Transcript 8. Frekvensanalys

8. Frekvensanalys
Vi har hittills studerat systems egenskaper både i tidsplanet (t.ex. stegsvar) och i Laplaceplanet
(t.ex. stabilitet). I detta kapitel skall vi analysera systemegenskaper i ”frekvensplanet” genom att
studera systemets stationära beteende när det exciteras av en sinusformigt svängande insignal
med given frekvens. Med stationärt beteende avses beteendet när eventuella initialeffekter dött
ut, dvs när tiden t → ∞ . Utsignalen för ett linjärt system kommer då också att svänga sinusformigt med vissa karakteristiska egenskaper beroende på systemet samt insignalens frekvens
och amplitud. När dessa egenskaper uttrycks som funktion av insignalens frekvens talar vi om
frekvenssvaret. Allmänt kallar vi den analys som kan göras med hjälp av frekvenssvaret för
frekvensanalys.
Varför vill vi studera systemets beteende under dylika betingelser? Det finns flera orsaker.
Tidsvarierande störningar som påverkar ett system liknar ofta sinusformigt oscillerande signaler.
Dessutom kan ”nästan alla” funktioner och därmed nästan godtyckliga insignaler via Fouriertransformen uttryckas som en summa av sinus- och cosinusfunktioner vid ett (ev. mycket stort)
antal frekvenser. Detta möjliggör mycket effektiva generaliseringar vid analys av linjära system.
8.1 Frekvenssvaret för ett stabilt system
Vi skall härleda frekvenssvaret för ett godtyckligt linjärt system under förutsättningen att det är
stabilt. För att stegvis kunna introducera nya begrepp och därmed underlätta härledningen
betraktar vi först några enkla systemtyper, som i huvudsak saknar dynamik (transienta effekter),
men som ofta ingår som delkomponenter i mera allmänna system. Först därefter behandlar vi
system av första och andra ordningen, där dynamiken spelar en mer framträdande roll. Denna
behandling ligger även till grund för härledningen av frekvenssvaret för system av högre ordning. Som vi skall se, är det dock enklare, och med mindre risk för fel, att beräkna frekvenssvaret
för ett system av högre ordning genom uppdelning av systemet i enklare seriekopplade delsystem. Avslutningsvis sammanfattar vi därför frekvenssvaret för de genomgångna enklare
systemen.
8.1.1 Enkla systemelement: förstärkning, derivering, integration, dödtid
Statiskt system
Man kan knappast tänka sig ett enklare system än ett linjärt statiskt system. Om systemets
insignal betecknas u (t ) , dess utsignal y (t ) och dess förstärkning K , gäller för ett sådant system
y (t ) = Ku (t ) .
(8.1)
Ifall systemets insignal svänger sinusformigt såsom
u (t ) = A sin ωt ,
(8.2)
där ω ≥ 0 är sinussvängningens vinkelfrekvens (uttryckt i radianer per tidsenhet) och A > 0 är
dess amplitud, svänger utsignalen sinusformigt enligt
y (t ) = KA sin ωt .
(8.3)
Vi kan särskilja två situationer. Om K > 0 , svänger utsignalen helt i fas med insignalen; om
K < 0 , svänger utsignalen med motsatt fas, vilket betyder att utsignalen har minimum när
insignalen har maximum och vice versa . I det senare fallet är utsignalen således fasförskjuten
med en halv period, dvs ±π radianer, gentemot insignalen.
8-1
8. Frekvensanalys
8.1 Frekvenssvaret för ett stabilt system
Vi vill gärna skriva ekvation (8.3) så att fasförskjutningen framgår mera explicit samt så att
utsignalens amplitud skrivs som ett positivt tal även när K < 0 . För att åstadkomma detta skriver vi
y (t ) = K A sin(ωt + ϕ ) ,
(8.4)
där
⎧ 0 om K > 0
ϕ =⎨
.
(8.5)
⎩−π om K < 0
är utsignalens fasförskjutning, även kallad fasvridning, i förhållande till insignalen. Ofta säger vi
att systemet förorsakar (eller ”har”) denna fasförskjutning. Här är valet ϕ = −π ekvivalent med
ϕ = +π när K < 0 eftersom vi på grund av sinusfunktionens periodicitet kan addera en godtycklig positiv eller negativ multipel av 2π till fasen utan att signalens värde ändras. Vi föredrar
dock den negativa fasförskjutningen i enlighet med den fasförskjutning dynamiska system i
allmänhet har (se längre fram).
Förutom utsignalens fasförskjutning är förhållandet mellan utsignalens och insignalens amplituder av intresse. För ett statiskt system gäller att amplitudförhållandet AR helt enkelt är
AR = K .
(8.6)
För att undvika onödiga upprepningar i fortsättningen konstaterar vi redan här att den sinusformade insignalen definierad av ekvation (8.2) för system som saknar transienta effekter ger en
utsignal som allmänt kan skrivas
y (t ) = AR A sin(ωt + ϕ ) ,
(8.7)
där amplitudförhållandet AR och fasförskjutningen ϕ ges av givna uttryck beroende på vilket
system det är frågan om.
Deriverande system
Ett system med överföringsfunktionen G ( s ) = Ks har en utsignal som är lika med insignalens
tidsderivata förstärkt med faktorn K , dvs
y (t ) = K
d
dt
u (t ) .
(8.8)
När insignalen svänger sinusformigt såsom i ekvation (8.2) får vi då
y (t ) = K
där vi utnyttjat sambandet
d
dt
d
dt
( A sin ωt ) = KAω cos ωt ,
(8.9)
sin ωt = ω cos ωt .
Här är utsignalen en cosinussignal, men genom lämplig förskjutning av dess fas kan den skrivas som en sinussignal. Enligt det trigonometriska sambandet cos ωt = sin(ωt + π / 2) får vi då
y (t ) = Kω A sin(ωt + π / 2) .
(8.10)
Märk att vi här har valt fasförskjutningen +π / 2 , inte −3π / 2 , som dock skulle ge utsignalen
samma numeriska värde. Orsaken är inte den att +π / 2 ligger ”närmare”, utan den att deriveringen ger en prediktion av insignalens beteende och därmed kan utsignalen verkligen anses
ha samma värde som insignalen före insignalen har det. Annorlunda uttryckt kan vi säga att
utsignalens fas ligger före insignalens fas.
8-2
8. Frekvensanalys
8.1 Frekvenssvaret för ett stabilt system
Ifall förstärkningen K < 0 bör vi beakta detta på samma sätt som ovan. Utsignalen ges då
allmänt av ekvation (8.7) med
AR = K ω ,
(8.11)
⎧ π / 2 om K > 0
.
⎩−π / 2 om K < 0
ϕ=⎨
(8.12)
Vi noterar att amplitudförhållandet är linjärt beroende av frekvensen medan fasförskjutningen är
oberoende av frekvensen.
Vi skall här ytterligare betrakta en parallellkoppling av ett statiskt och ett deriverande system.
Ett sådant system kan beskrivas med överföringsfunktionen
G ( s ) = K (1 + Ts ) .
(8.13)
Detta kan t.ex. vara överföringsfunktionen för en PD-regulator, men helt allmänt har system
med nollställen dylika faktorer i överföringsfunktionens täljare.
I tidsplanet ges utsignalen av
y (t ) = Ku (t ) + KT
d
dt
u (t ) = K (1 + T
d )u (t )
dt
(8.14)
och när insignalen är en sinussignal såsom i ekvation (8.2) fås
y (t ) = K (1 + T
d ) A sin ωt
dt
= KA(sin ωt + T ω cos ωt ) .
(8.15)
Enligt det trigonometriska sambandet
sin ωt + x cos ωt = 1 + x 2 sin(ωt + arctan x)
(8.16)
y (t ) = KA 1 + (T ω ) 2 sin(ωt + arctan T ω ) .
(8.17)
kan detta skrivas
Vi bör också här beakta den extra fasförskjutningen om K < 0 . Någon motsvarande korrigering behöver inte göras för ett negativt T , eftersom arctan T ω här automatiskt ger en positiv
eller negativ faskorrigering helt i enlighet med T :s tecken. Med beaktande av K :s tecken ges
utsignalen av ekvation (8.7) med
AR = K 1 + (T ω ) 2 ,
om K > 0
⎧arctan T ω
.
⎩−π + arctan T ω om K < 0
ϕ=⎨
(8.18)
(8.19)
Vi ser att amplitudförhållandet för stora värden på T ω växer asymptotiskt linjärt med T ω
(eftersom ettan i kvadratroten blir försumbar) medan fasförskjutningen ϕ → π / 2 när T ω → ∞ .
Integrerande system
Ett system med överföringsfunktionen G ( s ) = Ks −1 har en utsignal som är lika med insignalens
tidsintegral förstärkt med faktorn K . Här behandlar vi detta fall enklast genom att i stället
betrakta utsignalens tidsderivata. Vi har då
d
dt
y (t ) = Ku (t )
(8.20)
och med den sinusformade insignalen får vi
d
dt
y (t ) = KA sin ωt .
(8.21)
8-3
8. Frekvensanalys
Eftersom
d
dt
8.1 Frekvenssvaret för ett stabilt system
cos ωt = −ω sin ωt , satisfieras ekvation (8.21) av
y (t ) = − KAω −1 cos ωt .
(8.22)
Insättning av cos ωt = sin(ωt + π / 2) = − sin(ωt − π / 2) i ekvation (8.22) ger med beaktande av
K :s tecken ekvation (8.7) med
AR = K ω −1 ,
(8.23)
⎧ −π / 2 om K > 0
.
⎩−3π / 2 om K < 0
ϕ=⎨
(8.24)
Här gäller att amplitudförhållandet är omvänt proportionellt mot insignalens vinkelfrekvens ω
medan fasförskjutningen är frekvensoberoende.
En parallellkoppling av ett statiskt och ett integrerande system kan beskrivas med överföringsfunktionen
1
(8.25)
G ( s) = K (1 + ) .
