Transcript Linjära avbildningar III

Vektorgeometri f¨
or gymnasister
Per-Anders Svensson
http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html
Fakulteten f¨
or teknik
Linn´
euniversitetet
Linj¨
ara avbildningar III
Inneh˚
all
Repetition: Linj¨ara avbildningar
Inversen till en linj¨ar avbildning
Nollrum och v¨arderum
Dimensionssatsen
 mars 
2(24)
Repetition: Linj¨
ara avbildningar
Definition (Linj¨ar avbildning)
En avbildning F av rummets (planets) vektorer kallas linj¨
ar, om det
f¨
or varje par av vektorer x 1 och x 2 och varje par av reella tal λ1
och λ2 g¨aller att
F (λ1 x 1 + λ2 x 2 ) = λ1 F (x 1 ) + λ2 F (x 2 ).
Sats
Givet en linj¨
ar avbildning F av rummet och bas (e 1 , e 2 , e 3 ) f¨
or detta,
s˚
a finns det en 3 × 3-matris A som representerar F , i det avseendet
att ekvationen y = F (x ) motsvaras av Y = AX, d¨
ar Y och X ¨
ar
kolonnmatriser svarar mot vektorerna y respektive x . Kolonnerna i A
best˚
ar av koordinaterna f¨
or F (e 1 ), F (e 2 ) och F (e 3 ).
Sats
Om F och G ¨
ar linj¨
ara avbildningar av rummets (planets) vektorer,
med respektive avbildningsmatriser A och B, s˚
a¨
ar sammans¨
attningen
G ◦ F , som definieras av G ◦ F (x ) = G(F (x )), ocks˚
a en linj¨
ar
avbildning, med BA som avbildningsmatris.
 mars 
3(24)
Inversen till en linj¨ar avbildning
L˚
at F vara en linj¨ar avbildning av rummet (eller planet) som i en
given bas har avbildningsmatrisen A. D˚
a motsvaras allts˚
a ekvationen
y = F (x ) av matrisekvationen Y = AX .
Antag nu att A ¨ar inverterbar. L˚
at G vara den linj¨
ara avbildning som
har A−1 som avbildningsmatris. D˚
a motsvaras ekvationen y = G(x )
av Y = A−1 X . Vad ¨ar G f¨
or slags avbildning, j¨
amf¨
ort med F ?
F¨
or att p˚
a n˚
agot s¨att kunna relatera G till F , unders¨oker vi
sammans¨attningen G ◦ F . Eftersom F och G har A respektive A−1
som avbildningsmatriser, s˚
a kommer G ◦ F ha avbildningsmatrisen
A−1 A = E , d.v.s. G ◦ F = I ¨
ar identitetsavbildningen (I (x ) = x f¨or
alla x ).
Man skulle kunna s¨aga att G ”st¨
adar upp” efter F : Om F avbildar en
viss vektor x p˚
a en ny vektor y = F (x ), s˚
a avbildar G i sin tur
tillbaka y p˚
a x , eftersom G(y ) = G(F (x )) = G ◦ F (x ) = I (x ) = x .
P˚
a samma vis st¨adar F upp efter G, ty a
¨ven F ◦ G = I , i och med att
avbildningsmatrisen f¨or F ◦ G ocks˚
aa
r
enhetsmatrisen:
AA−1 = E .
¨
 mars 
4(24)
Exempel
e2
x
L˚
at F vara den avbildning som roterar
varje vektor i planet runt origo med
α
vinkeln α, s˚
asom det visas i figuren till F (x )
