Transcript TM-Matematik Mikael Forsberg 026-64 89 61 För

F¨or ingenj¨orer, lantm¨atare och l¨arare
TM-Matematik
Mikael Forsberg
026-64 89 61
¨ r Algebra
Linja
ma014a
2013 03 05
Skrivtid: 13:15-14:50. Inga hj¨
alpmedel. L¨osningarna skall vara fullst¨andiga och l¨atta att f¨olja.
B¨orja varje ny uppgift p˚
a ny sida.
Anv¨and ej baksidor. Skriv namn p˚
a varje inl¨amnat blad.
1. Hitta l¨osningarna till binomekvationen
z3 + i = 0
2. Best¨am c s˚
a att f¨
oljande system blir konsistent.

   
1 3 −2
x
2
 2 1
1  y  =  c 
1 −2 3
z
1
L¨os systemet f¨
or detta v¨
arde p˚
a c. Vad blir den v¨anstra matrisens nollrum och hur kommer
den in i l¨
osningen f¨
or v˚
art system? Vad ¨ar dimensionen f¨or l¨osningsm¨angden f¨or detta v¨arde
p˚
a c?
3. Ber¨akna arean f¨
or begr¨
ansningsytan f¨or parallellepipeden som sp¨anns upp av raderna till
f¨oljande matris


2 1 1
M = 1 2 1 
1 1 2
Vad blir volymen?
¨ ng p˚
Bonuspoa
a tentan?
F¨
or 1 bonuspo¨
ang kr¨
avs att man har minst 5 po¨ang p˚
a kontrollskrivningen och f¨or att f˚
a
2 bonuspo¨
ang p˚
a tentan s˚
a kr¨
avs minst 10 po¨ang p˚
a kontrollskrivningen. Varje uppgift ger 5
po¨
ang. Totalt kan man allts˚
a f˚
a 15 po¨ang p˚
a denna kontrollskrivning.
Svar till tentamen i Linj¨
ar Algebra, 2013 03 05.
1.
z = ei(−π/6+2πk/3) ,
k = 0, 1, 2
2. c = 3, L¨osningarna blir
 

 7 
x
−1
5
 y  =  1 t +  1 ,
5
0
z
1

d¨ar


−1
 1 t
1
¨ar nollrummet. Dimensionen f¨
or l¨
osningsm¨angden ¨ar 1.
3. Volymen
ar 4. Alla 6 sidor av parallellepipeden har arean
√ ¨
arean 6 11
√
11 och totalt har d¨arf¨or begr¨ansningsytan
L¨
osningar till tentamen i Linj¨
ar Algebra, 2013 03 05.
1. Vi skriver ekvationen genom att subtrahera i fr˚
an b˚
ada led
z 3 = −i,
som p˚
a pol¨ar form blir
r3 ei3θ = ei(−π/2+2πk) ,
d¨ar k ¨ar ett godtyckligt heltal.
Beloppet av b˚
ada led m˚
aste vara lika vilket ger oss
r3 = 1
⇔
r=1
Argumenten m˚
aste ocks˚
a vara lika vilket ger oss
3θ = −π/2 + 2πk
⇔
θ = −π/6 + 2π/3 · k,
d¨ar k ¨ar ett heltal. Tre olika l¨
osningar till v˚
ar binomekvation f˚
ar vi om vi tar k = 0, 1, 2 vilket
s˚
aledes ger oss l¨
osningarna
z = ei(−π/6+2πk/3) , k = 0, 1, 2
P˚
a rektangul¨
ar form s˚
a f˚
ar vi l¨
osningarna
1 √
z1 = · ( 3 − i) f¨or k = 0
2
z2 = i f¨or k = 1
√
1
z3 = · (− 3 − i) f¨or k = 2
2
2. Vi st¨aller upp systemet p˚
a utvidgad matrisform och Gausseliminerar:
 


2
1 3 −2
1 3 −2 2

 2 1
1 c  ∼  0 1 −1 4−c
5
1 −2 3 1
0 0 0 3−c
Fr˚
an den eliminerade matrisen ser vi direkt att systemet ¨ar konsistent precis om c = 3. F¨or detta
v¨arde s˚
a har vi ett system med tv˚
a ledande variabler och en fri variabel. Detta ger att l¨osningen
till detta system blir endimensionellt. N¨ar vi l¨oser systemet f¨or c = 3 s˚
a f˚
ar vi l¨osningarna

 7 
  
x
−1
5
 y  =  1 t +  1 ,
5
z
1
0
d¨ar den f¨orsta vektorn ¨
ar en bas f¨
or matrisens nollrum.
3. Parallellepipeden har 3 stycken par av begr¨ansningssidor d¨ar varje par best˚
ar av tv˚
a likadana
parallellogram. Arean f¨
or ett s˚
adant parallellogram ges av kryssprodukten av tv˚
a av matrisens
rader. Om vi kallar raderna f¨
or r1 , r2 och r3 s˚
a har vi att sidornas area ges av
√
A1 = ||r1 × r2 || = ||(−1, −1, 3)|| = 11
√
A2 = ||r2 × r3 || = ||(3, −1, −1)|| = 11
√
A3 = ||r1 × r3 || = ||(1, −3, 1)|| = 11
Eftersom alla sidorna har samma
a blir parallellepipedens
√ area och vi har totalt 6 stycken sidor s˚
begr¨ansningsarea lika med 6 11 areaenheter.
Volymen ¨
ar beloppet av determinanten f¨or v˚
ar matris och denna blir
V = | det M | = |4| = 4
volymsenheter