Ts
Detta kan t.ex. vara överföringsfunktionen för en PI-regulator. Utgående från ekvation (8.3) och
(8.22) är det klart att den sinusformade insignalen definierad i (8.2) ger utsignalen
(
)
y (t ) = KA sin ωt − KA(T ω ) −1 cos ωt = KA sin ωt − (T ω ) −1 cos ωt ,
(8.26)
varefter beaktande av det trigonometriska sambandet i ekvation (8.16) och K :s tecken ger ekvation (8.7) med
AR = K 1 + (T ω ) −2 ,
⎧⎪− arctan[(T ω )−1 ]
ϕ =⎨
om K > 0
−1
⎪⎩−π − arctan[(T ω ) ] om K < 0
(8.27)
.
(8.28)
Vi kan notera att amplitudförhållandet för stora värden på T ω är praktiskt taget oberoende av
T ω medan det för små värden på T ω är asymptotiskt omvänt proportionellt mot T ω . För fasförskjutningen gäller, då K > 0 , att den går från −π / 2 mot 0 när T ω växer från noll.
Dödtid
En dödtid av storleken L har som bekant överföringsfunktionen G ( s ) = e − Ls och sambandet
mellan ut- och insignal i tidsplanet ges av det enkla uttrycket
y (t ) = u (t − L) .
(8.29)
Den sinusformade insignalen i ekvation (8.2) ger då, med beaktande av tidsargumentet t − L ,
där
y (t ) = A sin[ω (t − L)] = A sin(ωt + ϕ ) ,
(8.30)
ϕ = − Lω .
(8.31)
Såsom framgår, har en ren dödtid amplitudförhållandet
AR = 1
(8.32)
samt en negativ fasförskjutning, som är proportionell med vinkelfrekvensen ω och dödtidens
storlek och som därmed kan bli godtyckligt stor.
8-4
8. Frekvensanalys
8.1 Frekvenssvaret för ett stabilt system
8.1.2 System av första ordningen
Vi har tidigare konstaterat att ett första ordningens system utan dödtid kan beskrivas med
differentialekvationen
dy
T
+ y (t ) = Ku (t ) ,
(8.33)
dt
där u (t ) är systemets insignal, y (t ) dess utsignal, K dess förstärkning och T dess tidskonstant,
som är positiv när systemet är stabilt. Laplacetransformering ger som bekant
Y ( s ) = G ( s )U ( s ) , G ( s ) =
K
,
Ts + 1
(8.34)
där U ( s ) är Laplacetransformen av u (t ) , Y ( s) är Laplacetransformen av y (t ) och G ( s) är
systemets överföringsfunktion.
Det är svårare att lösa detta fall direkt i tidsplanet än fallen i föregående avsnitt. Vi skall
därför härleda frekvenssvaret via Laplaceplanet. Om insignalen varierar sinusformigt såsom i
ekvation (8.2) har den Laplacetransformen
U (s) =
som insatt i (8.34) ger
Y (s) = G(s)
Aω
s + ω2
2
Aω
s +ω
2
2
=
,
K
Aω
.
2
Ts + 1 s + ω 2
(8.35)
(8.36)
Vi kan finna tidssvaret y (t ) genom inverstransformering med hjälp av Laplacetransformtabellen i avsnitt 4.2, men det är instruktivt för den fortsatta behandlingen att härleda svaret via
partialbråksuppdelning. Eftersom andragradspolynomet s 2 + ω 2 har komplexkonjugerade rötter,
kan vi göra partialbråksuppdelningen
Y (s) =
B
Cs + D
,
+ 2
Ts + 1 s + ω 2
(8.37)
där koefficienterna B , C och D bör bestämmas så att (8.36) och (8.37) blir ekvivalenta.
Innan vi gör det, kan vi dock härleda tidssvaret som funktion av dessa koefficienter. Inverstransformering med hjälp av punkterna 25, 38 och 39 i Laplacetransformtabellen ger
y (t ) =
B −t / T
D
e
+ C cos ωt + sin ωt .
T
ω
(8.38)
Vi är intresserade av utsignalens beteende när t → ∞ . Eftersom T > 0 (och B ändlig) fås
y (t ) ≡ lim y (t ) = C cos ωt + Dω −1 sin ωt ,
t →0
(8.39)
vilket betyder att vi inte behöver bestämma koefficienten B ifall vi kan bestämma C och D på
något av B oberoende sätt. Vi kan också notera att den del i partialbråksuppdelningen som ges
av systemets överföringsfunktion, frånsett dess ev. effekt på C och D , endast ger en transient
effekt som dör ut med tiden.
Vi kan bestämma koefficienterna C och D på traditionellt sätt genom att likställa (8.36) och
(8.37) samt var för sig betrakta koefficienterna för varje potens av s i de två täljarpolynomen.
8-5
8. Frekvensanalys
8.1 Frekvenssvaret för ett stabilt system
Vi skall här dock gå en annan väg. Genom kombinering av (8.36) och (8.37) kan vi skriva
(s2 + ω 2 ) B
.
Cs + D ≡ G ( s ) Aω −
Ts + 1
(8.40)
Denna identitet gäller för godtyckliga värden på s . Genom att välja s = jω , som innebär att
s 2 + ω 2 = 0 , får vi
Cω j + D ≡ G ( jω ) Aω .
(8.41)
Identiteten (8.41) kräver att de reella och imaginära delarna satisfieras var för sig. Eftersom
G ( jω ) är ett komplext tal med realdelen Re G ( jω ) och imaginärdelen Im G ( jω ) fås
C = A Im G ( jω ) , D = Aω Re G ( jω ) .
(8.42)
I detta fall har vi enligt ekvation (8.34)
G ( jω ) =
1 − T ω j K − KT ω j
K
K
=
⋅
=
T ω j + 1 1 + T ω j 1 − T ω j 1 + (T ω )2
dvs
Re G ( jω ) =
K
1 + (T ω )
, Im G ( jω ) =
2
− KT ω
1 + (T ω ) 2
,
(8.43)
(8.44)
vilket insatt i (8.42) och vidare i (8.39) ger
y (t ) =
KA
1 + (T ω ) 2
( sin ωt − T ω cos ωt ) .
(8.45)
Tillämpning av det trigonometriska sambandet i ekvation (8.16) ger
KA
y (t ) =
1 + (T ω ) 2
sin(ωt − arctan T ω ) .
(8.46)
Vi ser att vi även i detta fall, efter att de transienta effekterna dött ut, kan uttrycka (8.46) i
samma form som (8.7), dvs
y (t ) = AR A sin(ωt + ϕ ) .
(8.47)
Då förstärkningen K :s tecken beaktas på samma sätt som tidigare, fås för amplitudförhållandet
och fasförskjutningen uttrycken
K
AR =
,
(8.48)
2
1 + (T ω )
om K > 0
⎧− arctan T ω
.
⎩−π − arctan T ω om K < 0
ϕ =⎨
(8.49)
Vi kan konstatera att amplitudförhållandet avtar från sitt maximala värde K när T ω växer för
att för stora värden på T ω asymptotiskt avta omvänt proportionellt mot T ω . För fasförskjutningen gäller, då K > 0 , att den går från 0 mot −π / 2 när T ω växer från noll. Fasförskjutningen för ett första ordningens system med K > 0 kan således inte vara mer än −π / 2 radianer.
8-6
8. Frekvensanalys
8.1 Frekvenssvaret för ett stabilt system
8.1.3 System av andra ordningen
För beskrivning av andra ordningens system existerar som bekant olika standardformer. Vi skall
här välja en beskrivning som är lämplig för andra ordningens system med komplexkonjugerade
poler. Ett sådant system (utan dödtid) kan beskrivas med differentialekvationen
d 2 y (t )
d y (t )
+ 2ζωn
+ ωn2 y (t ) = K ωn2 u (t )
dt
dt
(8.50)
och överföringsfunktionen
G ( s) =
K ω n2
s 2 + 2ζω n s + ω n2
,
(8.51)
där K är systemets förstärkning, ζ är dess relativa dämpning och ω n > 0 är dess naturliga frekvens. Vi beaktar endast stabila system, vilket innebär att ζ > 0 .
Vi nöjer oss här med ett andra ordningens system utan nollställe, eftersom ett system med
nollställe kan behandlas enligt de metoder som beskrivs i avsnitt 8.1.5 genom en seriekoppling
av överföringsfunktioner av formen (8.13) och (8.51). Andra ordningens system med reella
poler kan beskrivas med (8.50) och (8.51) men i praktiken är det enklare att också i detta fall
tillämpa metoderna i avsnitt 8.1.5.
Den sinusformade insignalen, med Laplacetransformen given i ekvation (8.35), ger analogt
med (8.36) utsignalen
K ωn2
Aω
Aω
Y (s) = G(s) 2
=
.
(8.52)
s + ω 2 s 2 + 2ζωn s + ωn2 s 2 + ω 2
Då ζ ≠ 0 existerar alltid en partialbråksuppdelning
Y (s) =
B1s + B2
s
2
+ 2ζωn s + ωn2
+
Cs + D
s2 + ω 2
.
(8.53)
Enligt vår Laplacetransformtabell i avsnitt 4.2 har första termen i högra ledet en inverstransform
som innehåller faktorn e −ζω n t , där t betecknar tiden. Eftersom ζω n > 0 , kommer tidsfunktionen innehållande denna faktor att dö ut när t → ∞ . Systemets stationära beteende ges då
också i detta fall av ekvation (8.39).
Koefficienterna C och D kan bestämmas enligt samma teknik som i föregående avsnitt.
Resultatet är att de ges av ekvation (8.42) med i detta fall
G ( jω ) =
K ωn2
( jω ) 2 + 2ζωn jω + ωn2
=
K ωn2
ωn2 − ω 2 + 2ζωn ω j
=
K ωn2 (ωn2 − ω 2 − 2ζωn ω j)
(ωn2 − ω 2 ) 2 + (2ζωn ω ) 2
,
(8.54)
där sista ledet fås genom förlängning med nämnarens konjugattal i föregående led. Vi har m.a.o.
