Transcript 1. Grundläggande strömningslära och hemodynamik

1. Grundläggande strömningslära och hemodynamik
Per Ask
Institutionen för medicinsk teknik
Linköpings universitet
Blodets transport av syre, bundet till hemoglobinet, från lungorna till kroppens olika delar
och den omvända transporten av koldioxid är grundstenen i kroppens metabolism. Vidare
är blodet transportör av näringsämnen och signalsubstanser ut till kroppens olika delar
samt ombesörjer elimineringen av metaboliter. Dessa välkända fakta pekar på
cirkulationssystemets ytterst centrala funktion samt hur viktig förståelsen för
cirkulationssystemets fysiologi är för att vi korrekt skall kunna beskriva
människokroppens funktion.
Traditionell medicinsk beskrivning av cirkulationssystemets fysiologi bygger ofta på en
verbal beskrivning baserad på en intuitiv förståelse av de fysikaliska processer som ligger
bakom de fysiologiska skeendena. En sådan beskrivning har fördelen att den inte
förutsätter ingående fysikaliska kunskaper men har nackdelen att det kan vara svårt att
korrekt förutsäga hur utvariabler förändras som svar på ändrade invariabler. En
beskrivning baserad på en fysikalisk modell kräver ibland relativt djupa kunskaper i
matematik och fysik, men har bl a den stora fördelen att man kan studera komplicerade
orsakssamband mellan in- och utvariabler.
Cirkulationssystemet lämpar sig mycket väl för att beskrivas med hjälp av fysikaliska
modeller. Vi kan då dra nytta av det faktum att ingående komponenter har samma
egenskaper som liknande komponenter vilka ingår i tekniska system. För att korrekt
kunna förstå cirkulationssystemet behövs dock kunskap om strömningslärans grunder.
Hemodynamik är en beskrivning av cirkulationssystemet baserad på fysikaliska samband.
1.1 Egenskaper hos fluider
Ordet fluid är i strömningstekniska sammanhang en samlande benämning på vätskor och
gaser. En viktig egenskap hos en fluid är dess densitet, ρ (kg/m3). Om strömningen sker
under det att densiteten ändras talar man om kompressibel strömning. Kompressibel
strömning uppträder t ex vid höghastighetsströmning kring en flygplansvinge. I
cirkulationssystemet kan blodets densitetsförändring på grund av varierande tryck
försummas och man kan därför betrakta strömningen som inkompressibel. Densiteten för
blod är ca 1060 kg/m3 vid kroppstemperatur.
En vätskas viskositet, η, är ett mått på inre friktion i vätskan. SI-enheten för viskositet är
Ns/m2. En annan vanligt använd enhet är cp (centi pois) där 1 cp = 1⋅10-3 Ns/m2. Ett sätt
att beskriva viskositeten är att den bestämmer den friktionskraft som uppträder mellan
vätskelager som rör sig med olika hastighet. Vi kan studera detta genom att ha ett plan
varpå en vätskefilm med tjockleken h är utbredd (Figur 1.1). Ovanpå vätskefilmen finns
en skiva som rör sig med hastigheten v. Vi antar att skivan är rektangulär med längden l
1
och bredden b. Studerar vi vätskeskiktet mellan planet och skivan kommer allra närmast
skivan att röra sig med samma hastighet som denna, dvs v. På samma sätt kommer
vätskelagret närmast planet ha hastigheten noll. Vätskelagren från planet till skivan
kommer i detta fall att röra sig med hastigheter som ökar linjärt med avståndet från
planet. Om avståndet från planet är y ges hastigheten av δv/δy. Denna hastighetsgradient
ger upphov till en skjuvkraft mellan vätskeskikten och δv/δy kallas också för
skjuvhastigheten.
Figur 1.1 Illustrering av viskositetsbegreppet. En vätskefilm med tjockleken h finns på en plan yta. En
skiva rör sig med den konstanta hastigheten v i förhållande till den plana ytan. I nedre figurdelen visas
också hastighetsprofilen.