e1
h¨
oger (d¨ar (e 1 , e 2 ) ¨ar en ON-bas).
y
α
Om G ¨ar den avbildning roterar varje
vektor i planet med samma vinkel α,
fast ˚
at andra h˚
allet, s˚
a g¨
aller
G(y )
F ◦ G = G ◦ F = I.
Vi ser att G ”st¨adar upp” efter F , genom att rotera varje vektor
tillbaka till ursprungsl¨
aget, d.v.s. om F (x ) = y , s˚
a blir G(y ) = x .
(Och omv¨ant, anv¨ander man f¨
orst G, d¨
arefter F , s˚
a kommer F att
”st¨
ada upp” efter G p˚
a samma s¨
att.)
 mars 
5(24)
Vi har hittills konstaterat f¨
oljande:
Om F ¨
ar en linj¨
ar avbildning som har en inverterbar
avbildningsmatris A, s˚
a finns det en linj¨
ar avbildning G som
uppfyller F ◦ G = G ◦ F = I , n¨
amligen den linj¨
ara avbildning
som har A−1 som sin avbildningsmatris.
Vi ska nu g¨ora en liten generalisering, genom att sl¨
appa kravet p˚
a
att F ¨
ar linj¨ar. D˚
a kan vi inte representera F med en matris. Men det
g˚
ar ¨
and˚
a hitta villkor p˚
a F som g¨
or att det finns en avbildning G med
egenskapen F ◦ G = G ◦ F = I .
F¨
or att id´e om vad vilka krav F m˚
aste uppfylla, ska vi studera ett
konkret exempel d¨ar det inte finns ett G med ovanst˚
aende egenskaper.
 mars 
6(24)
Exempel
L˚
at F beteckna den ortogonala projektionen av rummets vektorer p˚
a
givet plan genom origo. H¨
ar finns det ingen avbildning G som kan
”st¨
ada upp” efter F , av tv˚
a anledningar:
1. Vektorn y ligger inte i planet. Vi vill att G(y ) ska vara lika med
en vektor x som uppfyller F (x ) = y . Men eftersom F ¨ar en
projektion p˚
a ett plan, ligger varje F (x ) i detta plan. Allts˚
a finns
det ingen vektor x , s˚
adan att F (x ) = y ; G(y ) kan ej definieras.
2. Vektorn z ligger i planet, s˚
a h¨
ar g˚
ar det att hitta x som uppfyller
F (x ) = z . Men ˚
a andra sidan finns det h¨
ar o¨
andligt m˚
anga
s˚
adana x att v¨alja p˚
a; i figuren skulle t.ex. b˚
ade x = x 1 och
x = x 2 duga, och vi kan inte veta om vi ska ha G(z ) = x 1 eller
G(z ) = x 2 ; vi ”hittar inte tillbaka”!
x2
x1
z
y
 mars 
7(24)
L˚
at F vara en avbildning av rummet (planet). Med f¨oreg˚
aende
exempel i ˚
atanke, kan vi formulera f¨
oljande tv˚
a krav p˚
a F som m˚
aste
vara uppfyllda, f¨or att det ska finnas en avbildning G med egenskapen
F ◦ G = G ◦ F = I:
L˚
at y vara en vektor i rummet. D˚
a ska G(y ) vara lika med en
vektor x som uppfyller F (x ) = y , vilket inneb¨
ar att:
• F¨
or det f¨orsta m˚
aste det finnas ˚
atminstone ett x som uppfyller
F (x ) = y , annars vet vi ju inte alls vad G ska ”hitta p˚
a” med y .
(F m˚
aste vara, som man s¨
