Transcript Trigonometri_Några sidor.pdf

Trigonometri
1. Sinus och cosinus för alla vinklar…………………………………………………..2
2. Tangensfunktionen…………………………………………………………………….9
3. Trigonometriska kurvor……………………………………………………………..11
4. Tre viktiga satser……………………………………………………………………..21
5. Samband mellan trigonometriska funktioner………………………………...…31
6. Trigonometriska ekvationer………………………………………………….…….38
180 o
..................................................................................................45
7.1 radian=
π
8. Derivatan av f (x) = sin x……………………………………………………………48
Fourieranalys (Historia)………………………………………………………………..55
Facit……………………………………………………………………………….………57
Bilder: Akvareller av Ramon Cavaller; Geometriska konstruktioner och diagram av Nils-Göran
Mattsson
© Författarna och Bokförlaget Borken, 2011
Trigonometri - 1
1 Sinus och cosinus för alla vinklar
Teori ▪ Enhetscirkeln
Med hjälp av rätvinkliga trianglar kan vi bara ange sinus-, cosinus- och
tangensvärden för vinklar mellan 0° och 90°. Men vad är sin 123 eller
tan( −14 ) ? Vi ska nu utvidga definitionen till att omfatta alla vinklar,
något som ska visa sig vara mycket användbart. För att göra det måste vi
lämna den rätvinkliga triangeln och i stället ta hjälp av enhetscirkeln.
Enhetscirkeln har sin medelpunkt i origo och radien en längdenhet.
Man utgår från vinklar som bildas av positiva x-axeln och en rörlig radie.
Vinkeln ökar när den rörliga radien vrids moturs (vridning i positiv led)
och minskar när den vrids medurs (vridning i negativ led). En vinkel
som är större än 360° motsvaras av mer än ett varv moturs. En vinkel
som är mindre än 0° motsvarar en vridning medurs.
Enhetscirkeln
har centrum i
origo och
radien en
längdenhet.
Trigonometri - 2
Teori ▪ Sinussatsen
Vi tecknar arean av triangeln ABC på de tre möjliga sätten med hjälp av
b ⋅ c ⋅ sin A a ⋅ c ⋅ sin B a ⋅ b ⋅ sin C
areasatsen: = =
2
2
2
Multiplikation med 2 ger:
b ⋅ c ⋅ sin A = a ⋅ c ⋅ sin B = a ⋅ b ⋅ sin C
Division med abc ger sinussatsen:
sin A sinB sinC
= =
a
b
c
Sinussatsen uttryckt i ord:
Sidorna i en triangel är proportionella mot sinus för motstående
vinklar.
En triangel är bestämd om vi vet
• två vinklar och en sida [=ASA; angle, side, angle; i denna
ordning om man går runt triangeln]
• två sidor och en motstående vinkel. [ASS]
sin A sin B
=
. Känner vi tre av
a
b
de fyra storheterna A, B, a och b, så kan den fjärde beräknas.
Detta inser vi när vi tittar på uttrycket
Trigonometri 24
I det första fallet fås direkt den tredje vinkeln ur triangelns
vinkelsumma. Sedan används sinussatsen för att bestämma de två
återstående sidorna.
I det andra fallet fås två möjliga trianglar om den obekanta vinkeln B
står mot den större sidan, det vill säga om b > a. Båda vinklarna fås vid
ekvationslösningen.
Om den obekanta vinkeln B står mot den mindre sidan fås även då två
vinklar vid ekvationslösningen, men den trubbiga vinkeln måste
förkastas (varför?). Det blir alltså bara en möjlig triangel.
Nedanstående illustrativa applikation finns på borken.dinStudio.se
Genom att laborera med variabelradien = S 2 = a kan man inse det
andra fallets möjligheter.
Trigonometri 25
G4.6 Hur långa är de återstående sidorna i nedanstående trianglar?
G4.7
Beräkna arean av följande trianglar:
G4.8
Beräkna arean av en parallellogram, vars sidor är 26 m och
67 m och en av vinklarna 49°.
G4.9
I triangeln ABC är sidan AC = 35 cm och sidan BC = 25 cm.
Vinkeln B = 63°. Hur stor är vinkeln A?
G4.10 Två platser A och B ligger på en strand på ett avstånd av
1080 m. En oljetanker befinner sig i en punkt C ute till havs.
Man mäter vinklarna ABC och BAC. Vinkeln ABC = 43,5°
och vinkeln BAC = 109,3°. Beräkna avståndet till oljetankern
från platserna A respektive B.
Trigonometri 26
Teori ▪ Cosinussatsen
Om vi känner de tre sidorna i en triangel är triangeln entydigt bestämd.
Vi har hittills inte haft något verktyg för att bestämma vinklarna i
triangeln. Men med cosinussatsen kan vi lösa det problemet.
Vi använder Pythagoras sats på triangeln BCP:
a2 = b2 ⋅ sin2A + (c − b⋅cosA)2 = b2 ⋅sin2A + c2 + b2cos2A − 2bc ⋅cosA =
= b2⋅(sin2A + cos2A) + c2 − 2bc⋅cos A = b2 + c2 − 2bc⋅cos A
Alltså: a 2 = b 2 + c2 − 2bc⋅cos A
Trigonometri 27
Om vinkeln A är trubbig blir AP = b ⋅ cos(180° − A) = − b ⋅ cosA.
Avståndet BP blir då c + (− b ⋅ cosA) = c − b ⋅ cosA. Ovanstående
härledning gäller alltså både om vinkeln A är spetsig eller trubbig.
Kvadraten på en sida i en triangel är lika med summan av de
övriga två sidornas kvadrater minus dubbla produkten av dessa
sidor och cosinus för mellanliggande vinkel.
När vi har uppgiften att bestämma alla sidor och vinklar i en triangel
använder vi cosinussatsen när vi
• känner två sidor och mellanliggande vinkel [SAS]
• känner alla tre sidorna [SSS]
I det senare fallet bör vi börja med att bestämma den vinkel som står
mot den största sidan. Då får vi veta om den är spetsig eller trubbig. De
övriga sidorna kan beräknas med sinussatsen. Eftersom de måste vara
spetsiga får vi dem direkt.
G4.11 Beräkna den återstående sidan i triangeln ABC.
Trigonometri 28