Transcript Andragradsekvationer

1.1 Polynom
Andragradsekvationer
Kvadratrotsmetoden
Här löser vi ekvationer genom kvadratrotsutdragning
𝑥2 = 9
2𝑥 + 3
2
= 49
𝑥=± 9
2𝑥 + 3 = ±7
𝑥1 = 3; 𝑥2 = −3
2𝑥 = −3 ±7
𝑥=
−3 ± 7
2
𝑥1 =
4
=2
2
−10
𝑥2 =
= −5
2
Nollproduktmetoden
Här löser vi ekvationer genom faktorisering
2
2𝑥 − 5𝑥 = 0
𝑥(2𝑥 − 5) = 0
𝑥 = 0 eller 2𝑥 − 5 = 0
𝑥1 = 0; 𝑥2 =
5
2
Ofta bryta ut x eller använda konjugatoch kvadrerings-reglerna baklänges
Härledninga av pq formeln
𝑥2
𝑝
+ 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0 → 𝑥 = − ±
2
𝑝
𝑥 + 𝑝𝑥 = −𝑞 ↔ 𝑥 + 𝑝𝑥 +
2
2
2
𝑝
𝑝
𝑝
(𝑥 + )(𝑥 + ) =
2
2
2
𝑝
𝑥+ =±
2
𝑝
2
2
2
2
𝑝
2
𝑝
=
2
𝑝
−𝑞 ↔ 𝑥+
2
−𝑞 ↔
𝑝
𝑥=− ±
2
2
2
−𝑞
2
−𝑞 ↔
𝑝
=
2
𝑝
2
2
2
−𝑞
−𝑞 ↔
1128
En bakteriekultur tillväxer enligt formeln
𝑁 𝑥 = 2500 + 350𝑥 + 25𝑥 2 där 𝑁 𝑥 är antalet
bakterier x minuter efter försökets början. Hur länge
dröjer det innan antalet bakterier fördubblats?
Från början, efter 0 minuter, finns det
𝑁 0 = 2500 + 350 × 0 + 25 × 02 = 2500 st bakterier
Hur många minuter (𝑥) behöver passera innan vi har
5000 bakterier? Vi ställer upp en ekvation för detta.
2500 + 350𝑥 + 25𝑥 2 = 5000 ↔ 25𝑥 2 + 350𝑥 − 2500 = 0 ↔
𝑥 2 + 14𝑥 − 100 = 0 ↔ 𝑥 = −7 ± 72 − (−100) ↔
𝑥 = −7 ± 49 + 100 ↔ 𝑥 = −7 + 149 ↔ 𝑥 = 5,2
(𝑥2 = −7 − 149)
Svar: Det tar 5,2 minuter för bakteriekulturen att fördubblas till 5000 stycken
enligt denna modell
𝑁 𝑥 = 2500 + 350𝑥 + 25𝑥 2
1129
a) Lös ekvationen
𝑥 2 𝑥 + 1 − 64 𝑥 + 1 = 0
Här är 𝑥 + 1 en gemensam faktor i de
båda termerna som vi då kan bryta ut
𝑥 + 1 (𝑥 2 − 64) = 0
𝑥1 = −1 eller 𝑥 2 − 64 = 0
𝑥1 = −1; 𝑥2 = 8; 𝑥3 = −8
Kvadrera rotekvationer
1133
b) Lös ekvationen
2𝑥 + 5 = 𝑥 + 1
2𝑥 + 5 = 𝑥 + 1
2×2+5=2+1
9=3
2
3=3
𝑥1 = 2
Sant
2𝑥 + 5 = 𝑥 2 + 2𝑥 + 1
𝑥2 − 4 = 0
𝑥=± 4
𝑥1 = 2; 𝑥2 = −2
2 × (−2) + 5 = −2 + 1
1 = −1
1 ≠ −1
𝑥1 = −2
Falskt
Vi har två lösningar till en ekvation av grad 1, när vi kvadrerar båda leden i
ekvationen tillför vi ytterligare en lösning. Endast en av lösningarna kommer
att uppfylla den ursprungliga ekvationen, den andra kommer att vara en så
kallad falsk rot. För att hitta vilken rot som är korrekt så prövar vi bägge i den
ursprungliga ekvationen.
Substituera ett uttryck
1134
a) Lös ekvationen
𝑥+4
2
− 16 𝑥 + 4 + 63 = 0
Vi sätter 𝑥 + 4 = 𝑡, vi får då följande ekvation
𝑡 2 − 16𝑡 + 63 = 0
𝑡 = 8 ± 64 − 63
𝑡 =8±1
𝑡1 = 9; 𝑡2 = 7
Vi använder oss av 𝑥 + 4 = 𝑡, för att räkna ut 𝑥
𝑡1
𝑡2
𝑥1 + 4 = 9
𝑥2 + 4 = 7
𝑥1 = 5
𝑥2 = 3
1141
𝑥 skall stå ensamt på ena
sidan likhetstecknet
a) Lös ut 𝑥
𝑧=
𝑥
𝑥+𝑦
𝑧2 =
𝑥
↔
𝑥+𝑦
𝑦𝑧 2
= 𝑥(1 −
𝑧 2 (𝑥 + 𝑦) = 𝑥 ↔ 𝑥𝑧 2 + 𝑦𝑧 2 = 𝑥 ↔
𝑧 2)
𝑦𝑧 2
↔
=𝑥
1 − 𝑧2
𝑦𝑧 2 = 𝑥 − 𝑥𝑧 2 ↔
1157
a) Figuren visar grafen till ett
andragradspolynom. Skriv polynomet i
faktorform.
Då vi vet nollställena kan vi börja
skriva upp polynomet 𝑃 𝑥
𝑃 𝑥 = (𝑥 − 1)(𝑥 − 4)
𝑃 𝑥 =
𝑥2
− 5𝑥 + 4
𝑃 𝑥 = −0,5(𝑥 2 − 5𝑥 + 4)
𝑃 𝑥 = −0,5𝑥 2 + 2,5𝑥 − 2
𝑃 𝑥 = −0,5(𝑥 − 1)(𝑥 − 4)
Här har vi polynomets nollställen
Dessa två saker går inte hand i hand,
vi måste justera polynomet med en
faktor −0,5 för att korsningen med 𝑦
axeln skall stämma.
1158
a) Skriv i faktorform en ekvation för tredjegradspolynomet