ager, surjektiv.)
• F¨
or det andra f˚
ar det inte finnas mer ¨
an ett x som uppfyller
F (x ) = y , ty om det finns tv˚
a olika vektorer x 1 och x 2 som
uppfyller F (x 1 ) = F (x 2 ) = y , s˚
a kan vi inte veta om G ska
avbilda y tillbaka p˚
a x 1 eller p˚
a x 2 . (F m˚
aste vara, som man
s¨
ager, injektiv.)
• Slutsatsen blir allts˚
a att det m˚
aste finnas exakt ett x som
uppfyller F (x ) = y . (F m˚
aste vara, som man s¨
ager, bijektiv.)
 mars 
8(24)
Definition (Injektiv, surjektiv, resp. bijektiv avbildning)
En avbildning F av rummet (planet) kallas
(i) injektiv, om F (x 1 ) 6= F (x 2 ) n¨
arhelst x 1 6= x 2 , eller ekvivalent:
F¨
or varje vektor y finns det h¨
ogst en vektor x som uppfyller
F (x ) = y .
(ii) surjektiv, om varje vektor y i rummet ¨
ar bilden av n˚
agon
vektor x genom F , eller ekvivalent: F¨
or varje vektor y finns det
minst en vektor x som uppfyller F (x ) = y .
(iii) bijektiv, om F ¨ar b˚
ade injektiv och surjektiv, eller ekvivalent:
F¨
or varje vektor y finns det exakt en vektor x som uppfyller
F (x ) = y .
Av den tidigare diskussionen framg˚
ar det att F m˚
aste vara bijektiv f¨or
att garantera att det finns en avbildning G som ”st¨adar upp” efter F .
Vi s¨
ager d˚
a att F har en invers:
Definition (Invers)
L˚
at F vara en avbildning av rummet (planet). Om det finns en
avbildning G som uppfyller F ◦ G = G ◦ F = I , s˚
a kallas G f¨or en
invers till F , och vi skriver G = F −1 .
 mars 
9(24)
F¨
or just linj¨
ara avbildningar g¨
aller f¨
oljande sats:
Sats
L˚
at F vara en linj¨
ar avbildning av rummet och antag att F i basen
(e 1 , e 2 , e 3 ) har avbildningsmatrisen A. D˚
a¨
ar f¨
oljande p˚
ast˚
aenden
ekvivalenta:
(i) F ¨
ar injektiv
(ii) F ¨
ar surjektiv
(iii) F a
¨r bijektiv
(iv) F (u ) = 0 endast om u = 0
(v) (F (e 1 ), F (e 2 ), F (e 3 )) ¨
ar en bas
(vi) Kolonnvektorerna i A ¨
ar linj¨
art oberoende
(vii) Radvektorerna i A a
r
linj¨
a
rt
oberoende
¨
(viii) A ¨
ar inverterbar
(ix) det A 6= 0
(x) Ekvationssystemet AX = Y har en entydig l¨
osning, f¨
or varje
h¨
ogerled Y.
Om n˚
agot av de tio villkoren ovan a
a har F en invers F −1 .
¨r uppfyllt, s˚
−1
Denna a
r
ocks˚
a
linj¨
a
r,
och
har
A
som
avbildningsmatris.
¨
 mars 
10(24)
Exempel
I ett exempel fr˚
an f¨orra g˚
angen fann vi att om man i en positivt
orienterad ON-bas (e 1 , e 2 , e 3 ) roterar varje vektor i rummet 90◦
runt e 3 , i riktningen moturs sett fr˚
an spetsen av e 3 , s˚
a f˚
ar man en
linj¨
ar avbildning R som i denna bas har avbildningsmatrisen