Re G ( jω ) =
K ωn2 (ωn2 − ω 2 )
(ωn2 − ω 2 ) 2 + (2ζωn ω ) 2
, Im G ( jω ) =
−2 K ζωn3ω
(ωn2 − ω 2 ) 2 + (2ζωn ω )2
,
(8.55)
som insatt i (8.42) och vidare i (8.39) ger
y (t ) =
⎛
⎞
2ζω ω
A ⎜⎜ sin ωt − 2 n 2 cos ωt ⎟⎟ ,
− ω ) + (2ζωn ω )
ωn − ω
⎝
⎠
K ωn2 (ωn2 − ω 2 )
(ωn2
2 2
2
(8.56)
8-7
8. Frekvensanalys
8.1 Frekvenssvaret för ett stabilt system
där vi tills vidare antar att ω ≠ ω n . Tillämpning av det trigonometriska sambandet (8.16) ger då
y (t ) =
K ωn2 sgn(ωn2 − ω 2 )
(ωn2
− ω ) + (2ζωn ω )
2 2
2
A sin(ωt + ϕ ) , ϕ = − arctan
2ζωn ω
ωn2 − ω 2
,
(8.57)
där tecknet sgn(ωn2 − ω 2 ) behövs för att beakta att insignalens vinkelfrekvens ω kan vara större
eller mindre än systemets naturliga frekvens ω n .
Liksom tidigare föredrar vi ett uttryck där koefficienten framför sinusfunktionen är positiv.
När tecknet för K sgn(ω n2 − ω 2 ) beaktas ges utsignalen då av ekvation (8.47) med amplitudförhållandet AR och fasförskjutningen ϕ givna av
AR =
K ωn2
(ωn2
− ω ) + (2ζωn ω )
2 2
2
=
K
(1 − (ω / ωn ) ) + (2ζω / ωn )
2 2
2ζωn ω
2ζω / ωn
⎧
⎪− arctan ω 2 − ω 2 = − arctan 1 − (ω / ω ) 2
⎪
n
n
ϕ =⎨
⎪−π − arctan 2ζωn ω = −π − arctan 2ζω / ωn
⎪⎩
ωn2 − ω 2
1 − (ω / ωn ) 2
2
,
(8.58)
om K ωn > K ω
.
(8.59)
om K ωn < K ω
Märk att den något speciella formen på olikheterna i ekvation (8.59) medför att K :s tecken
avgör om ifrågavarande fall gäller för ω n > ω eller ω n < ω .
Vi skall även betrakta specialfallet ω = ω n . Av ekvation (8.55) framgår att G ( jω ) då är rent
imaginär och enligt ekvation (8.42) och (8.39) är det stationära frekvenssvaret en cosinussignal.
När denna, som i fallet med en integrator, uttrycks med hjälp av en fasförskjuten sinussignal, fås
AR =
K
, ω = ωn ,
2ζ
⎧−π / 2 om K > 0
.
⎩−3π / 2 om K < 0
ϕ =⎨
(8.60)
(8.61)
I själva verket fås dessa ekvationer också genom insättning av ω = ω n i (8.58) och (8.59). Vi ser
att AR → ∞ när ζ → 0 , vilket är helt naturligt, eftersom systemet då går mot instabilitet.
Även om ω ≠ ωn , kan utsignalens amplitud förstärkas kraftigt för underdämpade system.
Detta kan enkelt härledas från ekvation (8.58). Derivering av AR med avseende på ω i ekvation (8.58) visar att derivatan har ett nollställe om ζ < 1/ 2 ≈ 0, 7 . Detta nollställe uppnås med
en insignal med vinkelfrekvensen
ω = ωn 1 − 2ζ 2 .
(8.62)
Vid denna frekvens har amplitudförhållandet ett maximum
AR =
K
2ζ 1 − ζ
2
,
(8.63)
som även kallas resonanstopp. Detta betyder att periodiska signaler i närheten av ett underdämpat systems naturliga frekvens kan förstärkas kraftigt — man kan m.a.o. få kraftig resonans.
8-8
8. Frekvensanalys
8.1 Frekvenssvaret för ett stabilt system
8.1.4 System av högre ordning
För ett system av högre ordning (utan dödtid) kan vi, då insignalen svänger sinusformigt som i
ekvation (8.2), göra en partialbråksuppdelning liknande dem i ekvation (8.37) och (8.53), så att
varje reell systempol eller komplexkonjugerat polpar ger en term i partialbråksuppdelningen.
Såsom ovan framgått, ger varje sådan term för ett stabilt system ett bidrag till utsignalens
tidssvar som med tiden dör ut. Enligt stabilitetsbehandlingen i avsnitt 6.2 gäller detta även för
multipla poler. Utsignalens stationära beteende beskrivs då också för ett godtyckligt linjärt
system av ekvation (8.39), med koefficienterna givna av ekvation (8.42).
För att förenkla beteckningarna i den fortsatta behandlingen definierar vi
R (ω ) ≡ Re G ( jω ) , I (ω ) ≡ Im G ( jω ) .
(8.64)
Insättning av ekvation (8.42) i (8.39) ger då
I (ω )
⎛
⎞
y (t ) = A ( R(ω ) sin ωt + I (ω ) cos ωt ) = R (ω ) A ⎜ sin ωt +
cos ωt ⎟ ,
R(ω )
⎝
⎠
(8.65)
varefter tillämpning av det trigonometriska sambandet i ekvation (8.16) ger
2
⎛ I (ω ) ⎞
2
2
y (t ) = R(ω ) 1 + ⎜
⎟ A sin(ωt + ϕ ) = sgn( R(ω )) R(ω ) + I (ω ) A sin(ωt + ϕ ) ,
ω
R
(
)
⎝
⎠
där
ϕ = arctan
I (ω )
.
R(ω )
(8.66)
(8.67)
Eftersom G ( jω ) är ett komplext tal kan det karakteriseras med hjälp av absoluta beloppet,
eller magnituden, G ( jω ) , och argumentet ∠G ( jω ) , även betecknat arg G ( jω ) . Vi har enligt
teorin om komplexa tal
G ( jω ) = R (ω ) 2 + I (ω ) 2
och tan arg G ( jω ) =
I (ω )
.
R(ω )
(8.68)
Om vi i ekvation (8.66) beaktar tecknet sgn( R(ω )) på samma sätt som förstärkningens tecken i
tidigare avsnitt, kan vi skriva
y (t ) = G ( jω ) A sin(ωt + arg G ( jω )) ,
där
⎧arctan ( I (ω ) / R (ω ) )
arg G ( jω ) = ⎨
⎩arctan ( I (ω ) / R (ω ) ) − π
om R (ω ) ≥ 0
.
om R (ω ) < 0
(8.69)
(8.70)
Vi ser att absoluta beloppet G ( jω ) är lika med amplitudförhållandet medan argumentet
arg G ( jω ) är lika med fasförskjutningen, dvs
AR = G ( jω ) , ϕ = arg G ( jω ) .
(8.71)
Figur 8.1 visar hur dessa storheter kan utläsas ”grafiskt” från sambandet mellan en sinusformad
insignal och motsvarande stationära utsignal.
8-9
8. Frekvensanalys
8.1 Frekvenssvaret för ett stabilt system
1
u(t)
Normerad signal
⏐G⏐
y(t)
0
ωt
–argG
Normerad tid
–1
Figur 8.1. Illustration av frekvenssvaret för ett system av första ordningen.
Eftersom funktionen arctan endast antar värden mellan −π / 2 och +π / 2 , följer av (8.70) att
− 34 π ≤ ϕ ≤ 12 π .
(8.72)
Vi bör dock observera att på grund av sinusfunktionens periodicitet kan en godtycklig multipel
av 2π adderas till (eller subtraheras från) ϕ utan att sinusfunktionens värde ändras. Detta
betyder också att ekvation (8.70) inte anger hur många fulla faser (multipler av 2π eller 360 )
som utsignalen är förskjuten i förhållande till insignalen, endast bråkdelen av en fas enligt (8.72).
Denna information framgår inte heller om in- och utsignalen uppritas som funktion av tiden
såsom i figur 8.1. Den verkliga fasförskjutningen har dock betydelse vid stabilitetsanalys av
återkopplade system, vilket vi återkommer till senare i detta kapitel. Lyckligtvis finns det dock
en lösning på problemet, såsom framgår av följande avsnitt.
8.1.5 Seriekopplade delsystem
I avsnitt 4.3.3 visades att överföringsfunktionen G ( s) för ett system bestående av ett antal seriekopplade delsystem med överföringsfunktionerna Gi ( s ) , i = 1,… , N , är lika med produkten av
dessa överföringsfunktioner, dvs
G ( s ) = G1 ( s )G2 ( s )
N
GN ( s ) = ∏ Gi ( s ) .
(8.73)
i =1
Omvänt kan ett system med överföringsfunktionen G ( s ) faktoriseras utgående från systemets
poler och nollställen, eller motsvarande tidskonstanter, och en eventuell dödtid, så att
G ( s) = K
(Tn+1s + 1) (Tn+ m s + 1) − Ls
e .
(T1s + 1)(T2 s + 1) (Tn s + 1)
(8.74)
Varje sådan faktor kan betraktas som ett delsystem Gi ( s ) . Ifall systemet innehåller komplexkonjugerade poler eller nollställen (eller som här, tidskonstanter) kan dessa sammanslås till en
andragradsfaktor.
8-10
8. Frekvensanalys
8.1 Frekvenssvaret för ett stabilt system
Av ekvation (8.73) följer att frekvenssvaret för det totala systemet ges av sambandet
N
G ( jω ) = ∏ Gi ( jω ) .
(8.75)
i =1
Från teorin om komplexa tal är det bekant att det komplexa talet Gi ( jω ) kan uttryckas med hjälp
av talets absoluta belopp Gi ( jω ) och dess argument arg Gi ( jω ) enligt
Gi ( jω ) = Gi ( jω ) e j argGi ( jω ) .
(8.76)
Insättning i ekvation (8.75) ger då
N
N
G ( jω ) = ∏ Gi ( jω ) e j argGi ( jω )
i =1
⎛ N
⎞ N
⎛ N
⎞ j∑ arg Gi ( jω )
= ⎜⎜ ∏ Gi ( jω ) ⎟⎟ ∏ e j argGi ( jω ) = ⎜⎜ ∏ Gi ( jω ) ⎟⎟ e i =1
. (8.77)
⎝ i =1
⎠ i =1
⎝ i =1
⎠
Ekvation (8.76) gäller givetvis även för det totala systemet, dvs G ( jω ) = G ( jω ) e j argG ( jω ) .
En jämförelse med (8.77) ger då sambanden
N
G ( jω ) = ∏ Gi ( jω ) ,
(8.78)
i =1
N
arg G ( jω ) = ∑ arg Gi ( jω ) .
