Transcript Pyramidi 1 ratkaisut

Ellips 1 • Funktioner och ekvationer
•
Lösningar till uppgifterna
Uppgift 301
a) 5 x − 10 = −2 x + 11
När x = 3 är ekvationens
Vänster led 5 ⋅ 3 − 10 = 5
Höger led −2 ⋅ 3 + 11 = 5
Uttrycken har samma värde och då är x = 3 en lösning.
2
2
b) ( x − 1) = ( x − 2 ) + 3
När x = 3 är ekvationens
2
Vänster led ( 3 − 1) = 22 = 4
2
Höger led ( 3 − 2 ) + 3 = 1 + 3 = 4
Uttrycken har samma värde och då är x = 3 en lösning.
Svar: a) ja b) ja
•
sid. 23
Uttrycken har samma värde och då är x = −2 en lösning.
b) ( x − 7 )( − x + 2 ) = 0
När x = −2 är ekvationens
vänstra led ( ( −2 ) − 7 ) ( − ( −2 ) + 2 ) = −9 ⋅ 4 = −36
och högra led 0
Uttrycken har inte samma värde och då är x = −2 inte en
lösning.
Svar: a) ja b) nej
Uppgift 303
x2 = 3 − 2 x
När x = −3 är ekvationens
2
vänstra led ( −3) = 9
och högra led 3 − 2 ⋅ ( −3) = 3 + 6 = 9
Uppgift 302
Uttrycken har samma värde och då är x = −3 en lösning.
x 2 − 3x
a) 2
=2
x +1
När x = −2 är ekvationens
( −2 )2 − 3 ( −2 ) 4 + 6 10
=
= =2
vänstra led
( −2 )2 + 1
4 +1 5
och högra led 2
När x = 1 är ekvationens
vänstra led 12 = 1
och högra led 3 − 2 ⋅ 1 = 3 − 2 = 1
Uttrycken har samma värde och då är x = 1 en lösning.
Ellips 1 • Funktioner och ekvationer •
Lösningar till uppgifterna •
sid. 24
Uppgift 304
Uppgift 306
Vi visar att talen 5, 12 och 13 satisfierar ekvationen
a 2 + b2 = c2
När a = 5, b = 12 och c = 13 , är ekvationens
vänstra led 52 + 122 = 25 + 144 = 169
och högra led 132 = 169
a)
2 x − 1 = 3( 4 x − 2)
2 x − 1 = 12 x − 6
2 x − 12 x = −6 + 1
−10 x = −5
|:( −10 )
−5
−10
1
x=
2
x=
Uttrycken har samma värde och a = 5, b = 12 och c = 13
satisfierar ekvationen och är sålunda pythagoreiska tal.
Uppgift 305
Kontroll:
1
När x = , är ekvationens
2
1
vänstra led 2 ⋅ − 1 = 1 − 1 = 0
2
⎛ 1
⎞
och högra led 3 ⎜ 4 ⋅ − 2 ⎟ = 3 ( 2 − 2 ) = 0
⎝ 2
⎠
Första och andra raden är inte ekvivalenta, för
x 2 = x ⇔ x = 0 eller x = 1.
Dessutom har man i näst sista raden dividerat ekvationen med
uttrycket x − 1 , som är 0 , eftersom x = 1 . Division med noll är
förbjudet!
Uttrycken har samma värde och x =
.
1
satisfiera ekvationen.
2
Ellips 1 • Funktioner och ekvationer •
Lösningar till uppgifterna •
b) 2 x − 5 ( 2 − 3 x ) = 2 ( 7 + 10 x )
2 x − 10 + 15 x = 14 + 20 x
−5a − 1 = 5a − 5
−10a = −4
17 x − 20 x = 14 + 10
−3x = 24
−4
−10
2
a=
5
: (−3)
Kontroll:
När x = −8 , är ekvationens
vänstra led 2 ⋅ ( −8 ) − 5 ( 2 − 3 ⋅ ( −8 ) ) = −16 − 5 ( 2 + 24 )
= −16 − 130 = −146
och högra led 2 ( 7 + 10 ⋅ ( −8 ) ) = 2 ( 7 − 80 ) = −146
Uppgift 308
a)
Uttrycken har samma värde och x = −8 satisfierar ekvationen.
Svar:
a=0
b) −5a − 1 = 5 ( a − 1)
b)
: (−10)
⋅18
−10 x = −15
15
x=
10
3
1
x = =1
2
2
Uppgift 307
−10a = 0
12 − 5 x 1
+ =1
9
2
2 (12 − 5 x ) + 9 = 18
24 − 10 x + 9 = 18
b) x = −8
a) −5a − 5 = 5 ( a − 1)
−5a − 5 = 5a − 5
|:( −10 )
a=
x = −8
1
a) x =
2
sid. 25
5x
1
+ 2 = −5
4
2
5x 5
+ = −5
4 2
5 x + 10 = −20
⋅4
5 x = −30
:5
x = −6
Ellips 1 • Funktioner och ekvationer •
Lösningar till uppgifterna •
Uppgift 309
a)
Uppgift 310
x x−2
−
=2
5
3
3 x − 5 ( x − 2 ) = 30
⋅15
a)
−2 x = 20
: ( −2 )
x = −10
2 − 3x
= 5x
3
12 x − ( 2 − 3x ) = 15 x
12 x − 2 + 3 x = 15 x
−2 = 0 Falskt
4x −
x+3
=0
2
10 x − ( x + 3) = 0
5x −
x=
⋅3
Den ursprungliga ekvationen är ekvivalent med ekvationen
−2 = 0 som alltid är falsk .Den ursprungliga ekvationen saknar
då lösning.