Newton postulerade allmänt att skjuvspänningen, τ, mellan två angränsande vätskelager
är proportionell mot hastighetsgradienten med viskositeten som proportionalitetskonstant,
dvs
τ =η
δv
δy
(1.1)
För fallet ovan med linjär hastighetsprofil ges alltså hastighetsgradienten av
δv v
=
δy h
(1.2)
2
Kraften, F, som krävs för att driva skivan framåt ges då av
F = ∫ τ dA = ηlb
v
h
(1.3)
varför kraften ökar med ökande hastighet och minskar med vätskeskiktets tjocklek. En
fluid som uppfyller sambandet 1.1 kallas för newtonsk. Vatten är en sådan vätska. Dess
viskositet vid 20 °C är 1.00⋅10-3 Ns/m2 och vid 37 °C 0.68⋅10-3 Ns/m2.
Eftersom blod innehåller partiklar är det i strikt mening ingen newtonsk vätska. Av
nedanstående stycke framgår dock att blod i de flesta fall kan behandlas som en vätska
med newtonska egenskaper.
1.2 Blodets viskösa egenskaper
Blod är en heterogen vätska som består av en suspension av blodkroppar i plasma. Viskositeten för blod avviker från den hos en newtonsk vätska genom att den vid låga skjuvhastigheter beror av skjuvhastighetens storlek (se Figur 1.2). Det här beroendet är kopplat
till blodkropparnas orientering i flödet. Blodkropparna liknar cirkulära skivor med en
diameter på några µm. Vid mycket låga skjuvhastigheter är blodkropparna slumpvis
orienterade varvid blodkroppar som är tvärställda flödet ökar friktionen mellan
vätskeskikt. Vid högre skjuvhastigheter orienteras blodkropparna parallellt strömningen,
vilket resulterar i att friktionen mellan vätskeskikten minskar. Omorienteringen sker vid
läget för ”knät” hos graferna i Figur 1.2. För skjuvhastigheter över ett visst värde är
blodkropparna alltid orienterade parallellt strömningen och blodets viskositet blir
oberoende av skjuvhastigheten.
Figur 1.2 Blodviskositeten som funktion av skjuvhastigheten (shear rate) för blod med hematokriten 60,
40, för plasma och för koksaltlösning.
3
I normalfallet är skjuvhastigheten för blodet i cirkulationssystemet så stor att viskositeten
kan betraktas som oberoende av skjuvhastigheten och vi kan behandla blodet som en
newtonsk vätska. Vid chocktillstånd med extremt låg flödeshastighet kan dock den med
minskad skjuvhastighet ökande viskositeten bli av betydelse och nutritionen hos
vävnaden försvåras då ytterligare.
Ett typiskt värde för blodets viskositet vid 37 °C och normal hematokrit är 3⋅10-3 Ns/m2.
Eftersom blodkropparna bidrar väsentligt till blodets viskositet är det naturligt att
blodviskositeten är hematokritberoende. Figur 1.3 visar hur viskositeten ökar med ökande
hematokrit. Man kan också notera viskositetens beroende av kärldiametern. Beroendet av
hematokriten är minst för de allra minsta kärlen. Detta förhållande kan förklaras med den
s k Fåhreaus-Lindqvisteffekten.
Figur 1.3 Blodviskositetens beroende av hematokriten vid olika kärldiametrar.