(8.79)
i =1
Detta betyder att systemets totala
• amplitudförhållande fås som produkten av delelementens amplitudförhållanden;
• fasförskjutning fås som summan av de enskilda delelementens fasförskjutningar.
Man har full frihet att faktorisera systemets överföringsfunktion enligt eget gottfinnande, men
det finns en uppenbar fördel i att välja de rationella faktorerna så att de är av högst andra
ordningen, och allra helst av första ordningen. Man kan dessutom låta alla delelement ha statiska
förstärkningen +1 och samla upp den totala förstärkningen i en enda parameter K , såsom i
ekvation (8.74), som behandlas som ett skilt delelement. Den extra fasförskjutningen på grund
av en negativ förstärkning kan då endast uppträda i detta element, där den är lätt att beakta. En
ytterligare fördel med detta arrangemang är att ekvation (8.70) med säkerhet ger rätt fasförskjutning för de enskilda delelementen. Detta beror på att ett element av högst andra ordningen inte
kan förskjuta sinussvängningens fas med mer än π radianer.
8.1.6 Sammanfattning av frekvenssvaret för system av låg ordning
För att underlätta användningen av (8.78) och (8.79), ges här en sammanfattning av frekvenssvaret, dvs amplitudförhållandet (förstärkningsförhållandet, absoluta beloppet) och fasförskjutningen (argumentet), för de enkla system som behandlats ovan. Med hjälp av dessa kan
frekvenssvaret för alla andra system beräknas.
Frekvenssvaren finns sammanställda i tabell 8.1. Alla system, utom ett rent statiskt system,
har förstärkningen K = 1 . Frekvenssvaret för ett godtyckligt system med K ≠ 1 fås enligt
seriekopplingsprincipen genom kombination med uttrycken för ett statiskt system, antingen med
förstärkningen K > 0 eller K = −1 , eller bådadera. Exempelvis fås frekvenssvaret för ett första
ordningens system med negativ förstärkning utgående från seriekopplingen −1⋅ K ⋅1/ (Ts + 1) ,
där K > 0 .
8-11
8. Frekvensanalys
8.1 Frekvenssvaret för ett stabilt system
Tabell 8.1. Frekvenssvaret (förstärkningsförhållande och fasförskjutning) för enkla system.
G (s)
AR = | G ( jω ) |
ϕ = arg G ( jω )
−1
1
−π
K >0
K
0
s
ω
π /2
(1 + Ts )
1 + (T ω ) 2
arctan T ω
1/ s
1/ ω
−π / 2
1 + 1/ Ts
1 + 1/ (T ω ) 2
− arctan(1/ T ω )
e − Ls
1
− Lω
1
Ts + 1
1
ωn2
s 2 + 2ζωn s + ωn2
− arctan T ω
1 + (T ω ) 2
− arctan
1
(1 − (ω / ωn ) 2 ) 2 + (2ζω / ωn ) 2
2ζω / ωn
1 − (ω / ωn ) 2
−π − arctan
, ω ≤ ωn
2ζω / ωn
1 − (ω / ωn ) 2
, ω ≥ ωn
8.2 Grafiska representationer av frekvenssvaret
Såsom ovan framgått innehåller den komplexvärda funktionen G ( jω ) för ett system med överföringsfunktionen G ( s ) all information om systemets frekvenssvar så när som på en eventuell
multipel av 2π för systemets fasförskjutning. Även om vi har härlett funktionen och dess
tillämpning genom att betrakta en sinusformad insignal, kan G ( jω ) uppfattas som en systemegenskap som ges av överföringsfunktionens värde på den imaginära axeln s = jω i det komplexa talplanet. Som en följd av detta kallas G ( jω ) systemets frekvensfunktion.
Vi noterar här att frekvensfunktionen i enlighet med teorin om komplexa tal kan skrivas
G ( jω ) = Re G ( jω ) + jIm G ( jω ) = G ( jω ) e j argG ( jω )
(8.80)
Dessa alternativa representationer av G ( jω ) antyder flera möjligheter att avbilda frekvensfunktionen grafiskt. En möjlighet är att avbilda Im G ( jω ) som funktion av Re G ( jω ) i det komplexa talplanet. När vinkelfrekvensen ω växer från noll till oändligheten ger detta upphov till
ett s.k. Nyquistdiagram, som behandlas närmare i nästa avsnitt. En annan möjlighet är att var för
sig upprita G ( jω ) och arg G ( jω ) som funktion av vinkelfrekvensen. Detta ger ett s.k. Bodediagram, som behandlas i avsnitt 8.2.2.
Dessa avbildningar och de ekvationer som ligger till grund för dem är speciellt användbara
vid analys av stabiliteten för återkopplade system, vilket behandlas i avsnitt 8.3.
8-12
8. Frekvensanalys
8.2 Grafiska representationer av frekvenssvaret
8.2.1 Nyquistdiagram
Ett komplext tal kan som bekant behändigt representeras i ett tvådimensionellt koordinatsystem,
där de två koordinataxlarna betecknar talets reella respektive imaginära del. Talet avbildas
således i ett plan, som kallas det komplexa talplanet. För en given vinkelfrekvens ω motsvarar
G ( jω ) då en punkt i det komplexa talplanet, såsom illustreras i figur 8.2. Det framgår dock inte
av figuren vilken frekvens det är frågan om.
Om vi låter vinkelfrekvensen variera bildar
orten för G ( jω ) en kurva i det komplexa planet.
Då frekvensen varierar från 0 till ∞ bildar
kurvan systemets frekvenskurva, som allmänt
kallas systemets Nyquistdiagram (eller -kurva).
Eftersom dynamiska system i allmänhet har en
negativ fasförskjutning, kommer en avsevärd del
av Nyquistkurvan normalt att ligga på den
negativa sidan av den imaginära axeln. Figur
8.2 illustrerar dock en positiv fasförskjutning.
ImG(jω)
R(ω)
⏐G(jω)⏐
I(ω)
∠G(jω)
ReG(jω)
Figur 8.2. En punkt av G ( jω ) i det
komplexa talplanet.
Enkla systemelement
Betrakta en parallellkoppling av ett statiskt system och ett deriverande system, som behandlades i avsnitt 8.1.1. Enligt ekvation (8.13) fås för frekvensfunktionen direkt
G ( jω ) = K (1 + T ω j) ,
(8.81)
som enkelt kan uppritas som funktion av frekvensen i ett Nyquistdiagram. Se figur 8.3, där den
normerade frekvensfunktionen
GN ( jω ) ≡ G ( jω ) / G (0) = G ( jω ) / K
(8.82)
uppritats.
För en parallellkoppling av ett statiskt system och ett integrerande system, som också
behandlats i avsnitt 8.1.1, fås enligt ekvation (8.25)
G ( jω ) = K (1 +
1
Tω j
) = K (1 −
1
j) .
Tω
(8.83)
Denna frekvensfunktion finns uppritad i figur 8.4 med samma normering som ovan.
Im GN
Im G
N
ω→∞
1
–0,5
Tω = 0,5
0,5
–0,5
ω=0
–0,5
0
0,5
1
0
Re G
Figur 8.3. Nyquistdiagram för
GN ( s ) = 1 + Ts .
–1
ω=0
0,5
1
Re G
N
Tω = 0,5
ω → −∞
N
Figur 8.4. Nyquistdiagram för
GN ( s ) = 1 + 1/ (Ts ) .
8-13
8. Frekvensanalys
8.2 Grafiska representationer av frekvenssvaret
Övning 8.1.
Hur ser Nyquistkurvan ut för en ren (a) derivering, (b) integration, (c) dödtid?
Första och andra ordningens system
Vi kan på samma sätt som ovan beräkna och upprita frekvenssvaret för ett godtyckligt dynamiskt system genom substitutionen s = jω i systemets överföringsfunktion G ( s ) . För system av
andra eller högre ordning kan det dock krävas besvärliga omformningar för att få G ( jω ) uttryckt
som ett vanligt komplext tal.
För att undvika dylika hyfsningar kan vi uttrycka G ( jω ) med hjälp av absoluta beloppet
G ( jω ) (dvs amplitudförhållandet) och argumentet arg G ( jω ) (dvs fasförskjutningen), som vi
redan härlett uttryck för i ett antal fall. Utgående från ekvation (8.80) får vi med tillämpning av
Eulers formel,
e j argG ( jω ) = cos arg G ( jω ) + jsin arg G ( jω ) ,
(8.84)
sambanden
R (ω ) ≡ Re G ( jω ) = G ( jω ) cos arg G ( jω ) ,
(8.85)
I (ω ) ≡ Im G ( jω ) = G ( jω ) sin arg G ( jω ).
Figur 8.5 och 8.6 visar Nyquistdiagram, normerade enligt ekvation (8.82), för system av
första och andra ordningen beräknade enligt ekvation (8.85) med användning av de uttryck för
G ( jω ) ( AR ) och arg G ( jω ) ( ϕ ) som härletts i avsnitt 8.1.2 och 8.1.3. Tack vare normeringen
kan alla system av första ordningen uttryckas med en och samma Nyquistkurva, medan system
av andra ordningen ger en kurvskara som funktion av den relativa dämpningen ζ . Dessutom är
frekvensen normerad så att den i en viss punkt på en kurva är proportionell mot systemets tidskonstant T eller naturliga frekvens ωn .
System av högre ordning
För system av högre ordning kan det bli besvärligt att utreda vilken den rätta fasförskjutningen är, såsom omtalats i avsnitt 8.1.4. Denna komplikation kan undvikas om man uppdelar systemet i ett antal delsystem och använder de metoder som beskrivits i avsnitt 8.1.5 för
beräkning av det fulla systemets G ( jω ) och arg G ( jω ) utgående från motsvarande storheter för
delsystemen. Följande exempel illustrerar metoden.
Im G
Im G
ω=0
ω ≥100
0
∠G(jω) 0,5
ωT = 5
⏐G(jω)⏐
ωT = 2
–0,5
Re G
1
ωT = 0,2
–0,5
0
ω = 1,5ωn
ζ = 0,5
–1
Figur 8.5. Nyquistdiagram för ett
system av första ordningen.
