Transcript Lösningar - Aktuella kurssidor i matematik och matematisk statistik

STOCKHOLMS UNIVERSITET
MATEMATISKA INSTITUTIONEN
Avd. Matematisk statistik, GA
MS 2070
¨
LOSNINGAR
14 januari 2011
L¨
osningar
Tentamen i Livf¨
ors¨
akringsmatematik I,
14 januari 2011
————————————————
Uppgift 1
a) Makehams formel f¨or d¨odlighetsintensiteten anges som
µx = α + β · eγx , x > 0
d¨ar x st˚
ar f¨or ˚
alder. Parametrarna kan till sina v¨
arden variera men
enligt exempelvis d¨odlighetstabellen M90 brukar de anges som (nettov¨arden) α = 0, 001, β = 0, 000012 och γ = 0, 101314 alternativt
med vissa belastningar som ger sm¨
arre f¨
or¨
andringar i v¨
ardena. H¨
ar
har vi f¨or enkelhets skull satt den ˚
aldersf¨
orskjutningen mellan k¨
onen,
f , som brukar anv¨andas lika med 0.
b) Eftersom f¨ordelningsfunktionen F antas vara kontinuerlig existerar medianen m entydigt och definieras av
F (m) = 0, 5.
Genom att integrera relationen µx = −l(x)0 /l(x), f˚
ar vi
L¨osning Livf¨ors¨akringsmatematik I, 14 januari 2011
−ln(l(x)) =
Z x
0
µs ds = αx +
2
β γx
(e − 1), x ≥ 0,
γ
vilket inneb¨ar, eftersom F (x) = 1 − l(x), att medianen m uppfyller
relationen
αm +
β γm
(e − 1) = ln(2).
γ
Observera att vi har relationen
F (x) = 1 − e
−αx− β
(eγx −1)
γ
, x ≥ 0.
Ur ovanst˚
aende uttryck kan vi inte enkelt l¨
osa ut m utan vi f˚
ar n¨
oja
oss med detta. Som ett specialfall f˚
ar vi, med α = 0,
·
¸
1
γ
m = ln
ln(2) + 1 .
γ
β
c) Svaret till hur stor del som kommer att uppleva sin 100-˚
arsdag i
en population med dessa angivna lika f¨
oruts¨
attningar f¨
or f¨
orv¨
antad
˚
aterst˚
aende livsl¨angd ges av
P (Tx ≥ 100) = l(100) = e
−α·100− β
(eγ·100 −1)
γ
Detta r¨acker som svar p˚
a uppgiften. Om man nu skulle passa p˚
a och
s¨atta in de v¨arden p˚
a parametrarna som angetts f¨
or M 90 ovan f˚
ar
vi
P (Tx ≥ 100) = e
0,000012
−0,1− 0,0101314
(e10,1314 −1)
= 0, 0462.
L¨osning Livf¨ors¨akringsmatematik I, 14 januari 2011
3
Ungef¨ar 4, 6% av de nyf¨odda kommer allts˚
a att uppleva sin 100˚
arsdag.
Uppgift 2
Till att b¨orja med konstaterar vi att vi har att g¨
ora med tv˚
a olika
r¨antor, den s˚
a kallade diskonteringsr¨
antan som bland annat ing˚
ar i
kommutationsfunktionerna ¨ar skild fr˚
an den r¨
anta angiven i uppgiften
p˚
a 4%. Den senare r¨antan a¨r t¨ankt som en slags inflationss¨
akring.
F¨ors¨akringen inneh˚
aller tv˚
a olika typer av f¨
ors¨
akringsers¨
attningar.
Den f¨orsta delen ¨ar de garanterade utbetalningarna som f¨
orsig˚
ar i
durationsintervallet (25, 40). (L˚
at oss inledningsvis bortse fr˚
an storleken p˚
a˚
arsbeloppet, 12 000, f¨or att ˚
aterkomma till den fr˚
agan i
slutet av l¨osningen.)
Eftersom vi skall g¨ora ˚
arliga uppr¨
akningar av beloppet m˚
aste vi
behandla utbetalningarna som kontinuerliga ett˚
ariga utbetalningar.
