Transcript Komplex algebra - Bokförlaget Borken

Komplex algebra
1 Polynom med komplexa lösningar…………………………………… 2
2 Komplexa tal i polär form och potensform…………………….....12
3 Teori - Komplex analys…………………………………………………...22
3 Historien om hyperkomplexa tal……………………………………...23
Facit………………………………………………………………………………..29
Bilder m m Akvareller av Ramon Cavaller
s.20 Das Gauß-Weber-Denkmal in Göttingen från omkring 1900.
s.34 Studenter som lyssnar på Johannes av Legano i Bologna
© Nils-Göran Mattsson och Bokförlaget Borken, 2011
Komplex algebra - 1
1 Polynom med komplexa lösningar
Modell ▪ Polynomdivision
På samma sätt som du kan dividera två heltal där täljaren är större än
nämnaren, kan du dividera två algebraiska uttryck där täljarens gradtal är
större än nämnarens. Vi visar divisionen 4378/21 med liggande stolen”.
208
4 3 7 8 21
–4 2
178
–1 6 8
10
(43 delat med 21 är 2 (hela), som skrivs
ovanför linjen.)
( 2 gånger 21 är 42 som subtraheras från
43, vilket ger 1.)
(Om 7 flyttas ner så är 17 delat med 21
lika med 0, skrivs ovanför linjen.)
(Om 8 flyttas ner så är 178 delat med 21
lika med 8 .)
Detta innebär att
4378
10
= 208 +
21
21
eller 4378 =21⋅208 + 10.
Vi visar divisionen
x2 + 3x + 2
x3 + 2 x 2 − x + 3
med ”liggande
x3 + 2 x2 – x + 3 x – 1
x −1
–(x3 – x2)
stolen”. Utgå från täljarens
högstagradsterm: x3 och
3x2 – x + 3
nämnarens högstagradsterm: x.
–(3x2 – 3x)
3
2
Beräkna kvoten av dessa x / x = x .
2x + 3
Skriv x2 på den översta svarsraden.
–(2x – 2)
Nu är x2(x – 1) = x3 – x2. Skriv
detta uttryck på rad tre och
5
subtrahera detta uttryck från
täljaren på rad två. Resultatet
Alltså är (x3 + 2x2 – x + 3) = (x – 1) ⋅ ( x2 + 3x+ 2) + 5.
Komplex algebra - 2
Modell ▪ Ekvationslösning med faktorisering
Vi har tidigare skrivit om en produkt som en summa på följande sätt:
x⋅(5 + x) = 5x + x2
↑ ↑
↑ ↑
faktorer
termer
↓
↓
↓ ↓ ↓
(x – 3)(x + 2) = x2 – x – 6
Dessa beräkningar kan vi också utföra baklänges, från en summa till en
produkt:
5x + x2 = x⋅(5 + x)
↑ ↑
↑ ↑
termer
faktorer
↓ ↓ ↓ ↓
↓
2
x – x – 6 = (x – 3)⋅(x + 2)
Detta kallas att faktorisera polynomen 5x + x2 respektive x2 – x – 6.
Att göra faktoriseringen 5x + x2 = x(5 + x) kallas ofta att ”bryta ut x”.
En ekvation kan lösas med faktorisering genom att (i tur och ordning)
• bryta ut lämpliga faktorer ur alla termer
• använda konjugat- eller kvadreringsregeln
• tillämpa faktorsatsen
Faktorsatsen
Vi har tidigare visat att om andragradsuttrycket ax2+ bx + c har rötterna
x 1 och x 2 , med faktoruppdelningen: ax2 + bx + c = a (x - x 1 )( x - x 2 ).
Generellt gäller enligt den s k faktorsatsen:
Om en algebraisk ekvation f(z ) = 0 har en lösning z = z 1 så är
f(z ) = (z – z 1)⋅g(z ).
Ty om vi dividerar f(z) med (z – z 1 ) får vi f(z)= (z - z 1 )⋅g(z) + A
(=resten).
Eftersom f(z 1 ) = 0 får vi 0 = (z 1 – z 1 )⋅g(z 1 ) + A. Detta innebär att A = 0.
(Om man inte får resten noll så är inte z = z 1 en lösning.)
Vi kan alltså dra slutsatsen att f(z ) = (z – z 1)⋅g(z ).
Komplex algebra - 3
Ekvationen g(z )= 0 kan nu kanske lösas därför att gradtalet för f(z)
har minskat med en grad.
Exempel Lös ekvationerna
a) x3 + x2 – 2x = 0 c) x3 – 7x + 6 = 0 med en lösning x 1 = 1
b) x4 – x2 = 0
d) x4 + x3 – 7x2 – x + 6 = 0 med lösningarna x1,2= ±1
Lösning
a) x3 + x2 – 2x = x(x2 + x – 2), ty vi kan bryta ut faktorn x.