8-14
0,5
ζ=2
ζ=1
ζ = 0,7
ωT = 0,5
ωT = 1
ω=0
ω ≥10
ω = ωn
1
Re G
ω = 0,5ω
n
ω = 0,7ωn
Figur 8.6. Nyquistdiagram för system
av andra ordningen.
8. Frekvensanalys
8.2 Grafiska representationer av frekvenssvaret
4 Exempel 8.1. Beräkning av Nyquistkurvan för ett system av tredje ordningen.
Vi skall beräkna Nyquistkurvan för ett system med överföringsfunktionen
G ( s) =
4
( s + 1)3
.
(1)
Om vi delar upp överföringsfunktionen i delsystem av första ordningen kan vi skriva
G(s) = 4 ⋅
3
1
1
1
1
,
⋅
⋅
= 4∏
s
( s + 1) ( s + 1) ( s + 1)
(
1)
+
i =1
(2)
där varje dynamiskt delsystem har förstärkningen 1 och tidskonstanten 1 (med lämplig tidsenhet). För beräkning av G ( jω ) och arg G ( jω ) kan vi därmed utnyttja de resultat vi tidigare
härlett för system av första ordningen. Vi får
G ( jω ) = 4(
1
1+ ω
2
)3 = 4(1 + ω 2 )−3/2 , arg G ( jω ) = −3arctan ω .
Figur 8.7 visar den kurva som fås när ω går
från 0 till ∞ . Liksom ovan, har frekvensfunktionens värde utmärkts med punkter vid ett antal
frekvenser. En viss punkt på kurvan anger frekvensfunktionens komplexa värde vid ifrågavarande
frekvens. Samtidigt är punktens avstånd från origo
lika med frekvensfunktionens absolutbelopp samt
den vinkel som kordan mellan punkten och origo
bildar med den positiva delen av den reella axeln
lika med frekvensfunktionens argument, dvs dess
fasförskjutning. Märk att den negativa fasförskjutningens absoluta värde ökar när vinkeln ökar
”medurs”. 3
(3)
Im G
ω=0
ω ≥10
–1
ω=1
0
1
–1
2
3
Re G
ω = 0,1
–2
ω = 0,5
ω = 0,25
–3
Figur 8.7. Nyquistdiagram för systemet
G ( s ) = 4( s + 1) −3 .
Övning 8.2.
Skissera Nyquistkurvan för ett första ordningens system med dödtid. (Märk att dödtiden inte
påverkar amplitudförhållandet, enbart fasförskjutningen.)
8-15
8. Frekvensanalys
8.2 Grafiska representationer av frekvenssvaret
System av första ordningen
G(s) =
K
, antages K > 0
Ts + 1
AR (ω ) = G ( jω ) =
Kω n2
, antages K > 0
s 2 + 2ζω n s + ω n2
Vi har tidigare härlett
K
1 + (ωT ) 2
AR =
ϕ (ω ) = arg G ( jω ) = − arctan(ωT )
Detta kan framställas grafiskt i ett Bodediagram, där det
normerade amplitudförhållandet AR / K och fasförskjutningen ritas som funktioner av frekvensen:
0
10
AR/K
8.2 Grafiska representationer av frekvenssvaret
System av andra ordningen
Ett system av andra ordningen har överföringsfunktionen
8.2.2 Bodediagram
G (s) =
8. Frekvensanalys
K
(1 − (ω / ωn ) 2 ) 2 + (2ζω / ωn ) 2
2ζω / ωn
⎧
−
arctan
⎪
1 − (ω / ωn ) 2
⎪
ϕ =⎨
⎪−π − arctan 2ζω / ωn
⎪
1 − (ω / ωn ) 2
⎩
om ω ≤ ωn
om ω ≥ ωn
Vi har också visat att vi vid vinkelfrekvensen
−1
10
ω = ωn 1 − 2ζ 2
−2
10
−2
Fasförskjutning (grader)
10
−1
10
0
10
ωT
1
10
2
10
får en resonanstopp med amplitudförhållandet
AR =
0
−20
K
2ζ 1 − ζ 2
−40
−60
−80
−100 −2
10
−1
10
0
10
ωT
1
10
2
10
8-16
8-17
8. Frekvensanalys
8.2 Grafiska representationer av frekvenssvaret
8. Frekvensanalys
8.2 Grafiska representationer av frekvenssvaret
Dödtid
För en dödtid L med överföringsfunktionen
1
10
ζ = 0.1
G ( s ) = e − Ls
0.2
har vi härlett
0.3
AR (ω ) = 1
0.4
0.5
0.7
1.0
0
AR/K
10
ϕ (ω ) = − Lω
2.0
Vid växande frekvens kommer den negativa fasförskjutningen
att öka obegränsat, och desto snabbare ju större dödtiden är.
−1
10
1
10
−2
−1
0
10
10
ω/ωn
0
ζ=
0.2
0
0 .3
0.5 .4
0
1.0 .7
−20
0
10
0.1
2.0
−60
−1
10
−2
10
0
ωL
10
1
10
−100
−100
o
−120
−140
−160
−180
−1
10
−1
10
0
−80
fasförskjutning ( )
fasförskjutning ( o)
−40
1
10
AR
10
−200
−300
−400
−500
0
10
ω/ωn
1
10
−600
−2
10
8-18
−1
10
0
ωL
10
1
10
8-19
8. Frekvensanalys
8.2 Grafiska representationer av frekvenssvaret
Element i serie
8. Frekvensanalys
8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system
8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system
För seriekopplade system med totala överföringsfunktionen
G = G1 ⋅ G2 ⋅ ⋅ Gn
har vi visat att totala amplitudförhållandet och fasförskjutningen ges av
AR = AR,1 ⋅ AR,2 ⋅ ⋅ AR,n
ϕ = ϕ1 + ϕ 2 +
8.3.1 Bodes stabilitetskriterium
r
y
Gc
+
Gv
Gp
–
+ ϕn
ym
Logaritmering av uttrycket för amplitudförhållandet ger
log( AR ) = log( AR,1 ) + log( AR,2 ) + + log( AR, n )
Eftersom amplitudaxeln i Bodediagrammet är logaritmisk, fås
totala amplitudförhållandet av ett seriekopplat system genom
att helt enkelt addera de enskilda delsystemens logaritmerade
amplitudförhållanden i Bodediagrammet.
Eftersom fasförskjutningsaxeln är linjär, fås totala fasförskjutningen genom att addera de enskilda delsystemens
fasförskjutningar.
Gm
Överföringsfunktionen för den öppna slingan ges av
kretsöverföringen Gk
Gk = GmGpGvGc
Antag Gm = Gv = 1 , Gp =
Gk =
e −0,1s
och Gc = K c . Då blir
0,5s + 1
K ce −0,1s
Kc
=
⋅ e−0,1s
0,5s + 1 0,5s + 1
Vid frekvensen ω = 17 rad/min (antages att dödtiden och
tidskonstanten är uttryckta i minuter) fås fasförskjutningen
ϕ = − arctan(0,5 ⋅17) − 0,1 ⋅17 ≈ −180 = −π
Den frekvens där kretsöverföringens totala fasförskjutning är
− 180 kallas för systemets kritiska frekvens ωc .
Amplitudförhållandet vid den kritiska frekvensen blir
Kc
AR (17) =
≈ 0,117 ⋅ K c
1 + (0,5 ⋅17) 2
Om K c = 1 / 0,117 = 8,56 fås AR (17) = 1.
8-20
8-21
8. Frekvensanalys
8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system
Vi gör följande tankeexperiment:
– Antag att ledvärdet r = sin(17t ) och kretsen är öppen. Då
blir ym = AR (17) ⋅ sin(17t − π ) = − sin(17t ) efter en stund.
– Om kretsen då slutes med r = 0 , blir Gc :s insignal
r − ym = sin(17t ) , dvs samma som tidigare. Kretsen
fortsätter m.a.o. att oscillera av sig själv !
1. Antag att K c > 8,56 , dvs AR > 1 vid ωc = 17 . Om vi
upprepar samma som ovan, blir ym = − AR ⋅ sin(17t ) i öppen
krets. ym :s amplitud är då större än r :s amplitud. När
kretsen slutes, har insignalen till Gc således större amplitud
än tidigare, det ”nya” ym blir ännu större, vilket medför
exponentiellt ökande oscillationer. Kretsen är instabil !
2. Antag att K c < 8,56 , dvs AR < 1 vid ωc = 17 . När kretsen
slutes fås då exponentiellt avtagande oscillationer. Kretsen
är stabil !
Bodes stabilitetskriterium: Ett återkopplat system är instabilt
om AR > 1 vid den kritiska frekvensen ωc för kretsöverföringen Gk ; systemet är stabilt om AR (ωc ) < 1 .
Märk att det är kretsöverföringen Gk för det oreglerade
(”öppna”) systemet som undersökes, men det avgör stabiliteten för det återkopplade (”slutna”) systemet med överG
föringsfunktionen
, där G är en godtycklig stabil
1 + Gk
överföringsfunktion. Vid följereglering är G = Gk .
8-22
8. Frekvensanalys
8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system
Vid kritiska frekvensen gäller
| Gk ( jωc ) | = 1 och arg Gk ( jωc ) = −π
som ger
Gk ( jωc ) = | Gk ( jωc ) | e j arg Gk ( jωc ) = e− jπ
= cos(π ) − jsin(π ) = −1 − 0 j = −1
dvs s = jωc är en lösning till karakteristiska ekvationen
1 + Gk ( s ) = 0 .
I praktiken bör följande två steg utföras vid stabilitetstest
enligt Bodes stabilitetskriterium:
1. Bestäm den kritiska frekvensen ωc , d.v.s. den frekvens som
kretsöverföringen fasförskjuter med −π , dvs −180 .
2. Bestäm kretsöverföringens amplitudförhållande vid den
kritiska frekvensen ( = AR (ωc )) . Om AR (ωc ) < 1, är den
slutna kretsen stabil, annars instabil.
Dessa två steg kan i sin tur utföras på tre olika sätt:
1. Grafiskt genom att rita ett Bode-diagram för kretsöverföringen. Den kritiska frekvensen ωc kan utläsas ur
fasdiagrammet, och amplitudförhållandet AR (ωc ) vid ωc ur
amplituddiagrammet.
