(51)
betyder att man best¨ammer par (λ∗ , φ∗ ) s˚
adana att λ∗ ¨ar ett nollst¨alle till
operatorfunktionen K(λ)φ∗ av variabeln λ: en rot av den karakteristiska
ekvationen K(λ)φ∗ = 0. L¨agg m¨arke till att i (51) och i karakteristiska
ekvationen s˚
a ¨ar K : X → Y en integraloperator (X och Y ¨ar Banachrum) och 0 ¨ar nollelementet av Banach-rummet Y . Till exempel, om
˜ 1 (a, b), s˚
Y =H
a 0 ¨ar en funktion φ s˚
adan att φ(t) ≡ 0, t ∈ (a, b).
µ,0
Betrakta homogena logaritmiska integralekvationen
K(λ)φ ≡
Z a
−a
[C ln |x − s| + N (λ; x, s)] φ(s)ds = 0,
x ∈ (−a, a),
(52)
d¨ar
q0 (λ)n1 (x)n2 (s)
˜ (λ; x, s).
(53)
+N
λ − λ0
˜ (λ; x, s) ¨ar analytiska funktioner av den komplexa varioch q0 (λ) och N
abeln λ i en cirkel |λ − λ0 | < p f¨or varje (x, s) ∈ ([a, b] × [a, b]) som (och
n1,2 ) satisfierar villkoren av Sats 6. H¨ar
N = N (λ; x, s) =
Z a
q0 (λ)n1 (x)n2 (s)
(54)
,
−a
λ − λ0
1
˜µ → H
˜ µ,0
¨ar en endimensionell integraloperator. D˚
a ¨ar K(λ) : H
en
finitmeromorf- och Fredholm- (enligt Sats 7) operatorfunktion av λ i omgivningen av λ0 .
Q(λ)φ ≡
Q(λ; x, s)φ(s)ds,
Q(λ; x, t) =
Enligt Fredholms Sats, betyder det att K(λ) kan ha ett ¨andligt antal
av karakteristiskv¨arden i cirkeln |λ − λ0 | < p.
Spektralteorin av operatorfunktioner utarbetas i [7], d¨ar kan man finna
alla definitioner (se ocks˚
a i boken [8]).
Man kan anv¨anda Exempel 6, v¨arderingen (49) och perturbationsteori
f¨or logaritmiska integraloperatoren definierad genom (52) och (53) f¨or att
bevisa existens av ett karakteristiskv¨arde.
Sats 9. Integraloperatoren definierad genom (52) och (53) har ett karakteristiskv¨arde i omgivningen av λ0 om a ¨ar tillr¨akligt litet.
I Exempel 6, formeln (36) specificierar det h¨ar karakteristiskv¨ardet till
operatorfunktion P (λ, a).
5
Randv¨
ardesproblem till Helmholtzs ekvation och
logaritmiska integralekvationer
5.1
Greens funktion till en rektangel
Betrakta Neumanns randv¨ardesproblem till Helmholtzs ekvation i rektangeln Πcb = {x = (x, y) : 0 < x < c, 0 < y < b} med randkurvan
Γcb = ∂Πcb :
∆u + k 2 u = f, u = u(x), x ∈ Πcb ,
(55)
∂2
∂2
∆ = ∆x = 2 + 2 ,
∂x
∂y
∂u = 0,
(56)
∂n x∈Γcb
Greens funktion G = G(k; x, y) [y = (x0 , y0 ) ∈ Πcb ] till randv¨ardesproblemet
(55) och (56) satisfierar Helmholtzs ekvation
∆x G + k 2 G = 0 ∀y ∈ Πcb ,
∆y G + k 2 G = 0, ∀x ∈ Πcb ,
Neumanns randvillkor
∂G = 0 ∀y ∈ Πcb ,
∂nx x∈Γcb
x 6= y, (57)
∂G = 0 ∀x ∈ Πcb ,(58)
∂ny y∈Γcb
(∂/∂nx,y betecknar normala derivatan i x, y-koordinaterna) och har logaritmiska singularitet f¨or x 6= y:
G(k; x, y) =
1
1
ln
+ g(k; x, y) x, y ∈ Πcb , x 6= y, k 6= 0, (59)
π |x − y|
d¨ar g(k; x, y) ¨ar en differentierbar funktion i x och y och meromorf i k,
k 6= 0. Man kan skriva Greens funktion i formen av bilinj¨ara serien:
∞ X
∞ δ δ cos(πnx /c) cos(πny /b) cos(πnx/c) cos(πny/b)
4 X
n m
0
0
G(k; x, y) =
,
bc n=0 m=0
λnm − k 2
d¨ar


δn = 
1/2, n = 0,
,
1, n = 1, 2, . . .
