Transcript 16.3. Projektion och Spegling

16.3
16.3.
167
Projektion och Spegling
Projektion och Spegling
Exempel 16.14. Best¨
am matrisen f¨or projektionen P av rummet vinkelr¨at mot planet
W :
2x − y − 2z = 0.
Best¨am ocks˚
a bilden av basvektorerna e1 , e2 , e3 och w = e1 + 2e2 + 3e3 . (ON-bas).
L¨
osning: a) Anv¨
and projektionsformeln
b) Utnyttja att P ¨ar linj¨
ar
Figur 16.15.
n
n
u//n
u
v = P(v )
2
O
v1 = P(v1)
P(u) = u⊥ n
2
P(n) = 0
a) Projektionsformeln ger
u = u⊥n + ukn
d¨
ar
ukn =
u·n
n
|n|2
och
P (u) = u⊥n = u −
u·n
n.
|n|2
Matrisen A f¨
or projektionen P 
inneh˚
aller
 i sina kolonner bilden av basvektorerna. Vi f¨oljer
x1
Exempel 12.34 och l˚
ater u = e  x2  vara en godtycklig vektor. D˚
a f˚
ar vi
x3

 

x1
2

 e  x2  · e  −1  

x1
2
x
−2
u·n
3
 
 e  −1 
n = e  x2  − 
P (u) = u − ukn = u −
|n|2
2
2
x3
−2
e  −1  · e  −1 
−2
−2
 






a
2
x1
4x1 − 2x2 − 4x3
2x
−
x
−
2x
1
1
2
3 
e
−1  = e  x2  − e  −2x1 + x2 + 2x3 
= e b  −
9
9
c
−2
x3
−4x1 + 2x2 + 4x3



 

5x1 + 2x2 + 4x3
9x1
4x1 − 2x2 − 4x3 
1 
1
9x2  −  −2x1 + x2 + 2x3  = e  2x1 + 8x2 − 2x3 
= e

9
9
4x1 − 2x2 + 5x3
9x3
−4x1 + 2x2 + 4x3



5
2
4
x1
1
8 −2   x2  .
= e  2
9
4 −2
5
x3
168
16
¨
LINJARA
AVBILDNINGAR


5
2
4
1
Allts˚
a har P matrisen A =  2
8 −2 .
9
4 −2
5
 


2
1
a vektorer i planet W .
b) P a¨r linj¨
ar. L˚
at v 1 = e  2  och v 2 = e  −2  vara tv˚
1
2
(Visa detta genom att s¨
atta in vektorernas koordinater i planet W :s ekvation). D˚
a kommer
normalen n att avbildas p˚
a 0 och v 1 och v 2 att avbildas p˚
a sig sj¨alva eftersom dessa redan
ligger i planet W . Vi har allts˚
a att


 P (n) = 0
 P (2e1 − e2 − 2e3 ) = 0 · e1 + 0 · e2 + 0 · e3
P (v 1 ) = v1
⇔
P (2e1 + 2e2 + e3 ) =
2e1 + 2e2 + e3


P (v 2 ) = v2
P (e1 − 2e2 + 2e3 ) =
e1 − 2e2 + 2e3
Eftersom P ¨
ar linj¨
ar

 2P (e1 )
2P (e1 )

P (e1 )
s˚
a f˚
ar vi systemet
− P (e2 ) − 2P (e3 ) = 0 · e1 + 0 · e2 + 0 · e3
+ 2P (e2 ) + P (e3 ) =
2e1 +
2e2 +
e3
− 2P (e2 ) + 2P (e3 ) =
e1 −
2e2 +
2e3
L¨oser vi systemet f¨
or de obekanta P (e1 ),

 P (e1 ) =
P (e2 ) =

P (e3 ) =
P (e2 ) och P (e3 ) som i i Exempel 16.13 f˚
ar vi att
(5e1 + 2e2 + 4e3 )/9
(2e1 + 8e2 − 2e3 )/9
(4e1 − 2e2 + 5e3 )/9
som ger matrisen A igen.
Vi projicerar nu vektorn w = e1 + 2e2 + 3e3 och f˚
ar bilden


 
  

1
5
2
4
21
1
1
1
8 −2   2  = e  12  .
P (w) = P e  2  = e  2
9
9
4 −2
5
3
15
3
I anm¨arkningen nedan tar vi upp ett antal viktiga egenskaper hos en projektion som kan
verifieras f¨
or exemplet ovan.
Anm¨
arkning 16.16. Om A ¨
ar matrisen f¨or projektionen i Exempel 16.14, s˚
a ¨ar
1. A symmetrisk.
2. det A = 0.
3. A2 = A.
Vi visar i Anm¨
arkning 16.55 att i rummet har alla ortogonala projektioner p˚
a ett plan dessa
egenskaper. D¨
aremot visar vi i Kapitel 24 det allm¨anna fallet att i n-dimensionellt rum s˚
a
har alla ortogonala projektioner p˚
a underrum dessa egenskaper.
16.3
169
Projektion och Spegling
Exempel 16.17. Ange matrisen f¨or speglingen S i planet W :
L¨
osning: a) Projektionsformeln
2x − y − 2z = 0. (ON-bas).
b) S ¨ar linj¨
ar:
Figur 16.18.
n
n
u
u //n
v2=S(v2)
v1=S(v1)
O
P(u)=u⊥ n
S(u)
S(n)= −n


a
a) L˚
at u = e  b  vara en godtycklig vektor i rummet. D˚
a g¨aller att
c
 


a
2
2a − b − 2c 
u·n
n = e b  − 2
e −1 
S(u) = u − 2ukn = u − 2
2
|n|
9
c
−2
 





 
a
8a − 4b − 8c
a + 4b + 8c
1
4
8
a
1
1
1






−4a + 2b + 4c
4a + 7b − 4c
4
7 −4
b .
b
=e
=e
−e
= e
9
9
9
−8a + 4b + 8c
8a − 4b − c
8 −4
1
c
c