2. Numeriskt, genom att lösa ekvationen −π = ϕk (ω ) , där
ϕk (ω ) är kretsöverföringens fasförskjutning. Lösningen är
ω = ωc . Därefter beräknas AR (ωc ) enligt kända formler.
3. Genom simulering av det återkopplade systemet med en Pregulator på samma sätt som K c,max och ωc bestämdes
experimentellt i avsn. 7.4.1. Eftersom K c,max ⋅ AR (ωc ) = 1 ,
fås AR (ωc ) = 1 / K c,max .
8-23
8. Frekvensanalys
8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system
Övning 8.3
Bestäm kritiska frekvensen och amplitudförhållandet vid
densamma för ett system med kretsöverföringen
Gk ( s ) = G1 ( s )G2 ( s )G3 ( s )G4 ( s )
där
1,5
2
0,8
G1 ( s ) = e −4 s , G2 ( s ) =
, G3 ( s ) =
, G4 ( s ) =
2s + 1
10 s + 1
5s + 1
Grafisk lösning med Bodediagram
8. Frekvensanalys
8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system
Övning 8.4
En process som kan modelleras som en ren dödtid regleras
med en P-regulator. Reglerventilen och mätinstrumentet har
försumbar dynamik och deras förstärkningar är K v = 0,5 och
K m = 0,8 . När en liten förändring av ledvärdet görs uppstår
svängningar med en konstant amplitud och perioden 10
minuter.
a) Vilken är regulatorns förstärkning ?
b) Hur stor är dödtiden ?
8.3.2 Nyquists stabilitetskriterium
1
10
I ett Nyquistdiagram uppritas realdelen av Gk , Re Gk ( jω ) ,
som funktion av imaginärdelen av Gk , Im Gk ( jω ) . Den kurva
som uppstår kallas Nyquistkurva.
0
|GL|
10
| Gk |
−1
Vi börjar med den enklaste varianten av Nyquistkriteriet, som
är helt ekvivalent med Bodes stabilitetskriterium.
10
−2
10
−2
10
−1
10
ω
ω
0
Det förenklade Nyquist-kriteriet: Om kretsöverföringen Gk
inte har poler i högra halvplanet (dvs är stabilt, ev. med
integrator) är det återkopplade systemet stabilt om Nyquistkurvan ( ω = 0 ∞ ) för Gk skär negativa realaxeln till höger
om punkten (-1,0), annars är det återkopplade systemet
instabilt.
10
0
−100
∠GL
−200
arg Gk
−300
−400
−500 −2
10
−1
10
ω
ω
0
10
8-24
8-25
8. Frekvensanalys
8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system
Exempel 8.2. Nyquistkurvorna för systemet i Övning 8.3,
med K c = 1,1, 49 och 2 , visas i figuren.
Förstärkningsmarginal
Förstärkningsmarginalen (amplitudmarginalen) Am säger
med vilken faktor kretsförstärkningen kan öka utan att den
slutna kretsen blir instabil. Matematiskt ges förstärkningsmarginalen av
1
Am =
AR (ωc )
0.5
0
−1
L
Imag(G (jω))
−0.5
Kc=1, stabilt
−1.5
där AR är amplitudförhållandet för kretsöverföringen. För
stabilitet krävs att Am > 1.
−2
K =1.49, på gränsen
c
−2.5
−3
Förstärkningsmarginalen ger robusthet inte bara mot
variationer i processförstärkningen, utan även mot variationer
i andra processparametrar (dvs modellfel i allmänhet).
K =2, instabilt
c
−3.5
−4
−2
8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system
8.3.3 Stabilitetsmarginaler
1
ImGk
8. Frekvensanalys
−1
0
1
2
Real(GL(jω))
3
4
5
ReGk
Övning 8.5
Undersök stabilitet vid P-reglering av en dödtid. Kretsöverföringen är K c e − Ls .
Exempel 8.3. I början av avsnitt 8.3 studerade vi kretsöverK e −0,1s
. Bestäm en P-regulator som har förföringen Gk = c
0,5s + 1
stärkningsmarginalen Am = 1,7 . Är den slutna kretsen fortfarande stabil om dödtiden i stället för 0,1 är 0,15 minuter ?
Från tidigare har vi ωc = 17 rad/min, AR (ωc ) = 0,117 K c . Vi
kräver AR (ωc ) = Am−1 = 1 / 1,7 som ger K c = 5 .
a) Hur ser Nyquistkurvan ut ?
b) Vilket blir stabilitetsintervallet för K c ?
För att kontrollera om den slutna kretsen är stabil med K c = 5
om dödtiden L = 0,15 min, kan vi upprita ett Bodediagram för
Gk med dessa parametrar. Från diagrammet kan vi på samma
sätt som i övning 8.3 avläsa kritiska frekvensen ωc och
amplitudförhållandet AR (ωc ) . Om AR (ωc ) < 1 , är systemet
stabilt.
8-26
8-27
8. Frekvensanalys
8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system
Ett annat sätt är att beräkna ωc och AR (ωc ) numeriskt. För ett
första ordningens system med tidskonstanten T och dödtiden
L finner vi ωc genom att lösa ekvationen
−π = − Lωc − arctan(T ωc )
dvs här (efter teckenbyte)
π = 0,15ωc + arctan(0,5ωc )
8. Frekvensanalys
8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system
Fasmarginal
Fasmarginalen ϕ m anger hur mycket mer negativ fasförskjutningen kunde vara vid den frekvens där kretsöverföringen har
förstärkningen 1 utan att den slutna kretsen blir instabil.
Fasmarginalen ger robusthet inte bara mot variationer i
processens fasförskjutning, utan även mot variationer i andra
processparametrar (dvs modellfel i allmänhet)
Vi finner snabbt lösningen iterativt med direkt substitution
från sambandet
ωc = [π − arctan(0,5ωc )] / 0,15
Bodes stabilitetskriterium säger att AR (ωc ) < 1 , dvs om vi vid
en frekvens ωg har AR (ωg ) = 1 , så kräver stabilitet att vi vid
Lösningen är ωc = 11,6 rad/min.
denna frekvens har en mindre negativ fasförskjutning än − 180 .
Ett första ordningens system med förstärkningen K och
tidskonstanten T (dödtiden påverkar inte) har amplitudförhållandet
|K|
AR (ω ) =
1 + (T ω ) 2
Frekvensen ωg kallas (amplitudkurvans) överkorsningsfrekvens.
Matematiskt definieras fasmarginalen (här uttryckt i radianer)
ϕ m = ϕ (ωg ) + π , där ωg ges av AR (ωg ) = 1.
T = 0,5 , K = K c = 5 och ω = ωc = 11,6 ger AR (ωc ) ≈ 0,85 < 1,
vilket betyder att systemet fortfarande är stabilt om dödtiden
förändras från L = 0,1 till L = 0,15 min.
För stabilitet krävs att ϕ m > 0 . ϕ (ωg ) och AR (ωg ) skall
givetvis beräknas för kretsöverföringen.
Exempel 8.4. Bestäm den P-regulator, för samma krets som i
exempel 8.3, som har ϕ m = 30 . Är den slutna kretsen fortfarande stabil om dödtiden i stället för 0,1 är 0,15 minuter ?
Vi söker först ωg så att ϕ (ω g ) = ϕ m − 180 = −150 = −5π / 6 .
För att finna lösningen, kan vi rita ett Bodediagram för
processens överföringsfunktion Gp (dvs Gk med K c = 1) . Vi
finner då ωg vid den frekvens där faskurvan skär −150 . Det
skall gälla att K c AR (ωg ) = 1 , där AR (ωg ) är amplitudförhållandet för Gp vid ω = ωg , som kan avläsas ur Bodediagrammet.
Vi får då K c = 1 / AR (ωg ) .
8-28
8-29
8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system
Förstärkningen påverkar inte fasförskjutningen. Precis som i
exempel 8.3, är kritiska frekvensen för L = 0,15 min ωc = 11,6
rad/min. Vi kan avläsa AR (ωc ) från Bodediagrammet för Gp .
Om AR (ωc ) > 1 / K c , är systemet instabilt då L = 0,15 .
Vi kan också göra beräkningarna rent numeriskt. Frekvensen
ωg kan lösas ur
5π / 6 = 0,1ωg + arctan(0,5ωg )
8. Frekvensanalys
8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system
Exempel 8.5. Förstärknings- och fasmarginaler kan enkelt
avläsas ur ett Bodediagram då regulatorn är given. För kretsK e −0,1s
med K c = 5 fås Bodediagrammet
överföringen Gk = c
0,5s + 1
nedan med angivna förstärknings- och fasmarginaler.
1
10
| Gk |
|GL|
Iterativ lösning genom direkt substitution från sambandet
ωg = [5π / 6 − arctan(0,5ωg )] / 0,1
ger snabbt lösningen ωg = 12,1 rad/min. AR (ωg ) = 1 motsvarar
Kc
AR (12,1) =
=1
1 + (0,5 ⋅12,1) 2
som har lösningen K c = 6,14 .
Om dödtiden L = 0,15 min, är som ovan konstaterats ωc = 11,6
rad/min. Vi får då
6,14
AR (ωc ) = AR (11,6) =
≈ 1,04 > 1
2
1 + (0,5 ⋅11,6)
vilket betyder att processen är instabil om L = 0,15 min då
K c = 6,14 .
ω
0
g
10
1/Am
−1
10
−1
10
arg Gk
1
ωω
10
ωω
10
2
10
0
−50
−100
−150
fasmarginal
−200 −1
10
8-30
0
10
∠GL
8. Frekvensanalys
0
10
1
ωc
2
10
8-31
8. Frekvensanalys
8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system
8.3.4 Numerisk lösning av frekvenssamband
I exempel 8.3 och 8.4 löstes fasekvationen m.a.p. frekvensen
med en enkel numerisk iterationsmetod. Metoden förutsätter
att systemet har en dödtid. Så är dock inte alltid fallet, men
även om det finns en dödtid fungerar den enkla metoden inte
alltid. Vi skall här ta fram en bättre metod för lösning av
frekvensen både ur fasekvationen och amplitudekvationen för
ett n :te ordningens system med eller utan dödtid.
i =1
∑ arctan(Tiω )
i = n +1
där ϕ r är fasförskjutningen uttryck i radianer/tidsenhet. Om
vi önskar lösa ut
– kritiska frekvensen ω = ωc , är ϕ r = −π
– överkorsningsfrekvensen ω = ωg , är ϕ r = −π + ϕm , där ϕ m
är fasmarginalen uttryckt i radianer/tidsenhet
Vi definierar
n
i =1
n
N
d f (ωk )
Ti
Ti
= −L − ∑
+ ∑
f ′(ωk ) ≡
2
2
dωk
i =1 1 + (Tiωk )
i = n +1 1 + (Tiωk )
Av problemets natur följer att f ′(ω ) > 0 i närheten av lösningen
till f (ω ) = 0 . Om vi som startlösning gissar ett ω0 sådant att
f ′(ω0 ) > 0 , kan vi på goda grunder välja
α = − f ′(ω0 ) −1
−1
Det finns dock ingen garanti för att detta ger snabb konvergens.