0 −1 0
0 0 .
A = 1
0
0 1
Vi har h¨ar det A = 1 6= 0, s˚
a satsen ovan ger att R har en invers R −1 .
Denna kan beskrivas som rotation 90◦ runt e 3 i medurs riktning, sett
fr˚
an spetsen av e 3 , och har som avbildningsmatris


0 1 0
A−1 = −1 0 0 .
0 0 1
 mars 
11(24)
Exempel
F¨
orra g˚
angen konstaterade vi att en spegling S i ett plan har en
avbildningsmatris, vars determinant ¨
ar lika med −1. Eftersom −1 6= 0,
ar allts˚
a d¨arf¨or en spegling som avbildning alltid bijektiv, d.v.s. den
¨
har en invers. Eftersom S ◦ S = I , ¨
ar S −1 = S . F¨
or motsvarande
avbildningsmatriser g¨aller d¨
armed A−1 = A.
Exempel
F¨
orra g˚
angen konstaterade vi ocks˚
a att en (ortogonal eller sned)
projektion P p˚
a ett plan har en avbildningsmatris, vars determinant
ar lika med 0. F¨oreg˚
aende sats ger d¨
armed att en s˚
adan avbildning
¨
saknar invers.
 mars 
12(24)
Nollrum och v¨
arderum
Vi definierar f¨orst fyra stycken linj¨
ara avbildningar av rummet, som vi
fram¨
over ska anv¨anda f¨
or att illustrera s.k. nollrum och v¨arderum till
linj¨
ara avbildningar.
1. F1 ¨ar den linj¨ara avbildning som speglar varje vektor i planet
x1 + 2x2 − 2x3 = 0.
2. F2 ¨ar den linj¨ara avbildning som projicerar varje vektor
ortogonalt mot planet 2x1 − 3x2 + x3 = 0.
3. F3 ¨ar den linj¨ara avbildning som projicerar varje vektor
ortogonalt mot den r¨
ata linjen (x1 , x2 , x3 ) = t (1, −1, 1).
a
4. F4 ¨ar den linj¨ara avbildning som avbildar varje vektor p˚
nollvektorn.
Vi beskriver ¨oversiktligt hur man plockar fram en avbildningsmatris
f¨
or respektive avbildning; fyll p˚
a egen hand i detaljerna.
 mars 
13(24)
F1 : Spegling i planet x1 + 2x2 − 2x3 = 0.
Om u ¨
ar den ortogonala projektionen av x p˚
a planets
normalvektor n = (1, 2, −2), s˚
a¨
ar u = λn, d¨
ar projektionsformeln ger
att λ = (x · n)/|n|2 . Vi f˚
ar den allm¨
anna formeln
F1 (x ) = x − 2λn,
med vars hj¨alp vi kan ber¨
akna F1 (e 1 ), F1 (e 2 ) och F1 (e 3 ); dessa
vektorers koordinater blir sedan kolonnerna i matrisen f¨or F1 .
n
x
2u = 2λn
F1 (x )
( 97 , − 49 , 49 ),
Det visar sig att F1 (e 1 ) =
F1 (e 2 ) = (− 49 , 19 , 89 ) och
4 8 1
F1 (e 3 ) = ( 9 , 9 , 9 ), s˚
a F1 har som avbildningsmatris


7 −4 4
1
−4
1 8 .
A1 =
9
4
8 1
 mars 
14(24)
F2 : Ortogonal projektion p˚
a planet 2x1 − 3x2 + x3 = 0.
Om u ¨
ar den ortogonala projektionen av x p˚
a planets
normalvektor n = (2, −3, 1), s˚
a¨
ar enligt projektionsformeln u = λn,
d¨
ar λ = (x · n)/|n|2 . Den allm¨
anna formeln blir
F2 (x ) = x − λn,
med vars hj¨alp vi ber¨aknar F2 (e 1 ), F2 (e 2 ) och F2 (e 3 ); dessa
vektorers koordinater blir sedan kolonnerna i matrisen f¨or F2 .
n
x
u = λn
F2 (x )
5
3
Vi f˚
ar F2 (e 1 ) = ( 75 , 37 , − 17 ), F2 (e 2 ) = ( 37 , 14
, 14
) och
1 3 13
F2 (e 3 ) = (− 7 , 14 , 14 ), s˚
a F2 har avbildningsmatrisen


10 6 −2
1 
6 5
3 .
A2 =
14
−2 3 13
 mars 
15(24)
F3 : Ortogonal projektion p˚
a den r¨
ata linjen (x1 , x2 , x3 ) = t (1, −1, 1).
Den allm¨anna formeln ges h¨
ar av
F3 (x ) = λv ,
d¨
ar v = (1, −1, 1) ¨ar en riktningsvektor f¨
or linjen och d¨ar
λ = (x · v )/|v |2 , enligt projektionsformeln.
F3 (x )
x
( 13 , − 13 , 13 ),
F3 (e 2 ) = (− 13 , 13 , − 13 ) och
Det visar sig att F3 (e 1 ) =
1 1
1
a avbildningsmatrisen till F3 ges av
F3 (e 3 ) = ( 3 , − 3 , 3 ), s˚


1 −1
1
1
−1
1 −1 .
A3 =
3
1 −1
1
 mars 
16(24)
F4 : Varje vektor avbildas p˚
a nollvektorn.
H¨
ar har den allm¨anna formeln givetvis utseendet
F4 (x ) = 0.
ar d¨
armed nollmatrisen av typ 3 × 3, d.v.s.
Avbildningsmatrisen till F4 ¨