Den f¨
orsta, garanterade utbetalningsstr¨
ommen kan d˚
a skrivas som
A1 = e−25δ · a0 (1) ·
14
X
(1, 04)k · e−k·δ
k=0
d¨ar δ ¨ar den vanliga diskonteringsintensiteten. Observera att hela
uttrycket ¨ar diskonterat till f¨ors¨
akringens tecknandetidpunkt, som
a¨r 25 ˚
ar innan utbetalningarna startar. Faktorn a0 (1) a
ardet av
¨r v¨
en ett˚
arig s¨aker utbetalning, ber¨
aknad med kontinuerlig teknik.
Den andra delen betalas ut i den h¨
andelse individen ¨
ar vid liv och
kan d˚
a skrivas som
15
A2 = 1, 04
·
∞
X
D(30 + 40 + k)
k=0
D(30)
· a1 (30 + 40 + k, 1)
Svaret till uppgiften ges nu av 12 000 · (A1 + A2 ).
4
L¨osning Livf¨ors¨akringsmatematik I, 14 januari 2011
Uppgift 3
En sammansatt kapitalf¨ors¨akring omfattar endera av tv˚
a m¨
ojliga utbetalningsm¨ojligheter, dels en utbetalning vid uppn˚
adda z ˚
ar om individen lever d˚
a och dels en m¨ojlig utbetalning under˚
aldersintervallet
˚
(x, z) om den f¨ors¨akrade avlider d˚
a. Arspremien betecknas med P .
F¨or att f¨orenkla ber¨akningen en del koncentrerar vi oss p˚
a den delen
av durationsintervallet d˚
a f¨ors¨akringen ¨
ar premiedragande. Sedan
kan vi helt enkelt s¨atta alla icke relevanta premier lika med 0 f¨
or att f˚
a
fram differentialekvationen f¨or andra durationsdelar av f¨
ors¨
akringen.
Vi b¨orjar med att, vid durationen t, best¨
amma nuv¨
ardet av de framtida f¨orpliktelser, d¨ar S ¨ar det ˚
arligen utbetalda beloppet,
A(t) = S ·
M (x + t) − M (z) + D(z)
,0 < t < n
D(x + t)
P˚
a samma s¨att ges nuv¨ardet, vid durationen t, av f¨
ors¨
akringstagarens
framtida f¨orpliktelser som
B(t) = P ·
N (x + t) − N (x + n)
,0 < t < n
D(x + t)
Observera att det g¨aller att V (0) = 0. Vi skall ber¨
akna V (t) f¨
or
0 < t ≤ n och, som n¨amnt ovan f¨
ar vi V (t) som ett specialfall f¨
or
n < t ≤ z − x.
Vi f˚
ar nu ekvationen f¨or v¨ardefunktionen som
V (t) =
S · [M (x + t) − M (z) + D(z)] − P · [N (x + t) − N (x + n)]
,
D(x + t)
0 ≤ t ≤ n.
5
L¨osning Livf¨ors¨akringsmatematik I, 14 januari 2011
Alternativt kan vi skriva om M -funktionen med hj¨
alp av D- och
N -funktionerna och f˚
ar d˚
a
µ
V (t) = S
1−δ
N (x + t) − N (z)
D(x + t)
¶
−P
N (x + t) − N (x + n)
,
D(x + t)
0 ≤ t ≤ n.
Multiplikation med D(x + t) ger
V (t)D(x + t) = S D(x + t) −
−δ S (N (x + t) − N (z)) − P (N (x + t) − N (x + n)).
Derivering med avseende p˚
a t ger nu
V 0 (t)D(x + t) − (µx+t + δ)D(x + t)V (t) =
−S (µx+t + δ)D(x + t) + δ S D(x + t) + P D(x + t).
Om vi nu dividerar med D(x + t), och f¨
orenklar ekvationen, f˚
ar vi
V 0 (t) = δV (t) + P − µx+t (S − V (t)), 0 < t ≤ n.
I specialfallet d˚
a n < t ≤ z − x faller bidraget fr˚
an P bort.
D¨armed har vi h¨arlett Thieles differentialekvation i fallet med sammansatt kapitalf¨ors¨akring.
L¨osning Livf¨ors¨akringsmatematik I, 14 januari 2011
6
Uppgift 4
a) F¨or ordningens skull antar vi att x < 65. Det torde vara underf¨orst˚
att i uppgiften men det ¨ar en n¨
odv¨
andighet s˚
a det ¨
ar lika bra
att betona det.