Man kan försöka förbättra konvergensen genom att t.ex. fördubbla α :s värde — dock med risk för att det börjar divergera.
N
f (ω ) = −ϕ r − Lω − ∑ arctan(Tiω ) +
konvergerar då om α väljes så att −2 < α f ′(ωk ) < 0 , där
n
N
⎛
⎞
α = 2 ⎜ L + ∑ Ti − ∑ Ti ⎟
⎝
i =1
i = n +1 ⎠
där systemets poler och nollställen behöver inte vara reella,
trots att vi använder denna form.
Fasekvationen för detta system har formen
n
8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system
Enklast är att starta iterationen från ω0 = 0 om f ′(0) > 0 . Vi
fördubblar dock α :s värde och väljer
Fasekvationen
Vi utgår från en allmän överföringsfunktion
1
1
G ( s ) = K ⋅ e− Ls ⋅
⋅… ⋅
⋅ (Tn+1s + 1) ⋅… ⋅ (TN s + 1)
T1s + 1
Tn s + 1
ϕr = − Lω − ∑ arctan(Tiω ) +
8. Frekvensanalys
N
∑ arctan(Tiω )
i = n +1
vilket innebär att vi vill lösa ekvationen f (ω ) = 0 . En iterativ
lösning enligt formeln
ωk +1 = ωk + α f (ωk )
8-32
Om systemet har komplexa poler eller nollställen uppträder
dessa alltid som komplexkonjugerade sådana. Vi har då också i
uttrycken ovan två komplexkonjugerade ”tidskonstanter” T j
och T j +1 , som satisfierar uttrycket
(T j s + 1)(T j +1s + 1) = ( s 2 + 2ζωn s + ωn2 ) / ωn2
där ζ och ωn är de två polernas/nollställenas relativa dämpning respektive naturliga egenfrekvens. Vi har
T j + T j +1 = 2ζ / ωn
och
⎛ 2ζω ω ⎞
arctan(T jω ) + arctan(T j +1ω ) = arctan ⎜ 2 n 2 ⎟
⎝ ωn − ω ⎠
som kan substitueras i uttrycken ovan.
8-33
8. Frekvensanalys
8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system
Amplitudekvationen
Om vi vill bestämma systemets fasmarginal med en given
regulator behöver vi överkorsningsfrekvensen ωg , som satisfierar ekvationen | Gk (ωg ) | = 1, där Gk är kretsöverföringen, dvs
det oreglerade systemet kopplat i serie med regulatorn. Ofta är
regulatorn i detta skeda en P-regulator, men vi skall här också
beakta att vi kan ha en regulator med integrerande verkan.
Vi skriver kretsöverföringen i formen
Gk ( s ) = GI ( s ) ⋅ G ( s )
där G ( s ) har samma allmänna form som för fasekvationen.
Om det finns en regulator med integrationstiden Ti > 0 är
GI ( s ) = 1 / Ti s , annars är GI ( s ) = 1. Resten av regulatorns överföringsfunktion ingår i G ( s ) .
Amplitud- (eller förstärknings- eller belopps-) kurvan är
| Gk ( jω ) | = | GI ( jω ) | ⋅ | G ( jω ) |
där
| GI ( jω ) | = 1 / Tiω
| G ( jω ) | = | K | ⋅
8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system
känd, eller kan beräknas, när man vill beräkna ωg . Här
föreslås dock
{
−1
n
N
⎛
⎞
T om I-verkan
β = 2 ⎜ T0 + ∑ Ti − ∑ Ti ⎟ , T0 = i
0 annars
⎝
i =1
i = n +1 ⎠
dvs samma typ av val som vid lösning av fasekvationen. Märk
att det finns en tidskonstant Ti = T0 , i > n , om regulatorn är en
PI- eller PID-regulator, vilket innebär att T0 då i själva verket
förkortas bort från β .
Precis som ovan torde detta garantera konvergens om systemet inte har mycket speciella egenskaper, men snabb konvergens kan inte garanteras. Man har full frihet att t.ex. fördubbla
β för att förbättra konvergensen.
Liksom i fallet med fasekvationen, utgör komplexa poler eller
nollställen inget problem. Ifall T j och T j +1 är komplexkonjugerade, vet vi redan hur summan T j + T j +1 beräknas i uttrycket
för β . I uttrycket för | G ( jω ) | fås
[1 + (T jω ) ][1 + (T j +1ω ) ] = 1 + 2
2
[1 + (Tn+1ω ) 2 ] ⋅… ⋅ [1 + (TN ω ) 2 ]
[1 + (T1ω ) 2 ] ⋅… ⋅ [1 + (Tnω ) 2 ]
Vi definierar
8. Frekvensanalys
2
2ζ 2 − 1
ωn2
2
⎛ 2ζ 2 − 1 ⎞ 4
ω +⎜
⎟ ω
2
⎝ ωn ⎠
2
Övning 8.6
Bestäm K c,max för nedanstående system med frekvensanalys.
−1
g (ω ) =| G ( jω ) | − | GI ( jω ) |
vilket innebär att vi vill lösa ekvationen g (ω ) = 0 för att finna
lösningen till | Gk (ωg ) | = 1. En iterativ lösning enligt formeln
r
y
Gc
ωk +1 = ωk + β g (ωk )
konvergerar då om β väljes så att −2 < β g ′(ωk ) < 0 . Här är
g ′(0) = 0 då GI ( s ) = 1, vilket innebär att β = − g ′(ω0 ) −1 är ett
olämpligt val om man har för avsikt att starta iterationen från
ω0 = 0 . Ett bättre startvärde torde ω0 = ωc vara, som ofta är
8-34
Gv
Gp
Gm
Gp =
1
1
1
, Gv =
, Gm =
, Gc = K c
5s + 1
2s + 1
s +1
8-35
8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet
8. Frekvensanalys
8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet
Bode-diagrammet för en PI-regulator:
I detta avsnitt skall vi visa hur PI-, PD- och PID-regulatorer
kan dimensioneras så att givna frekvensplansbaserade
stabilitets- och prestandakriterier uppfylls.
De använda stabilitetskriterierna är förstärkningsmarginalen
Am och fasmarginalen ϕ m . För väl inställda regulatorer gäller
| GPI |
| Kc |
11
10
10
0
10
−2
10
arg GPI
−1
10
0
10
ω/T
ω
Ti i
1
2
10
10
0
−20
lag
ofta Am ≈ 2 och ϕm ≈ 45 Överkorsningsfrekvensen ωg är ett
prestandarelaterat mått — ju högre överkorsningsfrekvens,
desto snabbare reglering. Ofta anses att ωg ≈ 0,3ωc , där ωc är
kritiska frekvensen när systemet regleras med en P-regulator,
är ett bra värde.
2
10
lag
8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet
|G |
8. Frekvensanalys
−40
∠G
8.4.1 Dimensionering av PI-regulatorer
Överföringsfunktionen för en PI-regulator är
−60
−80
⎛
1 ⎞
1 + Ti s
GPI ( s ) = K c ⎜1 +
⎟ = Kc
Ti s
⎝ Ti s ⎠
−100
−2
10
Integrationstiden Ti ≈ 5 / ωg är ofta ett lämpligt val för en PIregulator. Som Bodediagrammet för PI-regulatorn visar (på
nästa sida), ger detta ca –10° fasförskjutning vid frekvensen
ω = ωg . (Ekvation (8.28) ger det exaktare värdet –11,3º.)
Man kan utnyttja detta för att t.ex. dimensionera en PI-regulator så att det reglerade systemet får en önskad fasmarginal
ϕm . Tillvägagångssättet är följande:
1. Beräkna ωg som den frekvens där fasmarginalen är ϕ m + ca.
10 extra som integreringen kommer att bidra med.
−1
10
0
10
ω/T
ω
Ti
1
2
10
10
i
Exempel 8.7. Designa en PI-regulator för systemet som
beskrivs av överföringsfunktionen
e− s
G (s) =
10 s + 1
som ger a) ϕm = 30 b) ϕm = 60 . Beräkna även regulatorinställningar enligt några metoder i avsnitt 7.4 och 7.5.
2. Bestäm regulatorförstärkningen K c så att AR (ωg ) = 1 .
3. Integrationstiden är Ti = 5 / ωg .
8-36
8-37
8. Frekvensanalys
8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet
8. Frekvensanalys
8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet
a) ϕm = 30 innebär att vi skall beräkna ωg för fasförskjutningen ϕ = −180 + 30 + 10 = −140 = −7π / 9 . Enligt den
iterativa lösningsmetoden har vi
f (ω ) = 7π / 9 − ω − arctan(10ω )
och α = 2 / (1 + 10) ≈ 0, 2 . Lösning enligt
ωk +1 = ωk + α f (ωk )
med startlösningen ω0 = 0 ger efter ganska många iterationer
ωg = 0,975 . Konvergensen är långsam, men man kan ”på
vägen” göra bättre gissningar av ωk när man ser ungefär vart
man är på väg.
Regulatorförstärkningen K c fås enligt sambandet
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
K c = Ar (ωg ) −1 = 1 + (10ωg ) 2 ≈ 9,8
0.2
och integrationstiden Ti enligt
Ti = 5 / ωg ≈ 5,13
0
b) Löses på analogt sätt.
Resultaten finns sammanställda i tabellen.
Z-N
30
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Figur: Stegsvar med PI-regulatorer med a) ϕm = 30
(heldragen), b) ϕm = 60 (streckad).
ITAE CHR 0% CHR 20%
konst. konst.
konst.
