Transcript Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri f¨
or gymnasister
Per-Anders Svensson
http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html
Fakulteten f¨
or teknik
Linn´
euniversitetet
Vektorer i planet och i rummet III
Inneh˚
all
Kort repetition: Bas och koordinater
Basbyten
En geometrisk beskrivning av ett basbyte i planet
Ett konkret exempel p˚
a ett basbyte i planet
Basbyte i planet; allm¨
anna fallet
Basbyte i rummet
Krav p˚
a en bas
 oktober 
2(15)
Kort repetition: Bas och koordinater
Om e 1 , e 2 , e 3 a¨r tre vektorer i rummet, som inte alla ¨ar parallella med
ett och samma plan, s˚
a kan varje vektor v p˚
a entydigt vis skrivas som
v = x1 e 1 + x2 e 2 + x3 e 3 .
Vi s¨
ager (x1 , x2 , x3 ) ¨ar koordinaterna f¨
or v i basen (e 1 , e 2 , e 3 ).
L
v = x1 e 1 + x2 e 2 + x3 e 3
v 3 = x3 e 3
e3
M
e2
u = x1 e 1 + x2 e 2
e1
 oktober 
3(15)
Basbyten
N¨
ar man ska arbeta med ett visst problem som har med vektorer att
g¨
ora, s˚
a brukar dessa i regel antas ha sina koordinater givna i en
f¨
orutbest¨amd bas, ofta en s.k. ”standardbas”.
Det ¨
ar dock inte i alla l¨
agen som denna bas ¨
ar skr¨
addarsydd f¨or det
problem som man har att l¨
osa.
Vad man d˚
a kan g¨ora ¨ar att byta bas, mot en som passar b¨attre in f¨or
det aktuella problemet.
Men om en vektor har en viss upps¨
attning av koordinater i den bas
man har fr˚
an b¨orjan, s˚
a kommer koordinaterna bli annorlunda i den
nya basen. Fr˚
agan ¨ar d˚
a, om det finns n˚
agot enkelt samband mellan
koordinaterna f¨or viss vektor i tv˚
a olika baser?
 oktober 
4(15)
En geometrisk beskrivning av ett basbyte i planet
En vektor u har koordinaterna (x1 , x2 ) i en bas (e 1 , e 2 ) f¨or planet,
d.v.s. u = x1 e 1 + x2 e 2 . L˚
at (f 1 , f 2 ) vara en annan bas f¨or planet, och
antag att u i denna bas har koordinaterna (y1 , y2 ), d.v.s.
u = y1 f 1 + y2 f 2 . Finns det ett enkelt s¨
att r¨
akna ut (y1 , y2 ) med hj¨alp
av (x1 , x2 )?
y2
x2
f2
u
e2
e1
x1
f1
 oktober 
y1
5(15)
Ett konkret exempel p˚
a ett basbyte i planet
L˚
at (e 1 , e 2 ) vara en bas f¨
or planet (vilket inneb¨
ar att e 1 och e 2 inte
ar parallella). Antag u = (2, 3) i denna bas, vilket betyder att
¨
u = 2e 1 + 3e 2 . (Rita g¨
arna en bild!)
L˚
at f 1 = (1, 1) och f 2 = (−1, 2) vara tv˚
a andra vektorer. Dessa tv˚
a
vektorer ¨ar inte parallella, eftersom det inte finns ett tal λ s˚
a att
f 2 = λf 1 . Allts˚
a kan vi ¨
aven anv¨
anda (f 1 , f 2 ) som bas f¨or planet.
¨
Annu
s˚
a l¨ange vet vi inte vilka koordinater u har i basen (f 1 , f 2 ), s˚
a
vi s¨
atter tills vidare u = y1 f 1 + y2 f 2 , d¨
ar (y1 , y2 ) allts˚
a ¨ar de
koordinater vi hoppas kunna r¨
akna ut.
Att f 1 = (1, 1) i basen (e 1 , e 2 ) betyder att f 1 = e 1 + e 2 . P˚
a samma
s¨
att ¨
ar f 2 = (−1, 2) samma sak som f 2 = −e 1 + 2e 2 . Detta ger nu
u = y1 f 1 + y2 f 2 = y1 (e 1 + e 2 ) + y2 (−e 1 + 2e 2 )
= (y1 − y2 )e 1 + (y1 + 2y2 )e 2 .
Men koordinaterna f¨or en vektor i en given bas ¨
ar ju entydigt
best¨
amda, och vi vet att u = 2e 1 + 3e 2 . Allts˚
a m˚
aste
y1 − y2 = 2
y1 + 2y2 = 3.
 oktober 
6(15)
Vi fick ett linj¨art ekvationssystem att l¨
osa. Just detta system
y1 − y2 = 2
y1 + 2y2 = 3
visar sig ha l¨osningen
y1 = 7/3
y2 = 1/3,
och allts˚
a ¨ar
1
7
f + f ,
3 1 3 2
d.v.s. vi har att u = (7/3, 1/3) i basen (f 1 , f 2 ).
u = y1 f 1 + y2 f 2 =
Anm¨arkning
P˚
a matrisform f˚
ar ekvationssystemet ovan utseendet
2
1 −1
y1
=
3
y2
1
2
Studera kolonnerna i koefficientmatrisen! De a
¨r ju desamma som
koordinaterna f¨or de basvektorerna f 1 och f 2 i basen (e 1 , e 2 ); vi hade
¨ detta m˚
ju f 1 = (1, 1) och f 2 = (−1, 2). Ar
anne bara en slump. . . ?
 oktober 
7(15)
Basbyte i planet; allm¨
anna fallet
L˚
at (e 1 , e 2 ) vara en bas f¨
or planet, och att u = (x1 , x2 ) i denna bas.
Vi ¨
onskar nu g¨ora att basbyte till en ny bas (f 1 , f 2 ). Antag
u = (y1 , y2 ) i denna nya bas. Vi vill hitta ett allm¨
ant samband mellan
de ”gamla” koordinaterna (x1 , x2 ) och de ”nya” (y1 , y2 ). F¨or att g¨ora
detta, apar vi efter f¨oreg˚
aende exempel. Skillnaden blir endast att vi
byter ut alla siffror i exemplet mot bokst¨
aver.
F¨
orst konstaterar vi att u = (x1 , x2 ) i basen (e 1 , e 2 ) betyder att
u = x1 e 1 + x2 e 2 ,
och att u = (y1 , y2 ) i basen (f 1 , f 2 ) inneb¨
ar att
u = y1 f 1 + y2 f 2 .
Vektorerna f 1 och f 2 har ju entydigt best¨
amda koordinater i basen
(e 1 , e 2 ). I f¨orra exemplet var f 1 = (1, 1) och f 2 = (−1, 2). H¨ar s¨atter
vi f 1 = (a11 , a12 ) och f 2 = (a21 , a22 ), vilket betyder att