Eftersom andragradsekvationen x2 + x – 2 = 0 har lösningarna
x1 = –2 eller x2 = 1. så har ekvationen = x(x2 + x – 2) = 0
lösningarna x1 = -2 eller x2 = 1 eller x3 = 0.
b) x4 – x2 = x2 (x2 – 1) = x2 (x + 1)(x – 1). Vi har först brutit ut x2 och
sedan tillämpat konjugatregeln.
Lösningarna är x1,2 = 0, x3 = –1 eller x4 = 1.
c) Eftersom ekvationen har en lösning x 1 = 1 så är uttrycket delbart med
(x – 1). Om vi utför divisionen (x3 – 7x + 6)/(x – 1) får vi:
(x3 – 7x + 6) = (x – 1)( x2 + x – 6). Eftersom andragradsekvationen
x2 + x – 6 = 0 har rötterna x1 = –3 eller x2 = 2, kan vi dra slutsatsen:
Ekvationens lösningar x1 = -3 eller x2 = 2 eller x3 = 1 .
d) Eftersom ekvationens vänsterled är delbart med (x – 1) och (x + 1), så
är det delbart med (x – 1)⋅(x + 1) eller (x2 – 1).
Vi får (x4 + x3– 7x2 – x + 6) = (x – 1)(x + 1)(x2 + x – 6).
Lösningarna är x1 = 1 eller x2 = –1 eller x3 = –3 eller x4 = 2.
Normalt kan man inte lösa algebraiska ekvationer av femte graden
och högre med hjälp av rotutdragningar, men med vissa går det. I detta
fall flyttar vi över alla termer till det ena ledet och får x7 - x5 – 2x3 = 0.
Vi ser att vi kan (i) bryta ut faktorn x3. Vi får x3(x4 – x2 –2) = 0.
Det betyder att x3(x4 - x2 – 2) = 0 ⇔ x = 0 eller x4 - x2 – 2 = 0. Den
senare ekvationen är en fjärdegradsekvation, och till sådana finns det en
allmän lösningsmetod. Denna är dock omständlig. Här finns inga udda
potenser med och då kan vi göra substitutionen t = x2
t = 0,5 ±
t2 - t – 2 = 0
0, 25 + 2 ⇔ t = 0,5 ± 1,5 t 1 = -1 eller t 2 = 2
Eftersom t = x måste t ≥ 0 Alltså är x 1 =
2
2 eller x 2 = - 2
Komplex algebra - 4
Teori ▪ Hur många komplexa lösningar har en
ekvation?
•
Carl Friedrich Gauss formulerade år 1800 algebrans
fundamentalsats:
Varje ekvation a 0 x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 + … + a n = 0, där koefficienterna a 0 , a 1 …a n är komplexa tal och a 0 ≠0, har minst en komplex
rot.
Detta innebär att ekvationen: x3 + 5x2 – x – 5 = 0 har minst en lösning.
Visa att x =1 är en lösning. Enligt faktorsatsen är uttrycket (x3 + 5x2 – x – 5)
delbart med (x – 1). Om vi utför divisionen så blir kvoten ett uttryck av
andra graden. Alltså har denna ekvation två lösningar och tredjegradsekvationen ovan tre lösningar. Rent generellt gäller: Ekvationen a 0 xn +
+a 1 xn-1 + a 2 xn-2 + … + a n = 0, där koefficienterna a 0 , a 1 , a 2 … …a n är
komplexa tal och a 0 ≠ 0, har exakt n rötter.
I sin doktorsavhandling från
år 1796 lade Gauss fram
flera bevis för algebrans
fundamentalsats. Gauss
arbetade även med matematikens tillämpning i
astronomin. År 1801
lyckades han till exempel
beräkna planeten Ceres
bana, som en astronom
under en kort tid observerat
och sedan tappat ur sikte.
Under sina 50 sista år var
han föreståndare för det
astronomiska observatoriet i
Göttingen. Gauss formulerade även en matematisk
teori om rummets krökning,
vilket hade sin betydelse för
Albert Einsteins allmänna
relativitetsteori.
Vi ser - Gauss sittande och Weber stående - samtalande. De talar
om den elektromagnetiska telegrafen, som de hade lyckats
uppfinna 1833.
Komplex algebra - 5
Historien om hyperkomplexa tal
Lösningen till tredjegradsekvationen x3+ mx = n formulerades av
Gerolamo Cardano från Milano i Ars Magna, 1545. Cardano använde
n
n2 m3 3 n
n2 m3
3
+
+
−
−
+
+
formeln
. Detta var emellertid
2
4 27
2
4 27
inte Cardanos upptäckt. Lösningarna hade i olika varianter formulerats
av bl a Tartaglia (1535), från staden Bologna. Cardano var en typisk
renässansmänniska – matematiker, läkare, magiker och kättare. Han var
både gillad och ogillad av kyrkan, en spelare som följdriktigt gjorde
upptäckter i sannolikhetsläran.
Han kunde dock inte godta de komplexa lösningarna som korrekta
sådana.