Kc
9,80
9,00
8,15
6,00
7,0
Ti
5,13
3,33
3,10
4,00
2,30
Vi kan även testa approximativa samband:
1, 4
och insvängningstiden t5% ≈
stigtiden ts ≈
ωg
6
.
ωg tan(ϕm )
a) Formel: ts ≈ 1, 4 ; t5% ≈ 10,7
60
Ur figur: ts ≈ 2,9 − 2,1 = 0,8 ; t5% ≈ 11,5 − 1 = 10,5
ITAE CHR 0% CHR 20%
följe
följe
följe
Kc
5,43
4,83
3,50
6,00
Ti
9,36
9,87
12,0
10,0
b) Formel: ts ≈ 2,6 ; t5% ≈ 6,5
Ur figur: ts ≈ 3,6 − 2, 2 = 1, 4 ; t5% ≈ 6, 2 − 1 = 5, 2
8-38
8-39
8. Frekvensanalys
8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet
Det är enkelt att göra PI-regulatordimensionering med hjälp
av ett Bodediagram. För systemet i exempel 8.7 fås:
0
10
|G|
|G|
8. Frekvensanalys
8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet
8.4.2 Dimensionering av PD-regulatorer
En realiserbar PD-regulator med ett lågpassfilter har överföringsfunktionen
1
GPDf ( s ) = K c (1 + Td s ) ⋅
1 + Tf s
PD-regulator
−1
10
lågpassfilter
PDf-regulatorns fasförskjutning ges av
⎛ (T − T )ω ⎞
arg GPDf ( jω ) = arctan(Tdω ) − arctan(Tf ω ) = arctan ⎜ d f 2 ⎟
⎝ 1 + TdTf ω ⎠
−2
10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
0
arg G
Detta ger en positiv fasförskjutning då Td > Tf . Man kan visa
att maximal fasförskjutning fås vid frekvensen ω = ωmax , där
∠G
−50
−100
ωmax = (TdTf ) −1/2
−150
−200 −2
10
−1
10
0
10
Den maximala fasförskjutningen är
1
10
Man kan även kontrollera den erhållna slutna kretsen genom
att rita Bodediagram för kretsöverföringen Gk = GPIG :
PDf-regulatorns amplitudförhållande är
4
10
| Gk |
1 + (Tdω ) 2
| GPDf ( jω ) | = | K c |
1 + (Tf ω ) 2
2
|GL|
10
0
10
Vid ω = 0 (dvs stationärtillstånd) är | GPDf (0) | =| K c | och när
ω → ∞ , | GPDf ( jω ) | → | K c | Td / Tf . Vid frekvensen ωmax fås
−2
10
−2
10
arg Gk
⎛ Td − Tf ⎞
1/2 ⎟
⎝ 2(TdTf ) ⎠
ϕmax = arctan ⎜
−1
10
0
10
1
10
| GPDf ( jωmax ) | = | K c | (Td / Tf )1/2
0
Med parameterdefinitionen b = Td / Tf fås
−50
∠GL
ωmax = b / Td , ϕmax = arctan[(b − 1) / (2 b )]
−100
| GPDf ( jωmax ) | = b | K c | , | GPDf ( j∞) | = b | K c |
−150
−200 −2
10
−1
10
0
10
1
10
8-40
8-41
8. Frekvensanalys
8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet
8. Frekvensanalys
För att göra detta, behöver man bl.a. bestämma parametern b
utgående från ett önskat faslyft ϕ max . Ett sätt att uttrycka
formeln som kan härledas är
Bodediagrammet för PDf-regulatorn:
| GPDf |
|G
|
lead
|K
c|
b=
bb
b1
1
1/ b
8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet
1 + sin ϕmax
, 0 ≤ ϕmax < 90
1 − sin ϕ max
Sambandet finns också uppritat i nedanstående figur.
1/Td
b/Tbd
b/Td
70
Td
60
∠G
argG
PDf
lead
∠Glead,max
50
ϕmax
ϕmax
∠Glead,max
40
30
o
0
20
ω
10
Dimensioneringen av en PDf-regulator utgår ifrån att man
önskar en given överkorsningsfrekvens ωg och en given fasmarginal ϕ m . Man vill med andra ord kombinera prestanda
och robusthet.
Det blir aktuellt att använda en PDf-regulator om det visar sig
att önskad fasmarginal inte uppnås vid den önskade
överkorsningsfrekvensen med en P- eller PI-regulator. I denna
situation vet man hur stort ”faslyft” som behövs för att nå den
önskade fasmarginalen. Idén är att placera PDf-regulatorns
maximala faslyft, lika med det behövliga faslyftet, vid frekvensen ωg .
8-42
0
0
5
10
15
20
25
b
Dimensioneringen går till på följande sätt:
1. Kontrollera utgående från det oreglerade systemet G (dvs
Gk utan regulator) om önskad fasmarginal uppnås vid överkorsningsfrekvensen ωg .
2. Om inte, beräknas behövligt faslyft enligt
ϕmax = ϕm − arg G ( jωg ) − π
3. Parametern b beräknas eller avläses från figuren ovan.
8-43
8. Frekvensanalys
8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet
4. Deriveringstiden Td = b / ωg beräknas.
5. Filtertidkonstanten Tf = Td / b beräknas.
6. Regulatorförstärkningen K c = sgn G (0) / ( b | G ( jωg ) |)
beräknas.
Det bör noteras att ovannämnda förfarande inte garanterar att
designspecifikationerna nås exakt, eftersom PDf-regulatorn
kommer att påverka den kritiska frekvensen ωc för kretsöverföringen Gk ( jω ) = G ( jω )GPDf ( jω ) . Fasmarginalen för
Gk ( jω ) bör därför kontrolleras. Om det visar sig att den inte
är tillräcklig, höjs ϕ max ytterligare och designen upprepas.
Ytterligare bör noteras att stora värden på parametern b ger
kraftig derivering. Detta medför bl.a. stora variationer i styrsignalen, vilket normalt inte är önskvärt.
För robusthet räcker det inte att fasmarginalen är tillräcklig —
även förstärkningsmarginalen bör vara tillräcklig.
8. Frekvensanalys
8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet
8.4.3 Dimensionering av PID-regulatorer
Även om vi med en PD regulator kan erhålla snabbhet (”högt”
ωg i jämförelse med ωc ) och önskad fasmarginal (ϕm ), kommer vi att få regleravvikelse då integrerande verkan saknas.
Det är därför ändamålsenligt att inkludera också integrerande
verkan. Enklast görs detta med serieformen av en PIDregulator, dvs en regulator där PI-delen och PD-delen seriekopplas som i blockschemat nedan. Dessa kan dimensioneras
enligt principerna i de två föregående avsnittet.
r
GPD
+
GPI
u
Vi har ϕ (ωg ) = −1ωg − arctan(10ωg ) = −2, 47 = −142 , men
eftersom vi önskar ϕ (ωg ) = −120 , skall fasen höjas med 22 .
Vi väljer ϕ max = 25 för att ha litet extra marginal. Detta
kräver b = 2,5 , som ger Td = 1,6 och Tf = 0,63 . Slutligen fås
y
-
Serieformen av PID-regulatorn med ett filter på derivatadelen
har överföringsfunktionen
GPIPDf ( s ) = GPI ( s )GPDf ( s ) = K c ⋅
Exempel 8.8. Designa en filtrerande PD-regulator för
systemet som beskrivs av överföringsfunktionen
e− s
G (s) =
10 s + 1
så att fasmarginalen ϕ m = 60 erhålles vid överkorsningsfrekvensen ωg = 1 rad/tidsenhet.
Gp
1 + Ti s (1 + Td s )
⋅
Ti s
1 + Tf s
Dess amplitudkurva ges av
| GPIPDf ( jω ) | = | K c |
[1 + (Tiω ) −2 ][1 + (Tdω ) 2 ]
1 + (Tf ω ) 2
och faskurvan av
arg GPIPDf ( jω ) = − arctan[(Tiω )−1 ] − arctan(Tdω ) + arctan(Tf ω )
Följande figur visar amplitudkurvans principiella (”asymptotiska”) utseende.
K c = 1 + (10ωg ) 2 / b = 6,3 .
8-44
8-45
8. Frekvensanalys
8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet
8. Frekvensanalys
Amplitudkurvan för serieformen av en PID-regulator med
derivatafilter:
8.4 Design av PID-regulatorer i frekvensplanet
PIPDf-regulatorn kan också representeras på standardformen
av en PID-regulator med filtrerad D-verkan, dvs
⎛
τ s ⎞
1
GPIDf ( s ) = κ ⎜1 +
+ d ⎟
⎝ τ is 1 + τ f s ⎠
| GPIPDf |
| Kc |
Omräkningssambanden är
b
|GPID|
τ i = Ti + Td − Tf , κ =
τi
Ti
K, τd =
TiTd
τi
− Tf , τ f = Tf
Exempel 8.8. En process har överföringsfunktionen
G ( s ) = 4 / (1 + s )3 . Bestäm en PID-regulator som ger ωg = 2
bK
c
rad/s och fasmarginalen 35 .
1
Kc/ b
De olika stegen i ett Bodediagram:
4
10
1/T =0.2ω
i
g
1/Td
b/T =ω
bd g
= ωg
Td
b/Td
2
10
0
10
Vi kan dimensionera PID-regulatorn enligt följande principer
utgående från en önskad överkorsningsfrekvens ωg och fasmarginal ϕ m :
1. Beräkna integrationstiden enligt Ti = 5 / ωg .
−2
10
−4
10
−6
10
2. Beräkna fasförskjutningen ϕ (ωg ) = arg G ( jω ) + arg GPI ( jω )
eller uppskatta den enligt ϕ (ωg ) ≈ arg G ( jω ) + π / 18 , där G
är det oreglerade systemets överföringsfunktion.
3. Beräkna behövligt faslyft enligt ϕ max = ϕ m − arg G ( jωg ) − π .
−2
10
0
0
10
1
10
2
10
−50
−100
−150
4. Beräkna deriveringstiden Td = b / ωg .
−200
5. Beräkna filtertidkonstanten Tf = Td / b .
−250
6. Beräkna K c = sgn G (0) / ( b | GPI ( jωg ) || G ( jωg ) |) .
−300
−2
10
8-46
−1
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
8-47