⋅2
10 x − x − 3 = 0
9x = 3
3 x − 5 x + 10 = 30
b)
sid. 26
b)
1
3
x + 12
2x − 3 x + 3
+
=1−
4
2
6
6 x − 9 + 6 x + 18 = 12 − 2 x − 24
14 x = −21
21
3
=−
14
2
1
x = −1
2
x=−
⋅12
:14
Ellips 1 • Funktioner och ekvationer •
Lösningar till uppgifterna •
Uppgift 311
a)
sid. 27
Uppgift 312
2 x − 1 14 − 3 x 3 x
−
=
−1
7
14
7
2 ( 2 x − 1) − (14 − 3x ) = 2 ⋅ 3 x − 14
4 x − 2 − 14 + 3 x = 6 x − 14
7x − 6x = 2
⋅14
a)
x x −1
x
−
−1− = 0
3
2
2
2 x − 3 ( x − 1) − 6 − 3 x = 0
2 x − 3x + 3 − 6 − 3x = 0
: ( −4 )
−4 x = 3
x=2
x + 1 6 − 2 x 5x − 5
b)
−
=
2
4
5
10 ( x + 1) − 5 ( 6 − 2 x ) = 4 ( 5 x − 5)
10 x + 10 − 30 + 10 x = 20 x − 20
⋅6
x=−
⋅20
b)
20 x − 20 x = −20 + 20
0 = 0 sant
Den ursprungliga ekvationen är ekvivalent med den alltid sanna
ekvationen 0 = 0 . Den ursprungliga ekvationen är därför sann för
alla värden på variabeln x . Lösningen är således x ∈ R .
3
4
s 2 − 10 − s ( 3 + s ) = 7 s
s 2 − 10 − 3s − s 2 = 7 s
−3s − 7 s = 10
−10 s = 10
: ( −10 )
s = −1
Uppgift 313
a)
1− x
x−3
= 2x −
2
6
−6 x + 3 (1 − x ) = 12 x − ( x − 3)
−6 x + 3 − 3x = 12 x − x + 3
−9 x − 11x = 3 − 3
−x +
−20 x = 0
x=0
⋅6
: ( −20 )
Ellips 1 • Funktioner och ekvationer •
Lösningar till uppgifterna •
b) p ( p − 5 ) + 2 ( p 2 − 4 ) = 3 ( p 2 − p ) − 2 ( p + 4 )
p − 5p + 2p − 8 = 3p − 3p − 2p − 8
2
2
2
3 p2 − 5 p − 8 = 3 p2 − 5 p − 8
0=0
sant
Den ursprungliga ekvationen är ekvivalent med den alltid sanna
ekvationen 0 = 0 . Den ursprungliga ekvationen är därför sann för
alla värden på variabeln p . Lösningen är således p ∈R .
sid. 28
v − 1 v2 − 5 1 2
b)
+
+ v =0
v−v
4
5
20
2
20v − 5v ( v − 1) + 4 ( v − 5 ) + v 2 = 0
20v − 5v 2 + 5v + 4v 2 − 20 + v 2 = 0
25v = 20
20
v=
25
4
v=
5
Uppgift 314
2 x2 + 1 2
= x +3
⋅2
a)
2
2 x2 + 1 = 2 x2 + 6
1= 6
falskt
Den ursprungliga ekvationen är ekvivalent med ekvationen 1 = 6
som alltid är falsk .Den ursprungliga ekvationen saknar då
lösning.
|⋅ 20
(5
Uppgift 315
a)
x + 2 7x − 6
−
≠0
5
10
2( x + 2) − (7 x − 6) ≠ 0
2x + 4 − 7x + 6 ≠ 0
⋅10
−5 x ≠ −10
x≠2
b)
1 − x (1 − x ) ≠ 6 + x 2 + 2 ( x + 1)
1 − x + x2 ≠ 6 + x2 + 2 x + 2
−3 x ≠ 7
x ≠ −2
1
3
: ( −5 )
Ellips 1 • Funktioner och ekvationer
•
Lösningar till uppgifterna •
sid. 29
Ekvationerna har olika lösningar och är då inte sinsemellan
ekvivalenta.
Uppgift 316
a) 5 ( x − 3) + 7 ( x + 1) − 2 ( 3 x − 1) = 0
5 x − 15 + 7 x + 7 − 6 x + 2 = 0
6x = 6
x =1
:6
Uppgift 317
Anta att enheten är meter.
x − 5 = −4 x
Hagens längd är x och bredden är då
5x = 5
x =1
Eftersom ekvationerna har samma lösningar är de sinsemellan
ekvivalenta.
b)
x +1
=1
2
− ( x + 1) = 2
−
−x −1 = 2
−x = 3
x = −3
x 2 + 5 ( x + 1) − 3 = x ( x + 5 ) + 2
x2 + 5x + 5 − 3 = x2 + 5x + 2
0=0
sant
⋅2
3
2 x + 2 ⋅ x = 420
4
3
2 x + x = 420
2
4 x + 3 x = 840
3
x.