Fåhreaus-Lindqvisteffekten innebär att blodets viskositet minskar med minskande kärldiameter (se Figur 1.4). Effekten är mest märkbar för kärl, vars diameter är mindre än ca
100 – 200 µm och påvisades av de svenska forskarna Fåhreaus och Lindqvist 1931. En
förklaring till effekten är att strömmande blodkroppar med omgivande plasma förs
samman till relativt långa kolonner med bredd av samma storleksordning som en
blodkropp. I kolonnen sker ingen vätskerörelse varför det inte heller uppträder några
friktionsförluster här. Inre friktionen uppträder i stället i plasmaskikt mellan strömmande
kolonner. Den funna effekten skulle förklaras av att ju mindre kärldiametern är desto
färre blir antalet kolonner med blodkroppar som strömmar i kärlet och därmed minskar
friktionen. En alternativ förklaring är att vidden hos den zon närmast blodkärlväggen som
är fri från blodkroppar skulle vara tämligen konstant oberoende av kärldiameter.
Eftersom plasma har mindre viskositet än helblod skulle detta resultera i en minskad
effektiv viskositet.
4
Figur 1.4 Blodviskositetens minskning med kärldiametern på grund av Fåhreaus-Lindqvisteffekten.
1.3 Laminärt flöde genom rör – Poiseuilles ekvation
Ett hjälpmedel för att bestämma om strömningen utgör en välordnad skiktströmning, dvs
är laminär, eller om den är oordnad, turbulent, är att beräkna det dimensionslösa
Reynoldstalet. Detta tal utgör en kvot mellan uppskattade tröghetskrafter och viskösa
krafter för ett visst strömningsfall. För ett rör ges Reynoldstalet av
Re =
ρ dvmedel
η
(1.4)
där ρ är fluidens densitet, d rörets diameter och vmedel medelhastigheten för strömningen
i röret. Om Reynoldstalet är mindre än ca 2000 antas strömningen vara laminär. I
blodkärlsystemet råder mestadels laminär strömning i medelstora och mindre artärer samt
i arteriolerna.
Figur 1.5 Strömningsprofilen vid laminär strömning i rör.
Vi antar att vi har laminär stationär strömning i ett rakt rör och att strömningen är fullt
utbildad. Det senare förutsätter att röret är långt i förhållande till sin diameter. Antag att
röret är horisontellt och att det har radien R och längden L (se Figur 1.5). Om trycket vid
5
rörets inlopp respektive utlopp är p1 och p2 ges den kraft som driver vätskan framåt i
röret av
Fp = ( p1 − p2 )π R 2
(1.5)
Studera en cylinder i röret med radien r. På grund av vätskefriktion utsätts cylinderskalet
för en bromsande friktionskraft som ges av produkten av skjuvkraften och skalets yta.
Friktionskraften är därför
Ff = τ 2π rL
(1.6)
Med y = r fås friktionskraften från ekvation 1.1 och vi erhåller
Ff = −2πη Lr
δv
δr
(1.7)
Vid jämvikt är Fp = Ff och vi får
( p1 − p2 )π r 2 = −2πη Lr
δv
δr
(1.8)
vilket ger
δv
( p − p2 )r
=− 1
δr
2η L
(1.9)
Integrering av 1.9 ger
v (r ) = −
( p1 − p2 )r 2
+ Konst
4η L
(1.10)
Med randvillkoret v(R) = 0 fås för hastigheten som funktion av radien r att
v (r ) = −
( p1 − p2 ) 2 2
(R − r )
4η L
(1.11)
Uttrycket svarar mot en parabolisk hastighetsprofil (jämför Figur 1.5). Den maximala
flödeshastigheten i centrum ges då av
vmax
( p1 − p2 ) R 2
=
4η L
(1.12)
6
Genom integrering av 1.11 erhålles medelhastigheten som
( p1 − p2 ) R 2 1
= vmax
8η L
2
vm =
(1.13)
Genom integrering av 1.11 över tvärsnittet erhåller vi volymsflödet Q
( p1 − p2 )
π R 4 ( p1 − p2 )
2
2
(
R
−
r
)2
π
rdr
=
4η L ∫0
8η L
R
Q=
(1.14)
vilket är Poiseuilles ekvation. Vi noterar att flödet genom ett rör i detta fall beror av
fjärde potensen av rörets radie. I cirkulationssystemet har arteriolerna den
flödesreglerande funktionen. På grund av flödets mycket starka beroende av kärlets
diameter inser vi att det är tillräckligt med en relativt måttlig dimensionsförändring för att
kraftigt påverka flödet.
