Transcript Newton-Raphsons metod.pdf
Tema - Newton – Raphsons metod för numerisk ekvationslösning
Teori
▪
Newton-Raphsons metod f
ö
r numerisk ekvationsl
ö
sning
Många ekvationer är ofta besvärliga att lösa med exakta metoder. Sådana är till exempel tredje- och fjärdegradsekvationer. Det finns också ekvationer som är omöjliga att lösa exakt. Dessa ekvationer kan vi bara lösa numeriskt. Ett sätt att göra detta är helt enkelt att pröva sig fram mer eller mindre planmässigt. Men det kan vara mycket omständligt och tidskrävande. Vi skall här visa hur man löser ekvationer med Newton Raphsons metod. Den är ett bra verktyg för att snabbt hitta närme värden på lösningar till ”svåra” ekvationer. Vad är lösningen till ekvationen x 3 + x – 4 = 0? Ekvationen har en lösning i intervallet [1, 2] eftersom 1 3 + 1 – 4 = –2 < 0 och 2 3 + 2 – 4 = 6 > 0. Vi beräknar nu ekvationen för tangenten till funktionen
f
(
x
) =
x
3 +
x
– 4 i den punkt (
x
0 ,
f
(
x
0 )) vars
x
-koordinat är = 2 nämligen punkten (2, 6). Eftersom
f´(x
) = 3
x
2 +1 får vi
k
=
f
´(2) = 13. Alltså blir tangentens ekvation
y
= 13
x
– 20. Vi sätter nu
y
= 0 och får tangentens skärningspunkt med
x
-axeln. Resultatet blir
x
1 = 20/13 ≈ 1,5385. Vi har här ersatt funktionsgrafen med dess tangent. Vårt
x
1 är en första approximation av nollstället till f(x) som ligger mellan 1 och 2. Nu gör vi om samma procedur för punkten (
x
1 ,
f
(
x
1 )) med
x
-koordina ten
x
1 ≈ 1,5385 och får då
f
(1,5385) = 1,5385 3 + 1,5385 – 4 ≈ 1,1801. Vi får också
k
=
f
´(1,5385) = 3 ⋅ 1,5385 2 + 1 ≈ 8,1009. Alltså är den nya tangentens ekvation
y
= 8,1009
x
–8,1009 ⋅ 1,5385 + 1,1801 eller
y
= 8,1009
x
–11,2831. Ekvationen 0 = 8,1009
x
3 ≈ 1,3789
x
4 ≈
x
–11,2831 ger 1,3788
x
5 ≈
x
2 1,3788 ≈ 1,3928. Vi gör samma procedur gång efter gång och får vi värdena: Metod ger snabbt bra närmevärden för ekvationens lösningar. Redan vid
x
4 får vi ett närmevärde med fem värdesiffror.
Låt oss härleda en formel för
x n
. Ekvationen för vår första tangent i punkten (
x
0
, f(x
0 )) är
y
=
f´(x
0 ) ⋅
x
+
m
. Eftersom
f(x
0 ) =
f´(x
0 ) ⋅
x
0 +
m
får vi
m = f(x
0 ) –
f ´(x
0 ) ⋅
x
0 Tangentens ekvation är alltså
y
=
f´(x
0 ) ⋅
x
+
f(x
0 ) –
f´(x
0 ) ⋅
x
0 Tangentens skärning med
y
-axeln är alltså 0 =
f ´(x
0 ) ⋅
x 1
+
f(x
0 ) –
f ´(x
0 ) ⋅
x
0 vilket ger
x
1
= x 0
–
f x f x
0 Om tangeringspunkten sätts till
x
1 blir
x 2 = x 1
–
f x f x
1 1 Alltså gäller för en tangeringspunkten
x n
:
x n+1 = x n – f x f x Denna formel ger ett nytt värde (
x n+1
) som ligger närmare en rot till ekvationen.
Bestäm nu ekvationens lösning i intervallet. Om vi sätter
f(x)
=
x
3
+ x –
3 får vi
f
(1) = -1 och
f
(2) = 7. Alltså finns det en lösning till ekvationen i intervallet. Eftersom
f
´(
x)
= 3
x
2
+ 1
får vi x n+ 1 = x n – x 3 + x x n + − 1 3 Knappa först in t ex x 0 = 3
,
därefter Enter. Mata in formeln med ANS knappen:
ANS
−
ANS
3 3 +
ANS
Lös följande uppgifter
ANS
2 + 1 − 3 .
Genom att trycka på Enter ett antal gånger så får du ganska fort ett ´stabilt´ värde 1, 213
1.
Lös ekvationen 3
x
5 + 2
x
– 3 = 0 med Newton-Raphsons metod. Ekvationen har bara en lösning.
2.
Lös ekvationen
x
= cos
x
med Newton-Raphsons metod.
3.
Bestäm ett närmevärde för 3 5 med Newton-Raphsons metod.
4.
En person skall anlägga en simbassäng med vattendjupet
x
m, bredden ( 400 m 3 5
x
+ vatten. 1 ) m och längden ( 15
x
+ 1 ) m. Bassängen har formen av ett rätblock. Beräkna vattendjupet om bassängen skall rymma