PID-reglering

Transcript PID-reglering

Regulator
R(s)
+
−
Σ
E(s)
Process
U(s)
G (s)
R
G (s)
Y(s)
P
Figur 1: Blockdiagram för ett typiskt reglersystem
Något om PID-reglering
PID-regulatorn består av proportionell del, integrerande del och deriverande
del. Varje del har sin finess. Ett typiskt reglersystem visas i Fig. 1. Regulatorns
överföringsfunktion GR (s) kan för en PID-regulator skrivas
1
GR (s) = K 1 +
+ Td s
Ti s
Vi ska nu införa varje del (P, I och D) efter hand och se vilka fördelar var
och en av delarna har.
P-reglering
Ren proportionell reglering kan skrivas
u(t) = Ke(t) = K(r(t) − y(t))
där r(t) är börvärdet och e(t) är reglerfelet. Styrsignalen u(t) är alltså proportionell mot reglerfelet e(t). Ju större reglerfel desto större styrsignal. Hur
mycket större bestäms av regulatorns förstärkning K. Hur beter sig reglerfelet då börvärdet är ett enhetssteg r(t) = θ(t)? Det beror naturligtvis inte
bara på förstärkningen K utan också på överföringsfunktionen hos det vi ska
reglera (processen) dvs Gp (s). Om K inte är för stort kommer stegsvaret
(utsignalen från processen då insignalen är ett enhetssteg) att svänga in sig
mot ett bestämt värde (dvs det återkopplade systemet är stabilt). Vilket
värde svänger då reglerfelet in sig mot i det fallet? För att ta reda på detta
används slutvärdesteoremet:
lim e(t) = lim sE(s)
t→∞
s→0
1
För att kunna göra detta måste E(s) tas fram:
E(s) =
1
1
1
R(s) =
1 + KGp (s)
1 + KGp (s) s
Nu kan det kvarstående reglerfelet beräknas:
lim e(t) = lim sE(s) = lim s
t→∞
s→0
s→0
1
1
1
1
=
=
1 + KGp s
1 + KGp (0)
1 + Kk0
där k0 = Gp (0) är den statiska förstärkningen. Lägg märke till att felet
aldrig kan bli riktigt 0 men genom att välja K stort kan felet göras litet. För
stora K-värden kan ge upphov till oscillationer eller till och med instabilitet.
Känsligheten för brus ökar också med förstärkningen K. Därför är stora
värden på K ingen lösning för att få ner det kvarstående reglerfelet. Reglerfelet e(t) kan aldrig riktigt bli 0 eftersom då skulle ju också styrsignalen
u(t) = Ke(t) bli noll.
PI-reglering
Ett sätt att råda bot på problemet med kvarstående reglerfel är att sätta in
något slags “minne” som kommer ihåg hur mycket styrsignalen måste höjas
för att ärvärdet y(t) ska ökas upp till börvärdet r(t). Ett sådant minne är
en integrator. Den nya styrlagen blir
Z t
Z
1 t
u(t) = Ke(t) + ki
e(τ )dτ = K e(t) +
e(τ )dτ
Ti 0
0
Genom att laplacetransformera kan överföringsfunktionen för PI-regulatorn
listas ut:
1
U(s)
= GR (s) = K 1 +
E(s)
Ti s
Nu ställer vi samma fråga som för P-regulatorn: Hur stort blir kvarstående