Laminärt flöde genom ett rör kan vi i analogi med Ohms lag se som en flödesresistans
som ges av kvoten mellan tryckskillnad och flöde. Från Poiseuilles ekvation får vi då
flödesresistensen som
Rf =
( p1 − p2 ) 8ηl
=
Q
π R4
(1.15)
7
1.4 Turbulent flöde
Över ett visst Reynoldstal börjar den välordnade laminära strömningen att ersättas med
oordnad virvelströmning. Flödesprofilen övergår från parabolisk till en mer ”flat” flödesprofil. Medelhastigheten på olika avstånd från rörets vägg skiljer sig därför inte så
mycket åt. Medan laminärt flöde är relativt lätt att beskriva är turbulent flöde väsentligt
mer komplicerat. Detaljerna hos flödet kan inte alls beskrivas med traditionell matematik.
För turbulent rörströmning har man dock kommit fram till vissa empiriska samband
mellan tryckfallet längs röret samt flödet eller flödeshastigheten i röret. Om trycket vid
rörets inlopp respektive utlopp är p1 och p2, medelhastigheten i röret vm, radien R och
längden L ges tryckfallet över röret på grund av viskösa förluster av
( p1 − p2 ) = f f
L 2
vm
R
(1.16)
där ff är en friktionsfaktor som beror på egenskaperna hos rörets inneryta samt av
Reynoldstalet. För rör med något skrovlig yta är dock beroendet av Reynoldstalet litet. I
ekvation 1.16 kan vi således notera att tryckfallet vid fullt utbildat turbulent flöde beror
av flödet eller flödeshastigheten i kvadrat.
I aorta uppträder under delar av hjärtcykeln turbulent flöde. Maximala flödeshastigheten i
aorta är i vila ca 1 m/s. Med en diameter på uppskattningsvis 25 mm, bloddensitet på
1060 kg/m3 och viskositet på 3⋅10-3 Ns/m2, erhålles ett Reynoldstal runt 8300 vilket
indikerar ett klart turbulent flöde. Vidare uppträder turbulent flöde i cirkulationssystemet
vid förgreningar och där kärl avgår från ett annan kärl.
1.5 Kontinuitetsekvationen
Kontinuitetsekvationen används för att relatera hastighetsförändringar till
areaförändringar. Figur 1.6 visar ett system där arean ökar från ett värde A1 till ett värde
A2. Medelhastigheterna vid respektive tvärsnittsytor är v1 och v2. Kontinuitetsekvationen
kan för en stationär inkompressibel strömning skrivas
Q = A1v1 = A2 v2
(1.17)
8
Figur 1.6 Illustrering av kontinuitetsekvationen.
Sambandet förklarar bl a skillnaden i flödeshastighet mellan centrala och perifera
blodkärl. Antag att medelhastigheten i aorta är 0.2 m/s och att tvärsnittsarean är 5 cm2.
Med mikroskop kan vi uppskatta att flödeshastigheten i kapillärerna är ca 1 mm/s.
Kontinuitetsekvationen ger då att den sammanlagda ytan av kapillärernas tvärsnitt är ca
0.1 m2.
1.6 Bernoullis ekvation
Om vi önskar studera sambandet mellan tryckskillnad och flöde genom korta rör eller
strypningar är det inte enbart friktionsförlusterna som bestämmer detta samband. Det är
snarare så att friktionsförlusterna kan försummas i många fall och vi kan då använda
principen om energins oförstörbarhet för att beskriva flödet. Dessa antaganden är de helt
motsatta jämfört med Poiseuilles ekvation, där friktionen orsakar tryckdifferensen.
Figur 1.7 Strömning genom två sektioner hos ett rör för illustrering av Bernoullis ekvation.