4
⋅2
7 x = 840
x = 120
Hagens längd är 120 m och bredden är
3
⋅ 120 m = 90 m
4
Svar: Längden är 120 m och bredden 90 m.
Ellips 1 • Funktioner och ekvationer
•
Lösningar till uppgifterna
•
sid. 30
Uppgift 318
Delarnas längder är
65, 65 − 10 = 55, 65 − 20 = 45, 65 − 30 = 35,
Vi betecknar dotterns ålder med x. Då är mammas ålder 3x och
pappas ålder 3x + 2.
Vi får ekvationen
65 − 40 = 25, 65 − 50 = 15
x + 3x + ( 3 x + 2 ) = 100
7 x = 98
x = 14
Svar: 65 cm, 55 cm, 45 cm, 35 cm, 25 cm och 15 cm
|:7
Svar: Dottern är 14 år, mamman 42 år och pappan 44 år.
Uppgift 320
Antal bilar som passerade räkningsstället
kl. 12–13
kl. 13–14
kl. 14–15
kl. 15–16
kl. 16–17
Uppgift 319
Anta att enheten är cm.
Delarnas längder är då
1:a delen x
2:a delen x − 10
3:e delen x − 20
4:e delen x − 30
5:e delen x − 40
6:e delen x − 50
x
x + 100
x + 200
x + 300
x + 400
Vi får ekvationen
x + x + 100 + x + 200 + x + 300 + x + 400 = 2500
5 x + 1000 = 2500
5 x = 1500
x = 300
Vi får ekvationen
x + ( x − 10 ) + ( x − 20 ) + ( x − 30 ) + ( x − 40 ) + ( x − 50 ) = 240
6 x − 150 = 240
6 x = 390 : 6
x = 65
Kl. 15–16 passerade 300 + 300 = 600 bilar räkningsstället.
Svar: 600 bilar
Ellips 1 • Funktioner och ekvationer
•
Lösningar till uppgifterna •
Uppgift 321
Vi betecknar månadslönen med bokstaven x. Då går
1
1
skatt, x till mat, x till boende,
5
6
1
x till kläder och 300 euro till övriga utgifter.
7
Vi får ekvationen
2
1
1
1
x + x + x + x + 300
5
5
6
7
3
1
1
| ⋅ 210 ( = 5 ⋅ 6 ⋅ 7 )
x = x + x + x + 300
5
6
7
210 x = 126 x + 35 x + 30 x + 63 000
19 x = 63 000
| : 19
x = 3315,789...
x=
x ≈ 3300 (euro)
sid. 31
Uppgift 322
2
x till
5
a) Antal deltagare
Antal finländare
Antal utlänningar
Antal svenskar
x
2
x
3
1
x
3
2 1
2
⋅ x= x
5 3
15
Vi kan också beteckna antalet svenskar
Vi får ekvationen
2
2
x = x − 72
15
3
2 x = 10 x − 1080
8 x = 1080
x = 135
⋅15
Svar: Antalet deltagare var totalt 135.
Svar: 3 300 euro
b) utlänningar
svenskar
norrmän
1
⋅ 135 = 45
3
2
⋅ 45 = 18
5
2
⋅ 45 = 6
15
2
x − 72
3
Ellips 1 • Funktioner och ekvationer •
Lösningar till uppgifterna •
sid. 32
Svar: 18 utländska deltagare var varken svenskar, norrmän eller
danskar.
Eftersom brädet är 6,0 meter långt, får vi ekvationen
3
3⋅ y + 6⋅ y = 6
2
3y + 9 y = 6
12 y = 6
1
y = (m)
2
2
3 1 3
Då är y = ⋅ = = 0,75 ( m )
3
2 2 4
Uppgift 323
Svar: Bitarna har längderna 50 cm och 75 cm.
1
⋅ 45 = 3
15
Andelen övriga utlänningar är
danskar
2
1
⎛2
⎞
45 − ⎜ ⋅ 45 + ⋅ 45 + ⋅ 45 ⎟
5
15
⎝5
⎠
= 45 − 18 − 6 − 3 = 18
Eftersom Johan sågar av brädet på åtta ställen, är antalet bitar
totalt nio.
antalet korta bitar
antalet långa bitar
x st
2 x st
x + 2x = 9
3x = 9
x = 3, och då är 2 x = 6
Det finns tre korta bitar och sex långa bitar.
den korta biten har längden
y m
1
3
den långa biten har längden 1 ⋅ y = y m
2
2
Uppgift 324
Glasrutans sida har längden x (m)
Karmens area är 19 dm 2 = 1900 cm 2
Ett uttryck för karmens area är
4 ⋅ 5 x + 4 ⋅ 52 = 20 x + 100
Vi får ekvationen
20 x + 100 = 1900
20 x = 1800
x = 90
Svar: Glasrutans längd är 90 cm.
x
5
x
5
x + 10
Ellips 1 • Funktioner och ekvationer • Lösningar till uppgifterna • sid. 33
Uppgift 325
x ( a − 4 ) = 3 (1 − x )
Svar:
x ( a − 4 ) = 3 − 3x
x ( a − 4 ) + 3x = 3
x ( a − 4 + 3) = 3
x ( a − 1) = 3
1 Om a − 1 ≠ 0 , dvs. a ≠ 1 , får vi
x(a − 1) = 3
3
x=
a −1
: (a − 1), a ≠ 1
3
⎧
, om a ≠ 1
⎪ x=
a −1
⎨
⎪⎩lösning saknas om a = 1
Uppgift 326
a) ax − 2 = 2 ( a − x + 1)
ax − 2 = 2a − 2 x + 2
ax + 2 x = 2a + 2 + 2
( a + 2 ) x = 2a + 4
1 Om a + 2 ≠ 0, dvs. a ≠ −2 , kan vi dividera med
uttrycket a + 2 .