1
4
8
1
Allts˚
a ges avbildningsmatrisen f¨
or speglingen S av A =
4
7 −4  .
9
8 −4
1
b) Id´en h¨
ar ¨
ar att utnyttja egenskapen hos S, dvs att normalen n avbildas p˚
a −n samt att
tv˚
a godtyckligt linj¨
art oberoende vektorer i planet W avbildas p˚
a sig sj¨alva. T.ex. tar vi
v 1 = 2e1 + 2e2 + e3 och v 2 = e1 − 2e2 + 2e3 i W . Detta ger att


 S(n) = −n
 S(2e1 − e2 − 2e3 ) = −2e1 + e2 + 2e3
S(v 1 ) = v 1
⇔
S(2e1 + 2e2 + e3 ) =
2e1 + 2e2 + e3


S(v 2 ) = v 2
S(e1 − 2e2 + 2e3 ) =
e1 − 2e2 + 2e3

1


(e1 + 4e2 + 8e3 )
S(e1 ) =


9

1
⇔
S(e2 ) =
(4e1 + 7e2 − 4e3 )

9


1

 S(e3 ) =
(8e1 − 4e2 + e3 )
9
vilket ger samma avbildningsmatris A som ovan. Systemet ovan l¨oses p.s.s i Exempel 16.13.
170
16
¨
LINJARA
AVBILDNINGAR
Exempel 16.19. Best¨
am matrisen f¨
or projektionen av rummet vinkelr¨at mot den r¨ata
linjen L : (x, y, z) = t(1, 2, −2)t (ON-bas).
L¨
osning: a) Projektionsformeln
b) P ¨ar linj¨
ar
Figur 16.20.
L
v
P(u) = u//v
u
v1
v2
O

 

1
a
L˚
at v = e  2  vara riktningsvektorn hos linjen och l˚
at u = e  b  vara en godtycklig
−2
c
vektor. Projektionsformeln ger:


1
a + 2b − 2c 
u·v
·v =e
2 
P (u) = ukv =
|v|2
9
−2



 
a + 2b − 2c
1
2 −2
a
1
1
= e  2a + 4b − 4c  = e  2
4 −4   b  .
9
9
−2a − 4b + 4c
−2 −4
4
c


1
2 −2
1
4 −4 .
Allts˚
a ges avbildningsmatrisen till projektionen P av A =  2
9
−2 −4
4
b) P projicerar riktningsvektorn v p˚
a sig sj¨alv, samt tv˚
a godtyckligt linj¨art oberoende
vektorer, ortogonala mot v, t.ex. v 1 = 2e1 + e2 + 2e3 och v 2 = 2e1 − 2e2 − e3 projiceras
p˚
a nollvektorn 0. Detta ger att


 P (v) = v
 P (e1 + 2e2 − 2e3 ) = e1 + 2e2 − 2e3
P (v 1 ) = 0 ⇔
P (2e1 + e2 + 2e3 ) = 0


P (v 2 ) = 0
P (2e1 − 2e2 − e3 ) = 0

 P (e1 ) = (e1 + 2e2 − 2e3 )/9
⇔
P (e2 ) = (2e1 + 4e2 − 4e3 )/9

P (e3 ) = (−2e1 − 4e2 + 4e3 )/9
Vi f˚
ar samma avbildningsmatris A som ovan.
16.3
171
Projektion och Spegling
Exempel 16.21. Best¨
am matrisen f¨or en spegling av rummet i den r¨ata linjen
L : (x, y, z) = t(1, 2, −2)t . Best¨
am ocks˚
a bilden av vektorn w = e1 + 2e2 + 3e3 . (ON-bas).
L¨
osning:
Figur 16.22.
L
v
u
S(u)
S(v2)
v1
v2
S(v1)
a) Eftersom spegelbilden uppfyller
S(u) = u − 2u⊥v


−7
4 −4
1
4 −1 −8 .
s˚
a ges avbildningsmatrisen av
9
−4 −8 −1
b) Alternativt kan vi l¨
osa ekvationssystemet

v
 S(v) =
S(v 1 ) = −v 1

S(v 2 ) = −v 2
d¨ar vektorerna v 1 och v 2 ¨
ar ortogonal mot v och kan vara som i Exempel 16.19.
Vidare g¨
aller att


 

−7
4 −4
−11
1
11
1
1
22
23
S(w) = e  4 −1 −8   2  = e  −22  = − e1 − e2 − e3 .
9
9
9
9
9
−4 −8 −1
−23
3