Studerar vi strömning genom ett strömrör med två sektioner enligt Figur 1.7 och antar att
flödet är stationärt och friktionsfritt ger Bernoullis ekvation att
p1 +
1 2
1
ρ v1 + ρ gh1 = p2 + ρ v22 + ρ gh2
2
2
(1.18)
9
Den första termen är det statiska trycket och utgör den energi per volymsenhet som finns
tillgänglig i form av tryck. Term nummer två utgör kinetisk energi per volymsenhet och
kallas för dynamiskt tryck. Den tredje termen svarar mot den potentiella energin per
volymsenhet och kan benämnas höjdtryck.
Som exempel på en tillämpning av Bernoullis ekvation kan vi studera flödet från hjärtats
kammare ut genom en förträngd hjärtklaff enligt Figur 1.8. Vi kan då använda Bernoullis
ekvation för att beskriva flödet genom två tvärsnitt, ett i hjärtats kammare och ett genom
den förträngda klaffen. Tvärsnittsarean för kammaren antas vara lika med A1 och
tvärsnittsarean för den förträngda klaffen är A2. Om A1 >> A2 kan vi försumma
flödeshastigheten v1 i kammaren jämfört med v2 i klaffen. Vidare antar vi att vi kan
försumma höjdskillnaden mellan de två tvärsnitten. Med antagandet att flödet är
stationärt får vi då från Bernoullis ekvation att
1 2
ρ v2
2
(1.19)
( p1 − p2 )
(1.20)
p1 = p2 +
eller
v2 =
2
ρ
Klaffarean fås ur uttrycket
A2 =
Q
v2
(1.21)
eller med ekvation 1.20
A2 =
Q
2
ρ
(1.22)
( p1 − p2 )
Ett sätt att betrakta ekvation 1.19 är att se tryckdifferensen över klaffen som den energi,
egentligen per volymsenhet, som finns tillgänglig för att accelerera upp blodet i
kammaren till en viss hastighet i klaffen. Tillgänglig energi i form av tryck omvandlas då
till rörelseenergi hos blodet i klaffen.
10
Figur 1.8 Schematisk illustrering av flödet genom en hjärtklaff.
I förutsättningarna för beräkningarna ovan ingår att flödet är stationärt vilket strikt
innebär att flödeshastigheten i en godtycklig punkt i systemet inte får ändra sig med
tiden. I fallet med hjärtklaffen är det uppenbart att flödet inte är strikt stationärt eftersom
flödet ändras vid olika delar av hjärtcykeln. Betrakta den konvektiva accelerationen, dvs
den acceleration som en partikel som ursprungligen befinner sig i kammaren utsätts för
på sin väg genom klaffen. För att antagandet om stationaritet skall vara korrekt är det
tillräckligt att kraften som behövs för den konvektiva accelerationen skall vara väsentligt
mindre än den kraft som behövs för att med tiden ändra hastigheten i en viss punkt, t ex
att i hjärtklaffen erhålla de olika flödeshastigheter som uppträder under de olika delarna
av hjärtcykeln. Detta antagande är normalt uppfyllt i det beskrivna fallet.
1.7 Kontraktion och friktionsförluster
När en fluid strömmar genom en förträngning är arean hos vätskestrålen ej fullt lika stor
som förträngningen. Strömlinjerna närmar sig förträngningen under en viss vinkel i
förhållande till strömningens längdriktning, flödet kontraherar (se Figur 1.9).
Strömlinjerna kan inte direkt ändra sin riktning efter passagen in i hålet varför
kontraktionen fortsätter. Vätskestrålen når därför sin minsta tvärsnittsyta nedströms det
läge där hålet är som trängst.
Figur 1.9 Kontraktion hos flödet genom en förträngning.