1
3
Ekvationens lösning är x =
, om a ≠ 1
a −1
x=
2a + 4 2 ( a + 2 )
=2
=
a+2
a+2
1
2 Om a − 1 = 0 , dvs. a = 1 , får den ursprungliga ekvationen
formen
x (1 − 4 ) = 3 (1 − x )
−3 x = 3 − 3x
0=3
falskt
Ekvationen saknar lösning om a = 1
Ekvationens lösning är x = 2 om a ≠ 2 .
2 Om a + 2 = 0, dvs. a = −2 får den ursprungliga ekvationen
formen
−2 x − 2 = 2(−2 − x + 1)
−2 x − 2 = −4 − 2 x + 2
−2 x + 2 x = −2 + 2
0 = 0 sant
Ekvationen är sann för alla värden på x om a = −2 .
Ellips 1 • Funktioner och ekvationer • Lösningar till uppgifterna • sid. 34
Svar:
⎧ x = 2, om a ≠ −2
⎨
⎩ x ∈ R , om a = −2
Svar:
b) ax = a − ( x + 1)
ax = a − x − 1
ax + x = a − 1
( a + 1) x = a − 1
x=
: a + 1), a ≠ 1
a −1
a +1
Ekvationens lösning är x =
a −1
⎧
, om a ≠ −1
⎪ x=
a +1
⎨
⎪⎩lösning saknas om a = −2
Uppgift 327
1 om a + 1 ≠ 0 dvs. a ≠ −1 kan ekvationen divideras med
uttrycket a + 1 .
(a + 1) x = a − 1
Ekvationen saknar lösning om a = −1
a −1
om a ≠ 1 .
a +1
2 när a + 1 = 0 dvs. a = −1 får den ursprungliga ekvationen
formen
− x = −1 − ( x + 1)
− x = −1 − x − 1
− x + x = −2
0 = − 2 falskt
ax − b = x + 1
ax − x = 1 + b
( a − 1) x = 1 + b
1 Om a − 1 ≠ 0 dvs. a ≠ 1 , kan vi dividera med uttrycket a − 1 .
(a − 1) x = 1 + b
x=
: (a − 1), a ≠ 1
1+ b
a −1
Ekvationen har lösningen x =
1+ b
, om a ≠ 1 .
a −1
2 Om a − 1 = 0 dvs. a = 1 och 1 + b = 0 dvs. b = −1 får den
ursprungliga ekvationen formen
Ellips 1 • Funktioner och ekvationer • Lösningar till uppgifterna • sid. 35
1x − (−1) = x + 1
x +1= x +1
x − x = 1−1
0 = 0 sant
Ekvationen är sann för alla värden på x om a = 1 och b = −1
Uppgift 328
a)
⎧4 x − 2 y = 12
+ ⎨
⎩3 x + 2 y = 2
3 Om a = 1 och b ≠ −1 , får den ursprungliga ekvationen formen
7x
1⋅ x − b = x + 1
x − b = x +1
b = −1 falskt eftersom b ≠ −1
Svar:
= 14
x=2
⎧ 6 x − 3 y = 18
+ ⎨
⎩−6 x − 4 y = −4
Ekvationen saknar lösning om a = 1 och b ≠ −1 .