reglerfelet då börvärdet är ett enhetssteg när en PI-regulator används?
E(s) =
1
1
1
R(s) =
1
1 + GR (s)Gp (s)
1 + K(1 + Ti s )Gp (s) s
Slutvärdesteoremet ger då
lim e(t) = lim sE(s) = lim s
t→∞
s→0
s→0
1
s
s
= lim
=0
s + K(s + 1/Ti )GP (s) s s→0 s + K(s + 1/Ti )GP (s)
förutsatt att GP (0) 6= 0, dvs processens statiska förstärkning får inte vara
0. Detta visar att integralverkan i regulatorn garanterar eliminering av reglerfelet i de fall då Gp (0) 6= 0 och, givetvis, under förutsättning att det
återkopplade systemet är stabilt.
2
Reglerfel vid P−reglering
1.0
0.8
0.6
0.4
e(t)
0.2
0.0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
t
Figur 2: Reglerfel vid P-reglering
PD-reglering
Vid enbart proportionell reglering (P-reglering) gäller oftast grundregeln att
förstärkningen K bör sänkas om det är för mycket svängningar i utsignalen.
Detta leder dock till att systemet blir långsammare. Om man vill ha ett
snabbare system som ändå är väldämpat (dvs inte så mycket svängningar)
så får man ta till något mer än P-reglering. I Fig. 2 visas reglerfelet för ett
system med P-reglering där K är lite för stort. Observera att styrsignalen
u(t) = Ke(t) bara beror av själva reglerfelet vid en viss tidpunkt. Detta
innebär att styrsignalen får samma värde t.ex. vid de två första tidpunkterna för vilket reglerfelet har värdet 0.2 (se Fig. 2). Detta verkar ju rent
av dumt eftersom det vid första tidpunkten (t1 ) är duktig nerförsbacke (negativ derivata) medan det är uppförsbacke (positiv derivata) vid den andra
tidpunkten (t2 ). Det verkar vara befogat att ta hänsyn till derivatan av reglerfelet i styrlagen. Om man lägger till en term till i styrsignalen så att
styrlagen blir
de
de
u(t) = Ke(t) + kd (t) = K e(t) + Td (t)
dt
dt
3
Reglerfel vid PD−reglering
1.0
0.8
0.6
e(t)
0.4
0.2
0.0
−0.2
−0.4
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
t
Figur 3: Reglerfel vid PD-reglering
så blir det helt plötsligt möjligt att få olika värden på styrsignalen u(t) vid
de båda tidpunkterna (t1 resp. t2 ). Detta gör att svängningarna i reglerfelet
kan dämpas ut (se Fig. 3). Någon kanske undrar om det inte finns I-del
också i regulatorn, eftersom reglerfelet verkar konvergera mot 0. Så är dock
inte fallet, utan reglerfelet blir väldigt litet till följd av att förstärkningen är
ganska stor (K = 50) i båda fallen. Det är i själva verket systemet
1
(s + 1)2
GP (s) =
som reglerats med P-regulatorn GR (s) = 50 respektive PD-regulatorn GR (s) =
50 + 10s (K=50 och Td = 0.2 s).
PID-reglering
Kombinationen av alla tre delarna (P, I och D) resulterar således i följande
styrlag:


