Transcript Övningspapper - Iceclimbers.net

Kapiteltest – Geometri
1.
Bestäm vinklarna
och
i den likbenta triangeln.
2.
Emelie påstår att yttervinkeln till
3.
Bestäm hur stor vinkeln markerad med
4.
Bestäm hur stor vinkeln markerad med
5.
Bestäm hur lång sträckan
6.
En 4-hörning har vinkelsumman 360° och en 5-hörning har vinkelsumman 540°.
i triangeln
är
. Varför är detta orimligt?
är.
är.
är i rektangeln här bredvid.
Hur stor är vinkelsumman i en 9-hörning?
Hur stor är vinkelsumman i en -hörning?
7.
Bestäm sträckan
i kvadraten här bredvid, kvadratens sida är 5,00
cm. Att mäta i figuren godtas ej som metod.
8.
Beräkna arean av de två trianglarna.
9.
En kvadrat har sidan 3,5 cm och en annan kvadrat
har sidan 11 cm. Är dessa kvadrater likformiga?
10.
Beräkna sidan
11.
Är rektanglarna likformiga?
12.
Beräkna sträckan markerad med
13.
För att kunna räkna ut en stor björks höjd lägger sig Konrad på marken och låter
om
om linjen inuti triangeln är en parallelltransversal.
blicken bilda en rät linje via toppen på en liten björk till toppen på den stora björken.
Avståndet mellan Konrad och den lilla björken är 3,5 meter. Avståndet mellan den lilla
och den stora björken är 38 meter. Hur hög är den stora björken om Konrad mäter den
lilla björkens höjd till 1,9 meter?
Lösningsförslag
1. Eftersom triangeln är likbent är dess basvinklar lika stora. Triangelns vinkelsumma ger då
att
. Enligt yttervinkelsatsen är vinkeln
stora som de två inre motstående vinklarna.
Svar:
och
.
.
2. Yttervinkeln kan inte vara
en vinkel som är
lika
ty då blir dess sidovinkel
, och en triangel kan inte ha
. Yttervinkelsatsen ger också att de två inre motstående vinklarna blir
tillsammans som en följd av detta. Det går inte att binda ihop en triangel med
dessa vinklar. Två ben skulle då bli parallella till följd av detta och det är inte heller något
som stämmer överens med definitionen av en triangel.
3. Enligt yttervinkelsatsen är
Svar: Vinkeln markerad med
4.
Vinkeln
som är
.
är en randvinkel och är således hälften så stor som medelpunktsvinkeln
. Vinkeln
Randvinkeln som är markerad med rött är hälften så stor
som medelpunktsvinkeln, den är alltså
. Då triangeln är
likbent, benen är radier i en cirkel, är basvinklarna lika stora.
Det ger att vinkeln markerad med
Vinkeln
och vinkeln som är
.
är båda randvinklar från
samma cirkelsegment och är således lika stora.
5. De röda vinklarna markerade är vertikalvinklar
och är således lika stora. De gröna vinklarna är
alternativvinklar och är således också lika stora,
detsamma gäller för de blå vinklarna. Vi kan då
säga att de två trianglarna som är utmärkta med vinklar är likformiga. Sidan
har en
motsvarande sida som är 11,1 cm. Vi har dock ingen motsvarande sida till den sida som
är 3,5 cm, detta är dock en sida vi kan ta reda på genom att först beräkna den turkosa
diagonalen och sedan dra bort 3,5 cm. Den turkosa diagonalen, som vi kan kalla , är en
hypotenusa i en triangel med kateterna 8,3 och 11,1 cm. Pythagoras sats ger då
√
,(
.
Likformighet ger då att
Svar: Sidan
är 3,75 cm lång.
6. För varje extra hörn man lägger till så ökar vinkelsumman med
. Antalet trianglar
som behövs för att bygga upp en månghörning är två trianglar mindre än antalet hörn.
Vinkelsumman är alltså
för varje triangel som behövs, två mindre än antalet hörn.
Antal hörn
Vinkelsumma
Skillnad
3
4
180
5
180
6
180
7
180
8
180
9
180
(
7. Om man delar in figuren i ett antal rätvinkliga
trianglar så kan vi använda Pythagoras sats för att
beräkna en del sidlängder. Tittar vi på de två
trianglarna till vänster så kan vi ställa upp följande
ekvationssystem.
{
⇨ {
(
⇨ {
Vi kan nu kombinera ekvationerna
⇨
√
,(
⇨
Till sist kan vi använda Pythagoras sats en gång till på den sista triangeln där
√
hypotenusa. Då följer
,(
Svar: Sidan markerad med
är 3,65 cm lång.
8. De två trianglarna är likformiga då de har tre
överstämmande vinklar. De röda vinklarna är
vertikalvinklar och således lika stora, de gröna vinklarna
är alternativvinklar och är de också lika stora. Om vi
kallar en sida för
så blir den andra sidan
Likformighet ger då
(
Nu kan vi beräkna arean för de två trianglarna
Svar: Arean av de två trianglarna är 158,9 m².
9. Två kvadrater är alltid likformiga.
.
är
10. Pythagoras sats ger att (
√
,(
Likformighet ger sedan att
Svar: Sidan
är 28,0 cm lång.
11. Om rektanglarna skulle vara likformiga så skulle förhållandet mellan de två
rektanglarnas kortsidor vara samma som förhållandet mellan figurernas långsidor.
Kortsidor
Långsidor
Svar: De två rektanglarna är inte likformiga.
12.
Med hjälp av transversalsatsen kan vi ställa upp förhållandet
Svar: Sidan
är 748 m lång.
Med hjälp av topptriangelsatsen kan vi ställa upp förhållandet
Svar: Sidan
är 8 cm lång.
13. Gör vi en skiss över situationen så kan vi
inse att vi skulle kunna använda
toppptriangelsatsen för att bestämma den
stora björkens höjd, som vi kan kalla för .
Den lilla björken blir som en parallelltransversal i den stora triangeln som bildas. Vi kan
då ställa upp följande förhållande.
Svar: Den stora björken är 22,8 m hög.