1+ b
⎧
, om a ≠ 1
x
=
⎪
a −1
⎪
⎪
x ∈ R , om a = 1 och b = 1
⎨
⎪
⎪
⎪lösning saknas om a = 1 och b ≠ −1
⎩
⎧ 2x − y = 6
⎨
⎩3x + 2 y = 2
− 7 y = 14
y = −2
Svar:
x = 2 och y = −2
⋅2
⋅3
⋅ ( −2 )
Ellips 1 • Funktioner och ekvationer •
Lösningar till uppgifterna
•
sid. 36
b)
Alternativ 2
⎧ 5x + 2 y + 1 = 0
⎨
⎩2 x + 3 y + 7 = 0
⎧2 x − y = 6
⎨
⎩3 x + 2 y = 2
⎧ y = 2x − 6
⎨
⎩3 x + 2 y = 2
insättning i den andra ekvationen
⎧15 x + 6 y + 3 = 0
+⎨
⎩−4 x − 6 y − 14 = 0
11x
3x + 2 ( 2 x − 6 ) = 2
5 ⋅1 + 2 y + 1 = 0
x=2
y = 2 ⋅ 2 − 6 = −2
⎧x = 2
⎨
⎩ y = −2
− 11 = 0
11x = 11
x =1
3 x + 4 x − 12 = 2
7 x = 14
Svar:
⋅3
⋅ ( −2 )
2 y = −6
y = −3
Svar:
x = 1 och y = −3
Ellips 1 • Funktioner och ekvationer
•
Lösningar till uppgifterna
•
sid. 37
⎧−7 x + 2 y = 45
⎨
⎩ 2x − 7 y = 0
b)
Uppgift 329
⎧ 3x + 5 y − 4 = 0
a) ⎨
⎩4 x + 2 y − 3 = 0
⋅ ( −4 )
⋅3
⎧−14 x + 4 y = 90
⎨
+ ⎩ 14 x − 49 y = 0
− 45 y = 90
90
y=
−45
y = −2
⎧−12 x − 20 y + 16 = 0
⎨
+ ⎩ 12 x + 6 y − 9 = 0
− 14 y + 7 = 0
− 14 y = −7
1
y=
2
1
4x + 2 ⋅ − 3 = 0
2
4x = 3 + 1
4x = 4
x =1
Svar:
1
⎧
x
=
⎪⎪
2
⎨
⎪y = 1
⎪⎩
2
2 x − 7 ⋅ ( −2 ) = 0
2 x = −14
x = −7
Svar:
⎧ x = −7
⎨
⎩ y = −2
⋅2
⋅7
Ellips 1 • Funktioner och ekvationer •
9 x − 2 ⋅ ( −5 x + 1) + 1 = 0
9 x + 10 x − 2 + 1 = 0
19 x − 1 = 0
19 x = 1
1
x=
19
⎛1⎞
y = −5 ⋅ ⎜ ⎟ + 1
⎝ 19 ⎠
−5 19
=
+
19 19
14
=
19
Svar:
sid. 38
⎧ 7 x + 4 y − 28 = 0
b) ⎨
⎩−21x − 12 y + 84 = 0
Uppgift 330
⎧9 x − 2 y + 1 = 0
a) ⎨
⎩ y = −5 x + 1
1
⎧
x
=
⎪⎪
19
⎨
⎪ y = 14
⎪⎩
19
Lösningar till uppgifterna •
⋅3
⎧ 21x + 12 y − 84 = 0
+⎨
⎩−21x − 12 y + 84 = 0
0=0
sant
De båda ekvationerna är ekvivalenta och då är alla talpar ( x, y )
för vilka
7 x + 4 y − 28 = 0
4 y = −7 x + 28
7
y = − x + 7 lösning
4
Svar:
⎧x ∈ R
⎪
⎨
7
y
x+7
=
−
⎪⎩
4
Ellips 1 • Funktioner och ekvationer •
Lösningar till uppgifterna • sid. 39
2 x − 1 = 3x + 1
Uppgift 331
2 x − 3x = 1 + 1
⎧−4a − 6b = −16
⎨
+ ⎩ 18a + 6b = −12
14a
−x = 2
x = −2
⋅ ( −2 )
⋅3
⎧ 2a + 3b = 8
a) ⎨
⎩6a + 2b = −4
= −28
a = −2
y = 2 ⋅ ( −2 ) − 1 = − 5
Svar:
⎧ x = −2
⎨
⎩ y = −5
Uppgift 332
2 ⋅ ( −2 ) + 3b = 8
3b = 8 + 4
3b = 12
b=4
Svar:
b)
⎧ a = −2
⎨
⎩b = 4
⎧ y = 2x − 1
⎨
⎩ y = 3x + 1
⎧ 20 x − 15 y = 50
a) ⎨
⎩30 y − 40 x = −30
:10
⎧4 x − 3 y = 10
+ ⎨
⎩3 y − 4 x = −3
0=7
insättning i den andra ekvationen
:5
Svar: Lösning saknas
falskt
Ellips 1 • Funktioner och ekvationer •
⎧12 x = 5 y + 35
b) ⎨
⎩10 y = 4 x − 10
⎧ 12 x − 5 y − 35 = 0
⎨
⎩−4 x + 10 y + 10 = 0
⋅2
⎧ 24 x −10 y − 70 = 0
⎨
+ ⎩−4 x + 10 y + 10 = 0
20 x
− 60 = 0
20 x = 60
x=3
10 y = 4 ⋅ 3 − 10
y=
Svar:
2 1
=
10 5
⎧x = 3
⎪
⎨
1
y
=
⎪⎩
5
Lösningar till uppgifterna • sid. 40
⎧32 x + 8 y − 64 = 0
⎨
insättninng i den första ekvationen
⎩ y = −4 x + 8
32 x + 8 ⋅ ( −4 x + 8 ) − 64 = 0
32 x − 32 x + 64 − 64 = 0
0 = 0 sant
⎧ x∈R
Svar: ⎨
⎩ y = −4 x + 8
⎧ 4x = 3y + 1
⎪
b) ⎨ 1