f 1 = a11 e 1 + a12 e 2
 oktober 
och f 2 = a21 e 1 + a22 e 2 .
8(15)
Vi f˚
ar nu att
u = y1 f 1 + y2 f 2 = y1 (a11 e 1 + a12 e 2 ) + y2 (a21 e 1 + a22 e 2 )
= (a11 y1 + a21 y2 )e 1 + (a12 y1 + a22 y2 )e 2 .
Eftersom vi ocks˚
a har u = x1 e 1 + x2 e 2 , m˚
aste d¨
armed
y1
a11 a21
x1 = a11 y1 + a21 y2
x1
⇐⇒ X = TY ,
=
⇐⇒
y2
a12 a22
x2 = a12 y2 + a22 y2
x2
d¨
ar
x
X = 1 ,
x2
a11
T =
a12
a21
a22
y
och Y = 1 .
y2
Notera att kolonnerna hos matrisen T verkligen blir desamma som
koordinaterna f¨or vektorerna f 1 = (a11 , a12 ) och f 2 = (a21 , a22 ) i
basen (e 1 , e 2 ).
Matrisekvationen X = TY uttrycker de ”gamla” koordinaterna (som
finns hos X ) med hj¨alp av de ”nya” (som finns hos Y ). Det ¨ar inte
riktigt det vi vill ha; vi vill ju kunna r¨
akna ut de nya koordinaterna
med hj¨
alp av de gamla. Men X = TY kan ¨
aven skrivas Y = T −1 X
(om matrisen T ¨ar inverterbar), och d˚
a f˚
ar vi det vi ¨ar ute efter: de
nya
koordinaterna
uttryckta
med
hj¨
a
lp
av
de gamla.
 oktober 
9(15)
Vi sammanfattar:
• L˚
at vara (e 1 , e 2 ) en bas f¨
or planet.
• L˚
at (f 1 , f 2 ) vara en ny bas f¨
or planet. Bilda en matris T genom
att som dess kolonner v¨
alja koordinaterna f¨
or i tur och
ordning f 1 och f 2 , uttryckta i basen (e 1 , e 2 ).
• L˚
at u vara en godtycklig vektor i planet. L˚
at X vara den
kolonnmatris, vars element utg¨
ors av koordinaterna f¨or u i den
gamla basen (e 1 , e 2 ).
• Om Y ¨
ar den kolonnmatris, vars element utg¨
ors av koordinaterna
f¨
or u i den nya basen (f 1 , f 2 ), s˚
a g¨
aller
X = TY .
Om matrisen T ¨ar inverterbar, s˚
a f˚
ar vi de nya koordinaterna
uttryckta med hj¨alp av de gamla, med hj¨
alp av formeln
Y = T −1 X .
 oktober 
10(15)
Basbyte i rummet
Ovanst˚
aende fungerar precis lika bra f¨
or basbyten i rummet.
• L˚
at vara (e 1 , e 2 , e 3 ) en bas f¨
or rummet.
• L˚
at (f 1 , f 2 , f 3 ) vara en ny bas f¨
or rummet. Bilda en matris T
genom att som dess kolonner v¨
alja koordinaterna f¨or i tur och
ordning f 1 , f 2 och f 3 , uttryckta i basen (e 1 , e 2 , e 3 ).
• L˚
at u vara en vektor i rummet. L˚
at X vara den kolonnmatris,
vars element ¨ar u:s koordinater i den gamla basen (e 1 , e 2 , e 3 ).
• Om Y ¨
ar den kolonnmatris, vars element utg¨
ors av koordinaterna
f¨
or u i den nya basen (f 1 , f 2 , f 3 ), s˚
a g¨
aller
X = TY .
Om matrisen T ¨ar inverterbar, s˚
a f˚
ar vi med hj¨
alp av formeln
Y = T −1 X
de nya koordinaterna Y uttryckta med hj¨
alp av de gamla X .
Matrisen T ovan ¨ar en s.k. transformationsmatris eller basbytesmatris.
Man kan visa att en s˚
adan alltid ¨
ar inverterbar.
 oktober 
11(15)
Krav p˚
a en bas
Vi tittar lite n¨armare p˚
a proceduren f¨
or ett basbyte. Fr˚
an b¨orjan har
vi givet en bas av antingen tv˚
a eller tre vektorer, beroende p˚
a om vi
befinner oss i planet eller rummet. D¨
arefter ska vi v¨alja en ny bas. . .
Men hur kan man egentligen veta att en upps¨
attning vektorer
verkligen ¨
ar en bas?
• Basvektorerna m˚
aste sp¨
anna upp rummet/planet, d.v.s. varje
vektor i rummet/planet ska kunna skrivas som en
linj¨arkombination av basvektorerna.
• Basvektorerna m˚
aste vara linj¨
art oberoende (ingen av dem ska
kunna skrivas som en linj¨
arkombination av de ¨ovriga).
• F¨
or en bas i planet betyder detta att vektorerna i basen m˚
aste
vara tv˚
a till antalet, och att dessa inte f˚
ar vara parallella.
• F¨
or en bas i rummet m˚
aste det finnas tre basvektorer, och dessa
f˚
ar inte vara parallella med samma plan.
 oktober 
12(15)
Exempel
I ett exempel fr˚
an f¨orra f¨
orel¨
asningen fann vi att vektorerna
u 1 = (4, −1, −1), u 2 = (3, 2, 0) och u 3 = (−3, −2, 1) ¨ar linj¨art
ar tal s˚
adana att
oberoende, d.v.s. om λ1 , λ2 , λ3 ¨
λ1 u 1 + λ2 u 2 + λ3 u 3 = 0,
s˚
a m˚
aste λ1 = λ2 = λ3 = 0. Vi konstaterade detta genom att l¨osa ett
homogent ekvationssystem AX = O, d¨
ar kolonnerna hos matrisen A
best˚
ar av koordinaterna hos vektorerna u 1 , u 2 , u 3 .
Att u 1 , u 2 , u 3 ¨ar linj¨art oberoende betyder att vi skulle kunna
anv¨
anda dessa vektorer som en bas f¨
or rummet, om vi vill. Om en
vektor v har koordinaterna (4, −1, 1) i den gamla basen (d.v.s. den vi
har given fr˚
an b¨orjan), vilka blir dess koordinater i basen (u 1 , u 2 , u 3 )?
 oktober 
13(15)
L˚
at kolonnmatriserna X och Y svara mot koordinaterna hos v i den
gamla respektive nya basen. D˚
a g¨
aller sambandet
X = TY ,
d¨
ar T ¨
ar transformationsmatrisen.
Eftersom u 1 = (4, −1, −1), u 2 = (3, 2, 0) och u 3 = (−3, −2, 1), s˚
a blir
i det h¨
ar fallet


