Transcript Normalmoder hos kopplade pendlar

23 december 2014
FYTA12
Laboration K1
Normalmoder hos kopplade pendlar
(Efter original av Bj¨orn Samuelsson)
Handledare: Jesper Roy Christiansen
Epost: [email protected]
1
1
Inledning
Ett system som best˚
ar av N oscillerande kroppar kan beskrivas genom en
linj¨
arkombination av systemets normalmoder. En normalmod a¨r en l¨osning
d¨ar alla kroppar sv¨
anger med samma frekvens. Normalmoder ¨ar viktiga i
m˚
anga olika sammanhang – allt fr˚
an atomers oscillationer i kristaller till
vibrationer i musikinstrument och sv¨angningar av h¨oga byggnader under
jordb¨
avningar. I den h¨
ar laborationen unders¨oks normalmoderna f¨or tv˚
a
kopplade pendlar.
2
Teori
Antag att pendlarnas massor ¨ar m1 och m2 , deras l¨angd (lodr¨att fr˚
an tyndpunkterna till upph¨
angningspunkterna) l1 och l2 och deras utslagsvinklar
ϕ1 respektive ϕ2 .
Den kinetiska energin f¨
or detta system ges av
Ek = 12 m1 l12 ϕ˙ 21 + 12 m2 l22 ϕ˙ 22 .
(1)
En kvadratisk approximation av den potentiella energin kring j¨amviktsl¨aget
saknar linj¨
ara termer och kan skrivas som en kvadratisk form
Ep = 12 a11 ϕ21 + a12 ϕ1 ϕ2 + 12 a22 ϕ22
(2)
d¨
ar
aij =
∂ 2 Ep
.
∂ϕi ∂ϕj
(3)
R¨
orelseekvationerna f¨
or pendlarna erh˚
alles genom till¨ampning av Lagranges ekvationer
d ∂L
∂L
−
= 0.
(4)
∂ϕi dt ∂ ϕ˙ i
Lagrangefunktionen L ges som v¨albekant av L = Ek − Ep . Ins¨attning av
uttrycken f¨
or energierna resulterar i ekvationssystemet
m1 l12 ϕ¨1 = −a11 ϕ1 − a12 ϕ2
(5)
m2 l22 ϕ¨2 = −a22 ϕ2 − a12 ϕ1 .
(6)
Koefficienterna a11 och a22 kan best¨ammas experimentellt genom att
man fixerar den ena pendeln och m¨ater vinkelfrekvensen hos den andra pendelns sv¨
angningar. Fixering av pendel 1 i j¨amviktsl¨aget inneb¨ar att ϕ1 = 0
och r¨
orelseekvationen f¨
or pendel 2 blir
m2 l22 ϕ¨2 = −a22 ϕ2
(7)
2
vars l¨
osning ¨
ar sv¨
angning med vinkelfrekvensen
r
a22
.
ω2 =
m2 l22
Fixering av pendel 2 ger p˚
a motsvarande s¨att
r
a11
ω1 =
.
m1 l12
(8)
(9)
Koefficienten a12 best¨
ammer hur starkt pendlarna ¨ar kopplade. Ett s¨att
att unders¨
oka detta experimentellt ¨ar att fixera den ena pendeln och studera
hur dess position p˚
averkar j¨
amviktsl¨aget av den andra pendeln. Fixering av
pendel 1 i en utslagsvinkel ϕ1 = ψ1 ger
m2 l22 ϕ¨2 = −a22 ϕ2 − a12 ψ1 .
(10)
J¨
amviktsl¨
aget ϕ∗2 f¨
or pendel 2 blir d¨armed
ϕ∗2 = −
a12
ψ1 .
a22
(11)
Motsvarande procedur f¨
or fixering av pendel 2 ger
ϕ∗1 = −
a12
ψ2 .
a11
(12)
Ovanst˚
aende resonemang inneb¨ar att man kan f˚
a fram r¨orelseekvationerna f¨
or tv˚
a kopplade pendlar genom studier av sv¨angningarna hos en pendel
i taget och granskning av hur f¨orflytting av den ena pendeln p˚
averkar den
andra pendelns j¨
amviktsl¨
age. Eftersom man inte m¨ater koefficienterna a11 ,
a22 och a12 direkt a
ampligt att ers¨atta dessa koefficienter med uttryck
¨r det l¨
som relaterar till de aktuella m¨atningarna. Vinkelfrekvenserna ω1 och ω2
best¨
ammer a11 och a22 enligt
a11 = m1 l12 ω12
(13)
a22 = m2 l22 ω22 .