1
⎪⎩ 3 x = 4 y + 1
⎧32 x + 8 y − 64 = 0
a) ⎨
⎩5 y = −20 x + 40
⋅ ( −1)
⎧4 x = 3 y + 1
⎨
⎩4 x = 3 y + 12
⎧ −4 x = −3 y − 1
⎨
+ ⎩ 4 x = 3 y + 12
0=
Uppgift 333
⋅12
0 = 11
0 + 11
falskt
Svar: Lösning saknas
Ellips 1 • Funktioner och ekvationer
•
Lösningar till uppgifterna •
sid. 41
Uppgift 334
b)
a)
⎧−0,72 x + 4,8 y − 6 = 0
⎨
⎩ 1,5 x −15 y + 7,5 = 0
⎧−72 x + 480 y − 600 = 0
⎨
15 x −150 y + 75 = 0
⎩
⋅100
⎧ − 12 x + 80 y − 100 = 0
⎨
x −10 y + 5 = 0
⎩
:4
⋅10
:6
:15
⎧7 x − 3 y = 42
⎨
⎩ 3 x − y = −16
⎧
⎨
⎩
− 3 x + 20 y − 25 = 0
x −10 y + 5 = 0
⋅2
⎧
⎨
⎩
− 3 x + 20 y − 25 = 0
2 x − 20 y + 10 = 0
⎧ −3 x + 20 y − 25 = 0
⎨
⎩ 3 x − 30 y + 15 = 0
−x
Svar:
− 15 = 0
x = −15
⎧ x y
⎪⎪ 3 − 7 = 2
⎨
⎪ x − y − 1 = −5
⎪⎩
3
⎧ 7 x − 3 y = 42
⎨
⎩3 x − ( y − 1) = −15
⋅ 21
⋅3
⋅ ( −3)
⎧ 7 x − 3 y = 42
+⎨
⎩−9 x + 3 y = 48
⋅3
− 2x
= 90
x = −45
−45 y
− =2
3 7
− 10 y − 10 = 0
y = −1
y
=2
7
y
− = 17
7
y = −119
⎧ x = −45
⎨
⎩ y = −119
−15 −
⎧ x = −15
⎨
⎩ y = −1
Svar:
|⋅ ( −7 )
Ellips 1 • Funktioner och ekvationer • Lösningar till uppgifterna • sid. 42
Uppgift 335
a)
x + 2 y +1
⎧
=
⎪⎪
2
3
⎨
⎪ 2 x − 1 − y − 2 = 25
⎪⎩ 3
2
2
Svar:
⋅6
⋅6
⎧0,1x − 0,09 y = 0
b) ⎨
⎩ −45 x + 36 y = 10
⎧
3 ( x + 2 ) = 2 ( y + 1)
⎨ (
⎩2 2 x − 1) − 3 ( y − 2 ) = 3 ⋅ 25
⎧ 10 x − 9 y = 0
⎨
⎩−45 x + 36 y = 10
3x + 6 = 2 y + 2
⎧
⎨
⎩4 x − 2 − 3 y + 6 = 75
⎧3 x − 2 y = −4
⎨
⎩4 x − 3 y = 71
⎧−12 x + 8 y = 16
⎨
+ ⎩ 12 x − 9 y = 213
⎧ 40 x − 36 y = 0
⎨
+ ⎩−45 x + 36 y = 10
− 5x
⋅ ( −4 )
⋅3
= 10
x = −2
10 ⋅ ( −2 ) − 9 y = 0
−9 y = 20
20
9
2
y = −2
9
y=−
− y = 229
y = −229
3 x − 2 ⋅ ( −229 ) = −4
3 x = −462
x = −154
⎧ x = −154
⎨
⎩ y = −229
Svar:
⎧ x = −2
⎪
⎨
2
⎪⎩ y = −2 9
⋅100
⋅4
Ellips 1 • Funktioner och ekvationer •
Lösningar till uppgifterna •
Uppgift 336
sid. 43
Uppgift 337
2x − 2 y = x − 2 y + 3 = 5x − 1
Vi betecknar
antalet vuxna
antalet barn
⎧ 2 x − 2 y = 5x − 1
⎨
⎩ x − 2 y + 3 = 5x − 1
⎧ x + y = 2500
⎨
⎩9 x + 5 y = 19700
⎧ 2 x − 2 y − 5 x = −1
⎨
⎩ x − 2 y − 5 x = −1 − 3
⎧ −3 x − 2 y = −1
⎨
⎩−4 x − 2 y = −4
⋅ ( −1)
⎧ 3x + 2 y = 1
⎨
+ ⎩−4 x − 2 y = −4
⎧ 12 x + 8 y = 4
⎨
+ ⎩−12 x − 6 y = −12
−x
Svar:
= −3
x=3
⎧x = 3
⎨
⎩ y = −4
x
y
2 y = −8
y = −4
⋅ ( −4 )
⋅3
⋅ ( −5 )
⎧−5 x − 5 y = −12500
⎨
+ ⎩ 9 x + 5 y = 19700
4x
= 7200
x = 1800
1800 + y = 2500
y = 2500 − 1800
y = 700
Svar: 1800 vuxna och 700 barn
Ellips 1 • Funktioner och ekvationer •
Lösningar till uppgifterna •
Uppgift 338
vetemjöl
200 g
300 g
sid. 44
Uppgift 339
potatismjöl
200 g
100 g
x blåbärspajer
y äppelpajer
Lahtis
5x
y
Vi får ekvationssystemet
⎧200 x + 300 y = 3800
⎨
⎩ 200 x + 100 y = 2200
⎧ 200 x + 300 y = 3800
+ ⎨
⎩−200 x − 100 y = −2200
Riihimäki
x
⋅ (−1)
Hyvinge
200 y = 1600
y =8
Tavastehus
vi sätter in i den andra
ekvationen
200 x + 800 = 2200
200 x = 1400
x=7
Svar: Sju blåbärspajer och åtta äppelpajer.