11
Läget för den minimala ytan hos strålen kallas för vena contrakta. Om man med ekvation
1.21 försöker att beräkna arean hos hålet kommer man i stället att få arean hos vena
contrakta. Förhållandet mellan arean för vena contrakta, Ac, och verkliga hålarean, A0,
kan beräknas med hjälp av kontraktionskoefficienten
Cc =
Ac
A0
(1.23)
Kontraktionskoefficienten finns empiriskt framtagen för olika geometrier och
strömningsfall.
I Bernoullis ekvation har vi försummat inverkan av friktion. Även om strömningen
huvudsakligen är förlustfri påverkas den dock i varierande grad av friktion.
Flödeshastigheten i vena contrakta blir då inte fullt så stor som den Bernoullis ekvation
förutsäger. Man kan då ta hänsyn till friktionen genom att använda en
hastighetskoefficient
Cv =
vf
(1.24)
v fl
där vf är den reella flödeshastigheten och vfl den hastighet som t ex ekvation 1.20
förutsäger. Den samlade effekten av kontraktion och friktion kan uttryckas med hjälp av
en hålkoefficient
Cd = Cc Cv =
Qf
Q fl
(1.25)
där Qf är det reella flödet och Qfl är flödet beräknat som produkten av flödeshastigheten
erhållen från Bernoullis ekvation (t ex ekvation 1.20) och hålets verkliga storlek.
12
1.8 Impulssatsen
Studera en kontrollvolym enligt Figur 1.10 där ett medium strömmar ut och in endast
genom ett inlopp 1 och ett utlopp 2.
Figur 1.10 En kontrollvolym med ett inlopp och ett utlopp. v1 och v2 är flödeshastigheterna vid inlopp
respektive utlopp. F är den totala kraften på kontrollvolymen.
Från Newtons andra lag kan man då visa att kontrollvolymen utsätts för en kraft Fx i
riktningen x som ges av
Fx =
dm
dI dm2
+
v2 x − 1 v1x
dt
dt
dt
(1.26)
vilket utgör impulssatsen för den aktuella geometrin. dm/dt är massflöde och v
flödeshastighet. Om vi förutsätter stationär strömning (impulsförändringen dI/dt = 0) och
kontinuitet (dm1/dt = dm2/dt = dm/dt) erhålles från ekvation 1.26
Fx =
dm
(v2 x − v1x )
dt
(1.27)
Vi kan t ex använda impulssatsen för att beräkna kraften på aortabågen orsakad av att
flödet avlänkas på grund av aortabågens krökning. Vi studerar då en kontrollvolym enligt
Figur 1.11. Om medeltrycket i aorta är p och dess tvärsnittsarea är A utsätts
kontrollvolymen vid in- och utflödena för två krafter på vardera p⋅A. Om Fx är
reaktionskraften på aorta ger impulssatsen
pA + pA + Fx =
dm
∆v = ρ Q(−2v)
dt
(1.28)
där ρ är blodets densitet, Q volymsflödet och v flödeshastigheten i aorta.
13
Reaktionskraften fås därför som
Fx = −2( pA + ρ Qv)
(1.29)
Figur 1.11 Schematisk bild för beräkning av kraften på aortabågen på grund av att flödet böjer av.
1.9 Navier-Stokes ekvationer
Antag att vi har ett koordinatsystem med axlarna x1, x2 och x3. Från Newtons andra lag
kan då de fullständiga rörelseekvationerna för inkompressibel strömning ställas upp. I
riktningen i gäller att
⎛ δ vi
⎛ δ 2 vi δ 2 vi δ 2 vi ⎞
δ vi
δ vi
δ vi ⎞
δ pi
ρ
+ ρ ⎜ v1
+ v2
+v
+η ⎜ 2 + 2 + 2 ⎟
⎟=F −
δt
δ x2 3 δ x3 ⎠ i δ xi
⎝ δ x1
⎝ δ x1 δ x2 δ x3 ⎠
(1.30)
vilket är Navier-Stokes ekvation. Ekvationen utgör en balans av krafter av olika slag.