0 0 0
A4 = 0 0 0 ,
0 0 0
eftersom F4 (e 1 ) = F4 (e 2 ) = F4 (e 3 ) = 0.
 mars 
17(24)
Definition (V¨arderum)
L˚
at F vara en linj¨ar avbildning av rummet (planet). D˚
a kallas
arderummet till F och
m¨
angden av alla m¨ojliga bilder F (u ) f¨
or v¨
betecknas V (F ).
Exempel
Hur ser v¨arderummet ut f¨
or avbildningarna F1 , F2 , F3 och F4 ?
(i) F¨
or F1 (spegling i planet x1 + 2x2 − 2x3 = 0) g¨aller att alla
vektorer i rummet ¨
ar en spegelbild av n˚
agon vektor. Allts˚
a ¨ar
V (F1 ) hela rummet.
(ii) F¨
or F2 (ortogonal projektion p˚
a planet 2x1 − 3x2 + x3 = 0) s˚
a ¨ar
V (F2 ) just detta plan. Alla vektorer projiceras ju dit, och till
varje vektor v i detta plan kan man hitta en vektor i rummet
som projiceras p˚
a v (t.ex. v sj¨
alv).
(iii) Betr¨affande F3 (ortogonal projektion p˚
a den r¨
ata linjen
(x1 , x2 , x3 ) = t (1, −1, 1)), s˚
a utg¨
or just denna linje V (F3 ); inses
med ett snarlikt resonemang som f¨
or V (F2 ).
(iv) V¨arderummet till avbildningen F4 (alla vektorer avbildas p˚
a
nollvektorn) best˚
ar givetvis enbart av nollvektorn; V (F4 ) = {0}.
 mars 
18(24)
Varje bas f¨or rummets vektorer best˚
ar ju av tre vektorer. Vi s¨ager
d¨
arf¨
or att rummet har dimensionen 3.
P˚
a samma s¨att kan vi s¨
aga att ett plan genom origo har
dimensionen 2, eftersom ju det avkr¨
avs tv˚
a (icke-parallella) vektorer
f¨
or att sp¨anna upp ett s˚
adant plan.
En r¨
at linje genom origo har ˚
a sin sida dimensionen 1, f¨or vi beh¨over
endast en vektor (riktningsvektorn) f¨
or att specificera vilken linje det
ar fr˚
agan om.
¨
Vidare inf¨or vi som praxis att en m¨
angd som bara best˚
ar av
nollvektorn har dimensionen 0.
Med f¨
oreg˚
aende i exempel i ˚
atanke, kan d¨
arf¨
or konstatera att V (F1 ),
V (F2 ), V (F3 ) och V (F4 ) i tur och ordning har dimensionen 3, 2, 1
respektive 0. Vi skriver detta som
dim V (F1 ) = 3
dim V (F2 ) = 2
dim V (F3 ) = 1
dim V (F4 ) = 0.
 mars 
19(24)
Definition (Nollrum)
L˚
at F vara en linj¨ar avbildning av rummet (planet). Med nollrummet
till F avses m¨angden av alla vektorer som F avbildar p˚
a nollvektorn.
Vi betecknar denna m¨angd med N (F ). Med matematiska
beteckningar:
N (F ) = {x | F (x ) = 0}
(vilket vi l¨aser som ”m¨
angden av alla x s˚
adana att F (x ) = 0”).
Exempel
Vi ska i tur och ordning best¨
amma nollrummet till var och av de
linj¨
ara avbildningarna F1 , F2 , F3 och F4 ovan.
F1 : Spegling i planet x1 + 2x2 − 2x3 = 0.
Nollrummet N (F1 ) best˚
ar av alla vektorer som uppfyller F1 (x ) = 0.
ar bijektiva), ger den sats vi
Eftersom F1 ¨ar bijektiv (alla speglingar ¨
formulerade tidigare, att F1 (x ) = 0 endast n¨
ar x = 0. Allts˚
a ¨ar
N (F1 ) = {0}, vilket betyder att dim N (F1 ) = 0.
 mars 
20(24)
F2 : Ortogonal projektion p˚
a planet 2x1 − 3x2 + x3 = 0.
Om vi t¨
anker geometriskt, b¨
or nollrummet bli linjen
(x1 , x2 , x3 ) = t (2, −3, 1), d.v.s. den linje som g˚
ar genom origo och har
planets normalvektor n = (2, −3, 1) som riktningsvektor; detta p˚
a
grund av att denna linje ¨
ar parallell med riktningen p˚
a projektionen.
Vi kan ¨aven bekr¨afta detta algebraiskt: Nollrummet N (F2 ) inneh˚
aller
ju alla vektorer x som uppfyller F2 (x ) = 0, vilket p˚
a matrisform
svarar mot ekvationen A2 X = O, d¨
ar