λnm


2
m2 
2 n
=π
+ 2 ,
c2
b
n, m = 0, 1, 2, . . . .
I randpunkterna x0 = (x, 0) och y0 = (x0 , 0) (0 < x, x0 < c),
∞ cos(πnx /c) cos(πnx/c)
2 X
0
G(k; x , y ) =
π n=1
n
−πnb/c
∞
∞
2 X
e
πnx0
πnx
2 X
δm
+
cos
cos
+
π n=1 n sinh(πnb/c)
c
c
bc m=0 λ0m − k 2
!
∞ X
∞
πnx0
4 X
1
1
πnx
cos
+
δm
−
cos
.
bc n=1 m=0
λnm − k 2 λnm
c
c
0
0
(60)
Den f¨orsta trigonometriska serien i (60) ¨ar fourierserien till en logaritmisk
funktion:


∞ cos(πnx /c) cos(πnx/c)
2 X
1 π(x0 + x) 
π(x0 − x) 1 
0
= − ln 2 sin
,
− ln 2 sin
π
π n=1
n
π 2c
2c
som har logaritmiska singularitet eftersom
1
1
1 sin z 1
=
ln |2 sin z| = ln |z| + ln 2 + ln π
π
π
π
z 1
1
π
1
1 sin z π
,
ln |x0 − x| + ln + ln 2 + ln z
=
(x0 − x).
π
π 2c π
π
z 2c
Den andra termen i (60) ¨ar en o¨andligt differentierbar funktion i x och
x0 , den tredje en konstant och den fj¨arde en g˚
ang differentierbar funktion
i x och x0 ; tredje och fj¨arde termerna
¨ar meromorf i k, k 6= 0, med ett
√
uppr¨akneligt antal av polerna ± λnm (n, m = 0, 1, 2, . . .). D˚
a har Greens
funktion G(k; x0 , y0 ) formen
G(k; x0 , y0 ) = C ln |x − x0 | + N (k; x, x0 ),
1
C=− .
π
(61)
H¨ar N (k; x, x0 ) ¨ar en g˚
ang differentierbar funktion i x och x0 , och ¨aven
N (k; x, x0 ) = −
4 n(x)n(x0 )
˜ (k; x, x0 ),
+N
bc λ − λnm
n(x) = cos
πnx
,
c
(62)
˜ (k; x, x0 ) ¨ar en analytisk funktion av komplexa variabeln k i |k ±
d¨ar N
√
λnm | < p f¨or varje (x, x0 ) ∈ ([0, c] × [0, c]) som [och n(x)] satisfierar
villkoren av Sats 6.
Man kan ocks˚
a betrakta G = G(λ; x, y). D˚
a i (61) och (62) m˚
aste vi
byta ut k → λ, s˚
a N = N (λ; x,√x0 ) blir en analytisk funktion av komplexa
2
variabeln λ = k i cirkeln |λ − λnm | < p f¨or varje (x, x0 ) ∈ ([0, c] × [0, c]).
5.2
Randv¨
ardesproblem till Helmholtzs ekvation i unionen av
rektangler
Betrakta omr˚
adet
Ω = Πab1 ∪ Πab2
som ¨ar unionen av tv˚
a rektangler
Ω1 = Πab1 = {x : 0 < x < a, 0 < y < b1 },
Ω2 = Πab2 = {x : 0 < x < a, −b2 < y < 0};
randkurvan
Γ = (∂Πab1 ∪ ∂Πab2 ) \ Σ,
d¨ar intervallet Σ = {x : y = 0, a/2 − w = d1 < x < d2 = a/2 + w} ¨ar en
spricka i gemensama delen av deras randkurvarna; ∂Σ = {A1 = d1 , A2 =
d2 }.