Term för term räknat per volymsenhet kan ekvationen beskrivas som
transient tröghet + konvektiv tröghet = masskraft + tryckkraft + viskös kraft
Den transienta tröghetstermen accelererar fluiden i en punkt fix i rummet på grund av att
flödet varierar med tiden. Denna term är noll vid stationär strömning.
Den konvektiva tröghetstermen accelererar fluiden längs en strömlinje, på grund av att t
ex hastigheten ändrar sig vid ändrad tvärsnittsyta i systemet. Från denna senare term
tillsammans med mass- och tryckkrafttermerna kan man härleda Bernoullis ekvation.
Masskrafterna är yttre krafter på systemet, vanligen tyngdkraften.
14
Tryckkrafttermen svarar mot den tryckgradient per längdenhet som utgör en drivkraft för
flödet.
Den viskösa termen svarar mot tryckfall orsakad av friktionsförluster i vätskan. Ur
tryckgradienttermen och den viskösa termen kan Poiseuilles ekvation härledas.
15
1.10
Problemsamling
1. En viskometer består av en stationär inre cylinder (diameter 40 mm) och en yttre
roterande cylinder (diameter 42 mm). Cylindrarnas höjd är 80 mm. Mätning sker
med blod av normal hematokrit (40%) och vid 37 oC. Cylindern roterar med
vinkelhastigheten 60 r/min. Beräkna:
a) skjuvhastigheten hos blodet
b) vilket moment som krävs för att rotera den yttre cylindern.
2. Vid strömning hos blod genom ett rör är blodkroppskoncentrationen störst i
centrum av röret och minst närmast väggen. En orsak till detta kan vara att det
finns en nettokraft på blodkropparna (erytrocyterna) som vill förflytta dem mot
centrum. Denna kraft kan förklaras med Bernoullis ekvation och av det faktum att
strömningshastigheten är något större på blodkroppsytan närmast centrum jämfört
med den närmast väggen. Beräkna den kraft riktad mot centrum som påverkar en
blodkropp belägen precis vid blodkärlväggen på grund av detta fenomen.
Strömningen i röret antas vara laminär. Kärlradie = 0.5 mm, längd 12 mm,
tryckfall 5 mmHg, blodets viskositet 3 . 10-3 Ns/m2, blodkroppsdiameter 8 µm,
blodkroppstjocklek 2 µm.
3. I ett litet blodkärl (diameter 1 mm, längd 20 mm) strömmar i ett perifert område
enbart plasma och i ett kärnområde en blandning av plasma och blodkroppar (se
bild nedan).
Hastighetsprofilen i kärlet är parabolisk. Kärlet tillförs ett flöde på 15.7 mm3/s av
blod med en hematokrit av 45%. Detta flöde fördelar sig på 12 mm3/s i
kärnområdet och 3.7 mm3/s i det perifera området. Volymen för kärnområdet i
16
kärlet är 10 mm3 och för det perifera området 5.7 mm3. Beräkna hematokriten i
kärnflödesområdet och i kärlet som helhet.
4. Diametrar och flödeshastigheter för blodkärl hos människa visas i tabellen nedan.
Struktur
Diameter (mm)
Flödeshastighet (m/s)
Aorta ascendens
20-30
0.61
Aorta descendens
16-20
0.31
Större artär
2-6
0.2-0.51
Större ven
Vena cava
5-10
20
0.1-0.22
0.1-0.22
1: Maximalt värde under systole
2: Medelvärde över hela hjärtcykeln
Beräkna Reynoldstal och bedöm om flödet är laminärt eller turbulent i de olika
kärlen.
5. Vi studerar ett resistanskärl med längden 10 mm och med en tryckdifferens över
kärlet på 25 mmHg. Vad blir relativa ändringen i flödeshastighet när diametern
hos kärlet ändras från 0.4 mm till 0.5 mm?