F¨orm˚
anerna kan delas upp i tre olika delar. Vi kallar de olika delarna,
i den ordning de upptr¨ader i uppgiften f¨
or 1, 2 och 3. Vi f˚
ar
1. Om mannen upplever sin 65-˚
arsdag f˚
ar han allts˚
a en utbetalning
av 1 000 kronor. Nuv¨ardet av denna utbetalning ¨
ar D(65)/D(x)
multiplicerat med 1 000.
2. Om mannen avlider f¨ore sin 65-˚
arsdag betalas det ut 2 000 kronor
och dess nuv¨arde ¨ar (M (x) − M (65))/D(x) multiplicerat med 2 000.
3. Den tredje f¨orm˚
anens nuv¨arde ber¨
aknas p˚
a f¨
oljande s¨
att. Mannen
har 65 − x ˚
ar kvar till sin 65-˚
arsdag. Det inneb¨
ar att utbetalning
av den tredje f¨orm˚
anen kan ske under de ˚
ar som hustrun ¨
ar mellan
y och y + 65 − x ˚
ar. Nuv¨ardet av den f¨
orm˚
anen ¨
ar d¨
arf¨
or (M (y) −
M (y + 65 − x))/D(y) d¨ar kommutationsfunktionerna ¨
ar de som h¨
or
till kvinnan.
Nuv¨ardet av de premier som skall betalas f¨
or f¨
ors¨
akringen ges av
B=P ·
N (x) − N (65)
D(x)
Om vi betecknar nuv¨ardet av f¨orm˚
anerna som skall betalas ut f¨
or A
och nuv¨ardet av premierna med B kan vi skriva premieekvationen
som A = B.
D¨armed kan vi formulera premieekvationen i termer av kommutationsfunktioner som
P
N (x) − N (65)
D(65)
M (x) − M (65)
·
=
+2·
+
1 000
D(x)
D(x)
D(x)
7
L¨osning Livf¨ors¨akringsmatematik I, 14 januari 2011
+2 ·
M (y) − M (y + 65 − x)
D(y)
ur vilken man kan l¨osa ut P .
b) I bifogade tabeller kan man finna respektive kommutationstal som
kr¨avs f¨or att numeriskt l¨osa uppgiften. Vi f˚
ar
P = 1000 ·
0, 1530 + 2 · (0, 1125 − 0, 0808) + 2 · (0, 1028 − 0, 0906) ·
0,3299
0,4369
8, 1858 − 2, 3452
= 1000 ·
0, 2164 + 0, 0182
= 40, 17
5, 8406
vilket ¨ar v¨ardet p˚
a den efters¨okta premien P .
Uppgift 5
Premieekvationen ges av V = 0. F¨
or att f¨
orenkla skrivningen anv¨
ander
vi begreppet sammansatt ˚
alder, det vill s¨
aga ω = ω(x, y).
a) Att utbetalningen skall ske i minst r ˚
ar inneb¨
ar att utbetalningen
ar, vars kapitalv¨
ardet kan skrivas som a0 (r), och att
¨ar garanterad i r ˚
utbetalningarna forts¨atter d¨arefter s˚
a l¨
ange b˚
ada individerna lever.
Det senare kapitalv¨ardet ¨ar lika med N (ω + m + r)/D(ω + m).
Sammantaget f˚
ar vi d¨arf¨or
µ
¶
D(ω + m)
N (ω + m + r)
A = 12000 ·
a0 (r) +
.
D(ω)
D(ω + m)
Premiebetalningarnas kapitalv¨arde ges av
B = P · a1 (ω, m)
=
L¨osning Livf¨ors¨akringsmatematik I, 14 januari 2011
8
vilket och premieekvationen ges ju av A = B d¨
ar nu P kan l¨
osas ut.
b)
I den h¨ar uppgiften byter vi villkoret f¨
or utbetalning fr˚
an att inneh˚
alla en garanti i r ˚
ar till att enbart omfatta utbetalning givet
b˚
ada individerna lever. Vi f˚
ar d˚
a
A = 12000 ·
D(ω + m)
· a1 (ω + m, r)
D(ω)
och slutligen
B = P · a1 (ω, m).
Premieekvationen ges ˚
aterigen av A = B d¨
ar nu P kan l¨
osas ut.