Vi får ekvationssystemet
⋅ ( −5 )
⎧ x + y = 49
⎨
⎩5 x + y = 97
⎧−5 x − 5 y = −245
+⎨
⎩ 5 x + y = 97
− 4 y = −148
y = 37
Obs! Värdet på variabeln x
behövs inte.
Svar: Sträckan Riihimäki–Tavastehus är 37 km.
Ellips 1 • Funktioner och ekvationer
•
Lösningar till uppgifterna •
Uppgift 340
Uppgift 341
Jokerit gjorde
Ilves gjorde
⎧x + 1 = 2 y
⎨
⎩x −1 = y
sid. 45
x mål
y mål
veckobiljetter x st
dagsbiljetter y st
á 67 euro
á 5 ⋅ 15 = 75 euro
Vi får ekvationssystemet
insättning i den övre ekvationen
x + 1 = 2 ( x − 1)
x + 1 = 2x − 2
x=3
y = 3 −1 = 2
Svar: Jokerit 3 och Ilves 2
⎧ 67 ( x + y ) = 1139
⎨
⎩67 x + 75 y = 1187
⎧ 67 x + 67 y = 1139
⎨
⎩ 67 x + 75 y = 1187
⋅ ( −1)
⎧−67 x − 67 y = −1139
+⎨
⎩ 67 x + 75 y = 1187
8 y = 48
y=6
67 ( x + 6 ) = 1139 |:67
x + 6 = 17
x = 11
Svar: Elva åkte hela veckan.
Ellips 1 • Funktioner och ekvationer •
Lösningar till uppgifterna •
sid. 46
⎧⎪ v1 + v2 = 10
⎨
⎪⎩2 ( v1 − v2 ) = 15
Uppgift 342
sträckan s = 5 (km)
båtens hastighet i lugnt vatten v1 (km/h)
strömningshastigheten v2 (km/h)
30 1
= (h)
60 2
40 2
tiden motströms
(h)
=
60 3
Sträckan = hastighet ⋅ tid: s = v ⋅ t .
Vi får ekvationssystemet
⎧ v1 + v2 = 10
⎨
⎩2v1 − 2v2 = 15
⋅2
tiden medströms
1
⎧
⎪⎪( v1 + v2 ) ⋅ 2 = 5
⎨
⎪( v − v ) ⋅ 2 = 5
⎪⎩ 1 2 3
⎧2v1 + 2v2 = 20
+ ⎨
⎩ 2v1 − 2v2 = 15
4v1 = 35
⋅2
⋅3
35
3
=8
4
4
3
1
v2 = 10 − 8 = 1
4
4
v1 =
Svar:
Båtens hastighet 9 km/h och
strömningshastigheten är 1 km/h.
Ellips 1 • Funktioner och ekvationer • Lösningar till uppgifterna • sid. 47
Svar: x =
Uppgift 343
a)
⎧1 1
⎪⎪ x + y = 7
⎨
⎪1 − 1 =1
⎪⎩ x y
Vi gör variabelsubstitutionen u =
1
1
och får
och v =
x
y
ekvationssystemet
⎧ u+v=7
⎨
+⎩ u − v =1
2u
(1)
1
1
och y =
4
3
b)
5
⎧ 2
⎪⎪ x + y − x − y = −9
⎨
⎪ 1 + 3 =1
⎪⎩ x + y x − y
⎧2u − 5v = −9
⎨
⎩ u + 3v = 1
1
x+ y
1
v=
x− y
u=
⋅ ( −2 )
⎧ 2u − 5v = −9
+⎨
⎩−2u − 6v = −2
− 11v = − 11
v =1
=8
u=4
Vi gör insättningen u = 4 i ekvation (1)
4+v=7
v=3
u = 1 − 3v = 1 − 3 ⋅ 1 = −2
Vi får ekvationssystemet
Eftersom u =
1
1
1
dvs. x = , får vi x = .
x
u
4
Eftersom v =
1
1
1
dvs. y = , får vi y = .
3
y
v
⎧ 1
⎪⎪ x − y = 1
⎨
⎪ 1 = −2
⎪⎩ x + y
Ellips 1 • Funktioner och ekvationer • Lösningar till uppgifterna • sid. 48
⎧x − y = 1
⎪
⎨
1
+ ⎪x + y = −
2
⎩
2x
1
2
1
x=
4
=
y = x −1 =
Svar:
(1)
Uppgift 344
⎧ x + y =1
a) ⎨
⎩tx − y = 0
Den andra ekvationen ger y = tx .Vi sätter in detta i den första
ekvationen
1
3
−1 = −
4
4
1
3
och y = −
x=
4
4
x + tx = 1
(1 + t ) x = 1
(1)
Om 1 + t ≠ 0 dvs. t ≠ −1 får vi
(1 + t ) x = 1
: (1 + t ) , t ≠ −1
1
1+ t
t
1
y =t⋅
=
1+ t 1+ t
x=
Om 1 + t = 0 dvs. t = −1 , får ekvation (1) formen
0 = 1 falskt
Ekvationssystemet saknar lösningar om t = −1 .