6. Du skall konstruera en perfusionsutrustning (en anordning som ger ett konstant
flöde) till ett tryckmätningssystem. Du har valt en lösning där ett vattenflöde
erhålles från ett tryckkärl med det konstanta övertrycket 100 kPa via ett tunt
stålrör (innerdiameter 0.1 mm, längd 0.6 m). Beräkna utflödet från stålröret om
vattnets temperatur är 20 °C. Hur ändras flödet om vattentemperaturen ökas till 37
°C?
7. En kateter för tryckmätning perfunderas med ett flöde på 1 ml/min (vatten,
temperatur 20 °C) för att förhindra tilltäppning. Katetern har en innerdiameter på
0.7 mm och en längd av 1.5 m. Beräkna tryckfallet i katetern på grund av flödet.
8. En patient har en förträngning i aortaklaffen, en s k aortastenos. Med
ultraljudsdoppler uppmätes flödeshastigheten under hjärtats arbetsfas (systole) i
17
den förträngda hjärtklaffen till 3.8 m/s. Flödet genom klaffen ut till aorta under
systole uppskattades genom cardiac-outputmätning till 300 ml/s. Uppskatta
tryckfallet över hjärtklaffen och gör en bestämning av klaffhålets area. Efter
undersökning opererades patienten varvid en konstgjord klaff sattes in. Arean hos
den förträngda hjärtklaffen kunde då bestämmas till 91 mm2. Beräkna från detta
och de tidigare uppmätta värdena kontraktionskoefficienten Cc för flödet genom
klaffhålet.
9. Bestäm sambandet mellan tryckfallet över en förträngd aortaklaff och
flödeshastigheten genom aortaklaffhålet. Uttrycket skall bestämmas för det fall att
flödeshastigheten i vänster kammare inte kan försummas jämfört med
flödeshastigheten i klaffen. Flödeshastigheten i kammaren skall vara eliminerad i
det presenterade uttrycket.
10. En venturimeter används för att mäta volymsflödet för en gas från tryckmätning
före och i en förträngning i ett rör (se bilden). Ge ett uttryck för flödet Q genom
venturimetern samt tryck och areor vid mätpunkterna 1 och 2.
11. I aortabågen böjs flödet av 180o. Beräkna reaktionskraften på aortabågen på
grund av denna avböjning. Vi gör förenklingarna att vi antar att aortaflödet är
stationärt, att vi kan använda medeltrycket 100 mmHg i aorta samt att aorta har en
konstant tvärsnittyta på 500 mm2. Flödeshastigheten i aorta antas vara 0.6 m/s och
blodets densitet 1060 kg/m3.
18
1.11
Svar till problemen
1. a) Skjuvhastigheten = 130 s-1
b) Momentet = 84 µNm
2. Kraften = 2.3⋅10-12 N
3. Hematokrit i kärnområdet = 59%
Total hematokrit = 38%
4. Reynoldstalet Aorta ascendens = 5300
Aorta descendens = 1900
Större artär = 700
Större ven = 400
Vena cava = 1060
5. Relativ ändring i flödeshastighet = 2.4
6. T = 20 °C: Utflöde = 4.1⋅10-10 m3/s = 0.03 ml/min
T = 37 °C: Utflöde = 5.9⋅10-10 m3/s
7. Tryckfallet = 4.2 kPa
8. Tryckfallet = 7.6 kPa
Cc = 0.87
⎛ ⎛ A ⎞2 ⎞
9. 2( p1 − p2 ) = ρ ⎜1 − ⎜ 2 ⎟ ⎟ v22 (med förklaringar enligt avsnitt 1.6)
⎜ ⎝ A1 ⎠ ⎟
⎝
⎠
10. Q = A1
2( p1 − p2 )
⎛ ⎛ A ⎞2 ⎞
ρ ⎜ ⎜ 1 ⎟ − 1⎟
⎜ ⎝ A2 ⎠
⎟
⎝
⎠
11. Reaktionskraften = 13.4 N
19