Zt
de
1
e(τ )dτ + Td (t)
u(t) = K e(t) +
Ti
dt
0
4
Efter laplacetransformation av detta samband kan styrlagen uttryckas så här:
1
U(s) = K 1 +
+ Td s E(s) = GR (s)E(s)
Ti s
Detta är standardformen av PID-regulatorn. Det finns ett par olika modifieringar av denna när det gäller brister hos derivatadelen (D-delen) av regulatorn. Dessa är dels pulser (“spikar”) som dyker upp i styrsignalen pga
deriveringen av de stegändringar som ofta förekommer i börvärdet och dels
den höga känsligheten för brus i ärvärdet. Motsvarande två modifieringar
blir då följande:
1. Derivering av börvärdet tas bort:
1
U(s) = K 1 +
E(s) − Td sY (s)
Ti s
2. Lågpassfiltrering införs för derivatadelen:
1
Td s
U(s) = K 1 +
E(s) −
Y (s)
Ti s
1 + Tf s
Tidskonstanten i derivatadelens lågpassfilter väljs som
Tf =
Td
N
där den s.k. filterfaktorn N ofta väljs mellan 5 och 10. Observera att då
N → ∞ blir det vanlig derivering igen.
Allmänna inställningsregler
För de tre grundparametrarna K, Ti och Td gäller följande grundregler:
Åtgärd
Öka K
Minska Ti
Öka Td
Resultat
+ Snabbare insvängning
+ Mindre kvarstående reglerfel
− Sämre stabilitet (mer svängningar)
− Ökad bruskänslighet
+ Snabbare eliminering av reglerfelet
− Sämre stabilitet (mer svängningar)
+ Bättre stabilitet (mer dämpat, mindre svängningar)
− Extremt ökad bruskänslighet
5
Speciella inställningsregler
En klassisk metod (från 1942) är Ziegler-Nichols självsvängningsmetod. Den
går ut på följande:
1. Återkoppla systemet proportionellt justera förstärkningen K så att systemet precis självsvänger (varken avtagande eller ökande amplitud). Det
räcker att ge någon puls eller ett steg in till systemet för att testa detta.
2. Notera dels förstärkningen Kc och dels periodtiden To för svängningen.
3. Ställ in regulatorparametrarna enligt följande tabell:
Regulatortyp
P
PI
PID
K
0.5Kc
0.45Kc
0.6Kc
Ti
Td
–
–
To /1.2
–
To /2 To /8
Metoden ger oftast ett ganska dåligt dämpat system men den ger en rimlig
parameterinställning att utgå ifrån för att justera in en bättre inställning.
Under de dryga 70 år som gått sen metoden lanserades har det dykt upp ett
otal olika varianter och modifieringar av varierande kvalitet. Det finns dels
metoder baserade på självsvängning (som ovanstående) och dels metoder
baserade på stegsvaret för systemet. Ziegler-Nichols hittade också på en
stegsvarsbaserad metod som oftast är en aning sämre än deras självsvängningsmetod.
Exempel på hur en stegsvarsbaserad metod kan se ut
Som det nämnts i föregående avsnitt finns det många inställningsregler, såväl
självsvängningsbaserade som stegsvarsbaserade. Därför ska det här bara ges
ett exempel på hur en stegsvarsbaserad metod kan se ut.
I Fig. 4 visas ett stegsvar för ett system av ordning 3 med tidsfördröjning tillsammans med stegsvaret för ett system av första ordningen med tidsfördröjning
(streckad kurva) som utgör en approximation till det heldragna stegsvaret.
Approximationen har tidsfördröjningen L = 3.5 s och tidskonstanten T = 7.5
s. Statiska förstärkningen k0 är 2 för båda systemen.
Approximationsförfarandet är standardmässigt och går ut på att dra tangenten till inflektionspunkten (“maximalderivatapunkten”) hos det ursprungliga stegsvaret (se Fig. 4). Tangentens skärning med tidsaxeln blir då L
(tidsfördröjningen för approximationen) och tidskonstanten för approximationen utgörs av bredden på den rätvinkliga triangel vars höjd är k0 och vars
hypotenusa utgör en del av tangentlinjen. I det aktuella fallet erhålles således
tidskonstanten som 11 − 3.5 = 7.5 s.
6
Stegsvar med approximation
2.0
1.8
1.6
1.4
y(t)
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
2
4
6
8
10
L
t
12
14
16
18
20
L+T
Figur 4: Stegsvar och approximativt stegsvar
En bättre approximation hade erhållits med exempelvis L = 4.47 s och T =
2
−2s
3.77 s. Det egentliga systemets överföringsfunktion är (1+2s)
.
3e
En stegsvarsbaserad metod för bestämning av PID-parametrarna kan då se
ut så här:
1. Välj
0.4
K=
k0
s
1+
8T
5L
2
2. Välj
Ti =
2Kk0 (L + T )
,
1 + 2Kk0 + α(Kk0 )2
0≤α≤1
För små värden på L/T och med prioritet på laststörningssvar väljs α närmare
1, annars väljs α = 0.
3. Välj
Td = 0.3(1 − e−0.7L/T )Ti
7

PID-reglering

Transcript PID-reglering

Directory