Formulera randv¨ardesproblemet (egenv¨ardesproblemet) till Helmholtzs
ekvation:
∆u(x) + λε(x)u(x) = 0, λ = k 2 , x ∈ Ω,
(63)
ε
u ∈ M = {u : u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (∪i Ω i \ Γδ )},
(64)
d¨ar
Γδ = {x : dist(x, ∂Γ) < δ} ,
Ωεj = {x : ε(x) = εj = const} = Πabj
(j = 1, 2);
∂u = 0,
∂n x∈Γ
u|x→x0 ∈Σ, x∈Ω1 − u|x→x0 ∈Σ, x∈Ω2 = 0,
1 ∂u 1 ∂u −
= 0,
ε1 ∂n x→x0 ∈Σ, x∈Ω1 ε2 ∂n x→x0 ∈Σ, x∈Ω2
(65)
(66)
(67)
Vi m˚
aste finna icke-trivial l¨oshnigar (egenfunktioner) till (63)–(67) och
motsvarande v¨arden λ (egenv¨arden).
5.3
Reducering till en logaritmisk integralekvation
S¨ok l¨osningar till egenv¨ardesproblemet (63)–(67) i formen av Greens potentialer
u(x) = εj
Z
Σ
Gj (λ; x, y0 )φ(x0 )dx0 ,
x ∈ Ωj , j = 1, 2,
(68)
d¨ar Gj = Gj (λ; x, y) ¨ar Greens funktioner till Ωj = Πabj (j = 1, 2)
˜ µ (Σ) ¨ar obekanta funktionen. Enligt (57), satisfierar u(x)
och φ(x0 ) ∈ H
Helmholtzs ekvation i Ω. Av potentials egenskaper f¨oljer att (67) g¨aller,
och randvillkoret (66) ger integralekvationen
M (λ)φ ≡
Z
x ∈ Σ,
(69)
M (λ; x, x0 ) = ε1 G1 (λ; x0 , y0 ) + ε2 G2 (λ; x0 , y0 ).
(70)
Σ
M (λ; x, x0 )φ(x0 )dx0 = 0,
Sats 10. Karakteristiskv¨arden till integraloperatoren M (λ) definierad
genom (69) och (70) sammanfaller med egenv¨arden till egenv¨ardesproblemet
(63)–(67)
Formlerna (61) och (62) f¨oljer att k¨arnan M (λ; x, x0 ) till integraloperatoren M (λ) har formen (52), (53):
M (λ; x, x0 ) = C ln |x − x0 | + N (λ; x, x0 ),
C=−
ε1 + ε2
.
π
(71)
N (λ; x, x0 ) ¨ar en g˚
ang differentierbar funktion i x och x0 och
N (λ; x, x0 ) = −εj
4 n(x)n(x0 )
˜ j (λ; x, x0 ),
+N
nm
j
abj λ − λnm
n(x) = cos
πnx
, (72)
a
i omgivningen av varje
λjnm


2
m2 
2 n
+ 2
=π
a2
bj
(n, m = 0, 1, 2, . . . ,
j = 1, 2),
j
˜nm
d¨ar N
(λ; x, x0 ) ¨ar en analytisk funktion av komplexa variabeln λ i |λ −
j
λnm | < p f¨or varje (x, x0 ) ∈ ([0, a] × [0, a]). D˚
a enligt Sats 9 g¨aller
Sats 11. Integraloperatoren definierad genom (69) och (70) har ett karakteristiskv¨arde i omgivningen av varje λjnm om diam Σ = 2w ¨ar tillr¨akligt
litet.
F¨or detaljer av bevisen se i boken [3].
References
[1] N.I. Muskhelishvili. Singular integral equations. Nauka, Moscow (1962).
[2] A. Persson, L.-C. B¨oiers. Analys i en variabel. Studentlitteratur, Lund (1990).
[3] Yu.V. Shestopalov, E.V. Chernokozhin and Yu.G. Smirnov. Logarithmic integral
equations in electromagnetics. Zeist, VSP Int. Science Publishers (2000).
[4] F.D. Gakhov, Boundary-value problems. Nauka, Moscow, (1977).
[5] I. Gohberg and N. Krupnik. One-dimensional linear singular integral equations.
Birkh¨aser, Basel (1992).
[6] S. Pr¨ossdorf. Einige Klassen singul¨arer Gleichungen, Akademie-Verlag, Berlin
(1974).
[7] E. Sanchez-Palencia. Nonhomogeneous media and vibration theory. SpringerVerlag, Berlin (1980).
[8] V.P. Shestopalov and Yu.V. Shestopalov. Spectral theory and excitation of open
structures. Peter Peregrinus, London (1996).