(14)
Koefficienten a12 uppfyller
∂ϕ∗2
∂ψ1
∂ϕ∗1
= −a11
∂ψ2
a12 = −a22
(15)
a12
(16)
och ett symmetriskt s¨
att att ers¨atta a12 ges av
√
a12 = −α a11 a22
(17)
3
d¨ar α ¨
ar en dimensionsl¨
os konstant som anger kopplingens styrka. Det inneb¨
ar att
√
a12 = −α m1 m2 l1 l2 ω1 ω2 .
(18)
Ins¨
attning av uttrycken f¨
or a11 , a22 och a12 i r¨orelseekvationerna ger
√
m1 l12 ϕ¨1 = −m1 l12 ω12 ϕ1 + α m1 m2 l1 l2 ω1 ω2 ϕ2
√
m2 l22 ϕ¨2 = −m2 l22 ω22 ϕ2 + α m1 m2 l1 l2 ω1 ω2 ϕ1 .
Genom definitionen
r
m2 l2
γ≡
m1 l1
(19)
(20)
(21)
kan de f¨
orenklas till
ϕ¨1 = −ω12 ϕ1 + αγω1 ω2 ϕ2
−ω22 ϕ2
ϕ¨2 =
+ αγ
−1
(22)
(23)
ω1 ω2 ϕ 1 .
En normalmod inneb¨
ar, som det p˚
apekades i inledningen, att b˚
ada pendlarna sv¨
anger i takt. Normalmoderna kan man f˚
a fram genom att ans¨atta
l¨osningar p˚
a formen
ϕj = Aj eiΩt
(24)
d¨
ar Aj och Ω ¨
ar konstanter. Ins¨attning i r¨orelseekvationerna medf¨or
−Ω2 A1 = −ω12 A1 + αγω1 ω2 A2
2
−Ω A2 =
−ω22 A2
+ αγ
−1
(25)
ω1 ω2 A1 .
(26)
Detta kan skrivas p˚
a matrisform som
Ω2 A = WA
(27)
(28)
d¨
ar
A=
A1
A2
och
W=
ω12
−αγω1 ω2
−1
−αγ ω1 ω2
ω22
.
(29)
L¨
osningarnas vinkelfrekvenser Ω uppfyller
0 = det(W − Ω2 1)
(30)
= Ω4 − Ω2 (ω12 + ω22 ) + ω12 ω22 (1 − α2 )
(31)
och ges d¨
arf¨
or av
Ω2± = 12 (ω12 + ω22 ) ±
q
1
2
4 (ω1
− ω22 )2 + α2 ω12 ω22 .
4
(32)
3
Utf¨
orande
V¨ag pendlarna f¨
or att best¨
amma m1 och m2 . H¨ang upp pendlarna enligt
figur 1. Linda sn¨
oret n˚
agra varv runt pendlarnas upph¨angningspunkter f¨or
att hindra att det glider. G¨
or inga knutar d˚
a en virad upph¨angning till˚
ater
efterjusteringar. Justera sn¨
oret s˚
a att pendlarna hamnar mitt mellan sina
upph¨
angningsskruvar. Se till s˚
a att pendlarna ¨ar lika l˚
anga och h¨anger ungef¨
ar en decimeter ovanf¨
or b¨ankytan. Sp¨ann upp det svarta siktsn¨oret som
kommer att beh¨
ovas vid vinkelm¨atningarna. Tag en bit tr˚
ad och bind en
knut som kopplar ihop pendlarna enligt figur 2. Testa att s¨atta ig˚
ang pendlarna och kontrollera att de sv¨anger i de huvudsakliga moderna utan stora
st¨orningar. L˚
at pendlarna h¨
anga still i sitt j¨amvikts¨age och m¨at l1 , l2 och h.
Rita en linje p˚
a ett papper och placera pappersarket s˚
a att linjen sammanfaller med siktsn¨
oret och pendeltr˚
adarna enligt figur 3. Fixera pappersarket med tejp. Den dragna linjen bildar nu ett nollstreck f¨or de kommande
vinkelm¨
atningarna.