10 6 −2
1 
6 5
3
A2 =
14
−2 3 13
ar avbildningsmatrisen f¨
or F2 . Vi
¨

 10x1 + 6x2 − 2x3
6x1 + 5x2 + 3x3

−2x1 + 3x2 + 13x3
l¨
oser detta ekvationssystem:

=0
x1 = 2t
= 0 ⇐⇒ x2 = −3t

=0
x3 =
t
och f˚
ar att nollrummet blir precis den r¨
ata linje vi misst¨ankte.
Eftersom N (F2 ) blev en r¨
at linje, konstaterar vi samtidigt att
dim N (F2 ) = 1.
 mars 
21(24)
F3 : Ortogonal projektion p˚
a den r¨
ata linjen (x1 , x2 , x3 ) = t (1, −1, 1).
Vi s¨
oker h¨ar alla vektorer som uppfyller F3 (x ) = 0. P˚
a matrisform
blir detta A3 X = O, d¨ar


1 −1
1
1
−1
1 −1
A3 =
3
1 −1
1
ar avbildningsmatrisen till F3 . Vi f˚
ar ekvationssystemet
¨

 x1 − x2 + x3 = 0
−x1 + x2 − x3 = 0

x1 − x3 + x3 = 0.
H¨
ar ¨
ar alla tre ekvationerna ekvivalenta med x1 − x2 + x3 = 0, vilket
ar ekvationen f¨or det plan genom origo som har den givna r¨ata linjens
¨
riktningsvektor v = (1, −1, 1) som normalvektor. Detta plan utg¨or
allts˚
a N (F3 ), s˚
a d¨armed ¨
ar dim N (F3 ) = 2.
Ett geometriskt resonemang kan g¨
oras ¨
aven i detta fall: Eftersom det
r¨
or sig om en ortogonal projektion p˚
a en r¨
at linje, b¨or nollrummet
best˚
a av alla vektorer som ¨
ar ortogonala mot linjens riktningsvektor v .
Dessa vektorer ligger precis i det plan som har v som normalvektor.
 mars 
22(24)
F4 : Varje vektor avbildas p˚
a nollvektorn.
Eftersom det f¨or samtliga vektorer x i rummet g¨
aller att F4 (x ) = 0,
s˚
a utg¨
ors N (F4 ) av hela rummet. S˚
aledes ¨
ar dim N (F4 ) = 3.
Vi kan sammanfatta v˚
ar unders¨
okning av nollrum och v¨arderum hos
avbildningarna Fi , i = 1, 2, 3, 4, i form av f¨
oljande tabell:
Fi
F1
F2
F3
F4
dim N (Fi )
0
1
2
3
dim V (Fi )
3
2
1
0
Summan av dimensionerna hos nollrum och v¨
arderum tycks
genomg˚
aende bli 3 . . .
 mars 
23(24)
Dimensionssatsen
Sats (Dimensionssatsen)
Om F ¨
ar en linj¨
ar avbildning av rummet, s˚
a¨
ar
dim N (F ) + dim V (F ) = 3.
Satsen kan formuleras ¨aven f¨
or varje avbildning F av planet, fast d˚
a
blir alltid dim N (F ) + dim V (F ) = 2.
N¨
asta f¨orel¨asning kommer vi inleda med ett par exempel som visar
hur man med hj¨alp av dimensionssatsen f¨
or en linj¨
ar avbildning kan
best¨
amma dess nollrum och v¨
arderum, ¨
aven om vi saknar en
geometrisk beskrivning av avbildningen (som vi hade med
avbildningarna Fi ovan; vi visste att dessa var speglingar eller
projektioner).
TO BE CONTINUED
 mars 
24(24)