Sammanfattning av begrepp och satser, Komplex analys FMM ht 07 "Fundamentals of Complex Analysis with Appl." (3:e uppl.) av Saff/Snider

OBS, detta skall inte ses som en heltäckande "kan jag detta så kan jag allt"-lista, utan som en slags guide till kursen, att ha som stöd när man läser in respektive avsnitt.

Viktiga begrepp

Kap 1, Komplexa tal

principalgrenen av argumentet omgivning

(neighborhood)

inre punkt

(interior point)

öppen mängd

(open set)

sammanhängande mängd

(connected set)

område

(domain)

randpunkt

(boundary point)

rand

(boundary)

sluten mängd

(closed set)

begränsad mängd

(bounded set)

kompakt mängd

(compact set)

Kap 2, Analytiska funktioner

gränsvärde - av en följd resp. för en funktion kontinuitet C-deriverbarhet, komplex derivata analytisk/holomorf funktion hel funktion

(entire function)

harmonisk funktion harmoniskt konjugat

Kap 3, Elementära funktioner

Viktiga satser

Sats 1 s. 40 Sats 4 s. 73 Sats 5 s. 74 Sats 6 s. 76 Sats 7 s. 79 Sats 1 s. 101 (Algebrans fundamentalsats) Sats 3 s. 111 Sats 4 s. 120 + korr. s. 121 komplexa polynom komplexa exponentialfunktionen komplexa trigonometriska funktioner enkelvärd resp. flervärd funktion gren av en flervärd funktion

(branch of...)

komplexa logaritmfunktionen principalgrenen av logaritmfunktionen komplexa potenser

Kap 4, Komplex integration

(OBS, något annorlunda terminologi i boken) kurva

(curve)

sluten kurva

(closed -''-)

enkel kurva

(simple -''-)

slät kurva

(smooth -''-)

styckvis slät kurva

(piecewise smooth -''-)

riktad/orienterad kurva

(directed/oriented -''-)

positivt resp. negativt orienterad kurva kontur

(contour)

kurvintegraler homotopa kurvor enkelt sammanhängande område Sats 1 s. 158 (Jordans kurvsats) Sats 3 s. 164 Sats 4 s. 165 Sats 5 s. 170 Sats 6 s. 173 + korr. s. 175 Sats 7 s. 176 Sats 8 s. 186 Sats 9 s. 187 (Cauchys integralsats) Sats 14 s. 204 (Cauchys integralformel) Sats 16 s. 209 + Sats 17 s. 210 Sats 19 s. 211 (Cauchys allmänna int.formel) Sats 21 s. 215 (Liouvilles sats)

Sammanfattning av begrepp och satser, Komplex analys FMM ht 07 "Fundamentals of Complex Analysis with Appl." (3:e uppl.) av Saff/Snider

Kap 5, Serierepresentation av analytiska funktioner

geometrisk serie Taylorserie (specialfall: Maclaurinserie) potensserie

(power series)

Laurentserie nollställe av ordning m isolerad singularitet hävbar singularitet

(removable singularity)

pol av ordning m

(pole of order m)

väsentlig singularitet

(essential singularity)

Kap 6, Residueteori

Lemma 1 s. 236 Sats 1 s. 236 (jämförelsetestet) Sats 2 s. 237 (kvottestet) Sats 3 s. 243 Sats 4 s. 246 Sats 7 s. 253 Sats 14 s. 269 Sats 17 s. 282 (Picards sats) Sats 18 s. 284 residuen av en funktion f i en punkt z Sats 1 s. 310 Sats 2 s. 312 (Cauchys residuesats)

Kap 7, Konform avbildning

konform avbildning

(conformal mapping)

Möbiusavbildning

(Möbius transformation)

Sats 2 s. 378 Sats 4 s. 380 (Riemanns avbildningssats) Sats 5 s. 390

Angående satser och bevis

I allmänhet när det gäller satserna, så är steg 1 att veta och förstå vad de säger, och därmed också kunna använda dem i uppgifter/tillämpningar av olika slag.

De satser ni dessutom skall kunna bevisa är: Kap 2, Sats 4 s. 73 och Sats 7 s. 79 Kap 3, Sats 3 s. 111 Kap 4, Sats 9 s. 187 (Cauchys integralsats) och Sats 14 s. 204 (Cauchys integralformel) Kap 6, Sats 1 s. 310 Vidare skall ni kunna svara t.ex. på frågan " och kvottestet).

Vad säger Liouvilles sats?"

, samt motsvarande för övriga satser som har namn (utom Algebrans fundamentalsats, Jordans kurvsats, jämförelsetestet