Gravstensrelief av
Johannes från
Legnano, juridikprofessor i Bologna
(död 1383).
Reliefen visar
studenter som
lyssnar på en
föreläsning av
Johannes vid
universitetet i
Bologna.
Väst får kontakt med det grekiska vetandet
Under 1100- och 1200-talen sker en våldsam expansion av det filosofiska, teologiska och naturvetenskapliga vetandet i Västeuropa. Ett stort
antal grekiska och arabiska skrifter översätts till latin. Den lärda världen
kan nu stifta bekantskap med skrifter av Aristoteles, Euklides geometri
och optik, Ptolemaios astronomi och optik, medicinska verk av Hippokrates och Galenos.
Det blir nu naturligt att finna institutioner för den grekisk-arabiska
vetenskapen. De första universiteten inrättas i Västeuropa till exempel i
Paris, Oxford, Bologna och Padua. Universitetet i Bologna räknas som
Europas äldsta (möjligen grundat 1088) och är under högmedeltiden
Komplex algebra 23
ett av de mest betydande. I Bologna sluter sig ursprungligen studenterna samman i ett skrå och anställer sina lärare. Den främsta specialiteten
är juridiken. Universiteten fungerar genom sina så kallade fakulteter:
medicinska, juridiska, teologiska och filosofiska. Det blir den filosofiska
fakulteten som får ansvaret för hela det nya vetande som kommer fram
genom översättningarna till latin.
V3.1
V3.2
Den generella tredjegradsekvationen kan skrivas
y3+ by2+ cy + d = 0. Visa att denna kan överföras till x3 + px = q
(som har visat sig lösbar) genom att byta ut varje förekomst av y
mot (x – b/3).
Bestäm en lösning till ekvationen x3 + 5x = 18.
Cardano gav en av sina studerande, Lodovico Ferrari, i uppgift att lösa
fjärdegradsekvationen, vilket denne gjorde med glans genom att överöra fjärdegradsekvationen till en tredjegradsekvation som alltså kunde
lösas.
Rafaello Bombelli publicerade 1572 de tre första böckerna i algebra i
en planerad serie om fem. De två sista har bara hittats som manuskript i
ett bibliotek i Bologna på 1900-talet. Bombelli är den förste som skriver ned regler för hur man adderar, subtraherar, multiplicerar och dividerar komplexa tal, inte helt i överensstämmelse med de regler som
gäller idag. Han kunde visa att om man använder de komplexa talen så
kan man, med Cardanos formel, finna alla tre reella lösningarna till en
tredjegradsekvation. Det gäller även om formeln kommer att innehålla
roten ur ett negativt tal.
Albert Girard ger 1629 ut verket Invention nouvelle en l´algebra där
han visar på relationen mellan rötter och koefficienter, vilket var
möjligt genom att han godtog negativa och imaginära rötter. Girard var
dessutom den förste som formulerade algebrans fundamentalsats även
om han inte lyckades bevisa den.
V3.3
Antag att vi har en tredjegradsekvation x3 + a 1 x2 + a 2 x + a 3 =
0, som har rötterna x 1 , x 2 och x 3 . Visa nu det som
matematikern Albert Girard bevisade om sambandet mellan
rötter och koef-ficienter: x 1 + x 2 + x 3 =– a 1 x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =
a 2 x 1 x 2 x 3 = –a 3 .
Komplex algebra 24
V3.4 Vilket värde har uttrycket
1 1 1
+
+
om x 1 , x 2 och x 3 är
x1 x2 x3
rötterna till ekvationen: x3 – 7x2 + 8x + 2 = 0 ?
René Descartes (1596-1650) föddes i Frankrike. Efter studier i matematik, filosofi, teologi, juridik, medicin med mera vid en jesuitskola i
La Flèche begav sig Descartes ut på resor. Studierna hade fått honom
att tvivla på värdet av den antika naturfilosofin. Han kritiserade även
Galilei för att denne inte försökt förklara det biologiska livet med hjälp
av mekanikens lagar. Descartes filosofi sågs av många som den moderna
tidens filosofi och som ett heltäckande alternativ till antikt tänkande.
Descartes tänkte 1632 ge ut sin skrift Världen eller traktat om ljuset, då
han fick höra talas om domen mot Galilei på grund av dennes utgivna
skrift Dialog över de två världssystemen. Descartes bestämde sig då för att
inte publicera sin framlagda version av en mekanistisk världsbild, då
hans teori till och med var radikalare än Galileis.
Descartes trodde, som en
av de första, att vårt universum har en historia. Vår
mångfasetterade värld har
uppstått genom att Gud en
gång gav det oändligt utsträckta universum en
knuff. Genom att materien
följer de mekaniska naturlagarna, uppstod virvlar i
universum. I varje virvel
uppstod en sol och däromkring kretsande planeter.
Planeterna hålls kvar i sina
elliptiska banor tack vare
virvelns materia. De stjärnor vi ser är dessa oändligt
många solar.
Komplex algebra 25