Fixera den ena pendeln i dess j¨amviktsl¨age genom att tejpa den till ett
flyttbart stativ. M¨
at den andra pendelns sv¨angningsperiod (tag tiden f¨or
flera sv¨
angningar f¨
or att ¨
oka noggrannheten). Upprepa m¨atningen med den
andra pendeln fixerad.
Vik ihop en bit tr˚
ad runt den ena pendeln och tejpa fast ¨andarna vid det
fria stativet. Se till s˚
a att tr˚
aden a¨r v˚
agr¨at och att pendeln har f¨orflyttats i
en riktning vinkelr¨
at mot det ritade nollstrecket. Placera linjalen s˚
a att dess
markering sammanfaller med siktsn¨oret och den utsp¨anda pendelns yttre
f¨asttr˚
ad (se figur 4). Anteckna avst˚
andet mellan linjalens markering och
nollstrecket f¨
or att senare kunna ber¨akna vinkeln ψ1 . G¨or samma m¨atning
f¨or den fria pendeln f¨
or att best¨amma vinkeln ϕ∗2 . Fixera den f¨orsta pendeln
i ett annat l¨
age och upprepa m¨atningarna. G¨or detta f¨or sammanlagt fyra
olika positioner p˚
a vardera sida av nollstrecket. Upprepa hela proceduren
med den andra pendeln fixerad.
L˚
at b˚
ada pendlarna sv¨
anga och m¨at vinkelfrekvenserna f¨or de tv˚
a normalmoderna. Starta sedan den ena pendeln medan den andra h˚
alls stilla.
Sl¨
app den stillast˚
aende pendeln och m¨at perioden hos sv¨avningarna.
4
Uppgifter
Innan man tar h¨
ansyn till villkoren som s¨atts av sn¨orsegmentens l¨angd s˚
a har
pendlarna tillsammans 6 frihetsgrader och knuten som kopplar pendlarna 3
frihetsgrader.
1. Hur begr¨
ansar antagandet att sn¨orsegmenten ¨ar sp¨anda antalet frihetsgrader?
2. Vilka frihetsgrader finns f¨orutom ϕ1 och ϕ2 ?
5
3. Beskriv pendlarnas r¨
orelser kvalitativt. I vilken utstr¨ackning beskrivs
deras r¨
orelse av ϕ1 och ϕ2 ?
4. Best¨
am ω1 och ω2 utifr˚
an uppm¨atta data.
5. R¨
akna ut alla vinklar ψi och ϕ∗j (i, j ∈ {1, 2}) och plotta dem f¨or att
best¨
amma
∂ϕ∗2
∂ψ1
och
∂ϕ∗1
∂ψ2 .
6. Ber¨
akna parametern α utifr˚
an repsektive partiell derivata. Hur v¨al
st¨
ammer v¨
ardena f¨
or α ¨overens?
7. Ber¨
akna Ω± och j¨
amf¨
or med motsvarande uppm¨atta v¨arden.
8. I vilken utstr¨
ackning m¨arks icke-linj¨ara effekter i pendlarnas dynamik?
9. Vilken period har sv¨
avningarna?
5
Rapport
F¨oljande b¨
or ing˚
a i rapporten:
• Introduktion – beskriv problemet allm¨ant, ge bakgrundsinformation,
mm.
• Teori – diskutera teorin som beskriver problemet och svara p˚
a de inledande fr˚
agorna i f¨
oreg˚
aende avsnitt.
• Resultat – redovisa en sammanfattning av relevanta m¨atv¨arden, icketriviella ber¨
akningssteg och slutresultaten. Svara p˚
a resterande fr˚
agor
i f¨
oreg˚
aende avsnitt.
• Diskussion – diskutera resultaten.
• Slutsats – sammanfatta det som har gjorts och presentera eventuellt
allm¨
anna resonemang och slutsatser.
6
vira tråden
ögla
Figur 1: Upph¨
angning av pendlarna.
Figur 2: Den f¨
ardiga uppst¨
allningen.
7
Figur 3: Anv¨
andning av sikttr˚
aden.
utslagsvinkel
Figur 4: M¨
atning av j¨
amviktsl¨
aget.
8