4 3 −3
T = −1 2 −2 .
−1 0
1
Vidare hade vi v = (4, −1, 1) i den gamla basen, s˚
a
 
4
X = −1 .
1
I den nya basen vet vi a
ar, s˚
a vi s¨atter
¨nnu inte vilka koordinater v f˚
 
y1
Y = y2  .
y3
 oktober 
14(15)
Vi ska l¨osa matrisekvationen X = TY , vilket ¨
ar samma sak som

 4y1 + 3y2 − 3y3 = 4
−y1 + 2y2 − 2y3 = −1

−y1
+ y3 = 1.
Med hj¨alp av Gausselimination f˚
ar vi att

y1 = 1
y2 = 2

y3 = 2.
Allts˚
a¨
ar v = (1, 2, 2) i basen (u 1 , u 2 , u 3 ), d.v.s.
v = u 1 + 2u 2 + 2u 3 .
Anm¨arkning
L¨
agg m¨arke att transformationsmatrisen T bildas p˚
a samma s¨att som
vi bildade matrisen A i exemplet fr˚
an den f¨
orra f¨
orel¨asningen. D˚
a l¨oste
vi ett homogent ekvationssystem AX = O. H¨
ar l¨
oser vi ett inhomogent
ekvationssystem TY = X med samma koefficientmatris (A = T ).
 oktober 
15(15)