Ellips 1 • Funktioner och ekvationer • Lösningar till uppgifterna • sid. 49
Svar:
1
⎧tx − 3 y = t
b)
⎨
(1) ⎩ x + 6 y = 1
1
Om 2t + 1 ≠ 0, dvs. t ≠ − , får vi
2
( 2t + 1) x = 2t + 1
2
⋅2
⎧ − x − 6 y = −1
⎨
+⎩ x + 6y =1
⋅2
⎧2tx − 6 y = 2t
⎨
+⎩ x + 6y =1
( 2t + 1) x = 2t + 1
2
1
⎧ 1
⎪− − 3 y = −
2
⎨ 2
⎪⎩ x + 6 y = 1
1
t
⎧
och y =
, när t ≠ −1
⎪x =
1+ t
⎨ 1+ t
⎪⎩lösning saknas, när t = −1
1
: ( 2t + 1) , t ≠ −
2
x =1
Ekvation (1) ger
1+ 6y =1
6y = 0
y=0
1
Om 2t + 1 = 0, dvs. t = − , får ekvationssystemet formen
2
0 = 0 sant
Ekvationerna i ekvationssystemet är ekvivalenta och då är
alla talpar ( x, y ) , för vilka
x + 6y =1
6 y = −x +1
1
1
lösning
y=− x+
6
6
⎧ x∈R
1
⎪
När t ≠ − är ekvationssystemets lösning
⎨
1
1
2
⎪⎩ y = − 6 x + 6
OBS:
Vi kan också skriva lösningen på formen
⎧y∈R
⎨
⎩x =1− 6y
Ellips 1 • Funktioner och ekvationer •
Lösningar till uppgifterna •
sid. 50
b)
Svar:
Vi sätter in den första ekvationen i den andra
Uppgift 345
⎧x + y = 3
a) ⎨
⎩ x: y =5
⎧x + y = 3
⎨
x = 5y
⎩
Vi sätter in den andra ekvationen i den första
5y + y = 3
6y = 3
y=
1
2
1
1
=2
2
2
1
1
x = 2 och y =
2
2
x = 5⋅
Svar:
⎧x + y = 0
⎨
⎩ x: y =5
⎧ x = −y
⎨
⎩ x: y =5
1
⎧
⎪⎪ x = 1 och y = 0, när t ≠ − 2
⎨
⎪ x ∈ R och y = − 1 x + 1 , när t = − 1
⎪⎩
6
6
2
−y
=5
y
−1 = 5 falskt
Svar: Lösning saknas.
c)
⎧ x + y + z = 22
⎨
⎩ x : y : z = 2:4:5
Den nedre ekvationen ger
x: y = 2:4
x : y = 1: 2
och
x : z = 2:5
5
z= x
2
y = 2x
Vi sätter in detta i den första ekvationen
Ellips 1 • Funktioner och ekvationer •
5
x = 22
2
6 x + 5 x = 44
11x = 44
x=4
x + 2x +
Då är y = 2 ⋅ 4 = 8 och z =
Svar:
5
⋅ 4 = 10
2
x = 4, y = 8 och z = 10
⋅2
Lösningar till uppgifterna •
sid. 51
Uppgift 346
⎧ x − y− z=2
⎪
a) ⎨ x − 2 y + 3z = 0
⎪3x − 4 y + 2 z = −2
⎩
⎧ x= y+z+2
⎪
⎨ x − 2 y + 3z = 0
⎪3x − 4 y + 2 z = −2
⎩
vi sätter in i de två nedersta
ekvationerna
⎧⎪ ( y + z + 2 ) − 2 y + 3z = 0
⎨
⎪⎩3 ( y + z + 2 ) − 4 y + 2 z = −2
⎧− y + 4 z = −2
⎨
⎩− y + 5 z = −8
⎧ y = 4z + 2
⎨
⎩− y + 5 z = −8
vi sätter in i den nedre ekvationen
−4 z − 2 + 5 z = −8
z = −6
y = 4 z + 2 = −24 + 2 = −22
x = y + z + 2 = −22 − 6 + 2 = −26
Svar:
x = −26 och y = −22 och z = −6
Ellips 1 • Funktioner och ekvationer •
Kontroll:
⎧−26 − ( −22 ) − ( −6 ) = 2
⎪
⎨−26 − 2 ⋅ ( −22 ) + 3 ⋅ ( −6 ) = 0
⎪
⎩3 ⋅ ( −26 ) − 4 ⋅ ( −22 ) + 2 ⋅ ( −6 ) = −2
⎧6 x + 3 y + 2 z + 5 = 0
⎪
b) ⎨ x − y + z + 3 = 0
⎪ x + 2 y − 3z − 8 = 0
⎩
⎧9 y − 4 z = 13
+⎨
⎩3 y − 4 z = 11
=2
1
y=
3
1
3 ⋅ − 4 z = 11
3
− 4 z = 10
z=−
Svar:
⎧⎪6 ( y − z − 3) + 3 y + 2 z + 5 = 0
⎨
⎪⎩ ( y − z − 3) + 2 y − 3z − 8 = 0
⎧9 y − 4 z = 13
⎨
⎩3 y − 4 z = 11
sid. 52
10
5
1
= − = −2
4
2
2
x = y − z −3=
⎧6 x + 3 y + 2 z + 5 = 0
⎪
x = y − z −3
⎨
⎪ x + 2 y − 3z − 8 = 0
⎩
6y
Lösningar till uppgifterna •
⋅ ( −1)
2) 1
x=−
3
1
6
+
3) 5
2
− 6) 3 =
och y =
1
3
2 + 15 − 18
1
=−
6
6
och z = −2
1
2