Transcript Ellips 3

Ellips 3 • Geometri • Lösningar till uppgifterna
• sid. 23
301
302
a) Åtminstone en vinkel är större än 180D .
Vinkelsumman i en fyrhörning är ( 4 − 2 ) ⋅ 180D = 360D .
a) 90D + 190D = 280D < 360D , dvs. fyrhörningen existerar.
Vi skissar en figur vars diagonaler är ritad som streckade linjer.
konkav femhörning
b) Alla vinklar är mindre än 180D .
konvex sexhörning
b) 155D + 205D = 360D , dvs. det existerar inte en fyrhörning som
skulle ha vinklarna 155D och 205D .
Svar:
a) ja
b) nej
Ellips 3 • Geometri • Lösningar till uppgifterna • sid. 24
b)
303
a)
β
α = 110D
| vertikalvinklar
δ = 180D − α
sidovinklar
γ
β = 180D − 93D = 87D
sidovinkel
γ = 43D
alternatvinkel och l1 & l2
α + β + γ = 180D
vinkelsumman i en triangel
δ = 180D − 110D
α =180D − β − γ
δ = 70D
α = 180D − 87D − 43D
γ = 30D
alternatvinklar och AB & CD
β = 180D − α − γ
vinkelsumman i en triangel
α = 50D
β = 180D − 110D − 30D
β = 40D
ε = 180D − 90D − 30D vinkelsumman i en triangel
ε = 60D
Svar:
a) α = 110D , β = 40D , γ = 30D , δ = 70D och ε = 60D
b) α = 50D
Ellips 3 • Geometri • Lösningar till uppgifterna • sid. 25
304
305
CA & DE
γ = 180D − 90D − 30D
rätvinklig triangel EBD
γ = 60D
AJ + IH = BC = 4,2 cm
JI + HG + FE + DC = AB = 12,3 cm
Å andra sidan får vi
γ = 60D
likbelägna vinklar och CA & DE
β = 70D 30'
alternatvinkel och CA & DE
⎛ 30 ⎞
= 70 + ⎜ ⎟
⎝ 60 ⎠
D
= 70,5
FG = ED = 1,4 cm
Omkretsen av månghörningen ABCDEFGHIJ är
D
p = 2 ⋅ 12,3 cm + 2 ⋅ 4,2 cm + 2 ⋅ 1,4 cm = 35,8 cm
D
α = 180D − β − γ
rak vinkel, dvs. α + β + γ =180D
= 180D − 70,5D − 60D
= 49,5D
Svar:
α = 49,5D , β = 70,5D , γ = 60D
Svar:
35,8 cm
Ellips 3 • Geometri • Lösningar till uppgifterna • sid. 26
306
307
T.ex.
a) 745 600 000 mm =
a)
745 600 000
km=745,6 km
1 000 000
6,37 ⋅ 106
km = 6,37 ⋅ 106−3 km = 6 370 km
1 000
c) 0,0146 m = 0,0146 ⋅ 100 cm = 1, 46 cm
d) 3 050 ⋅ 10−4 km = 3 050 ⋅ 10−4 ⋅ 1 000 m = 3 050 ⋅ 10−1 m = 305 m
1 234 000 000
e) 1 234 000 000 mm 2 =
a = 1234 ⋅ 10 −2 a = 12,34 a
8
10
b) 6,37 ⋅ 106 m =
b)
c)
273,8 ⋅ 107
ha = 273,8 ⋅ 107−8 ha = 27,38 ha
f) 273,8 ⋅ 10 cm =
8
10
2
g) 0,000 0567 km = 0,000 0567 ⋅ 106 m 2 = 56,7 m 2
7
2
h) 184,6 ⋅ 10−4 m2 = 184,6 ⋅ 10−4 ⋅ 104 cm 2 = 184,6 cm2
5 600
i) 5 600 ml = 5 600 ⋅ 10−3 l =
l = 5,6 l
1 000
j) 1 l = 1 dm3
1 000 3
k) 1 000 l = 1 000 dm 3 =
m = 1 m3
1 000
600 000
l) 60 000 cl = 600 000 ml = 600 000 cm3 =
m3 = 0,6 m3
1 000 000
3 345 ⋅ 108
km3 = 0,3345 km3
m) 3 345 ⋅ 10 dl = 3 345 ⋅ 10 dm =
12
10
8
3
8
−9
n) 12,46 ⋅ 10 mm = 12,46 ⋅ 10 ⋅ 10 m3 = 1,246 m3
0) 1079,6 ⋅ 10−7 m3 = 1079,6 ⋅ 10−7 ⋅ 106 cm3 = 107,96 ml
9
8
3
Ellips 3 • Geometri • Lösningar till uppgifterna • sid. 27
308
310
a) Antalet diagonaler är
b) Vinkelsumman är ( 8 − 2 ) ⋅ 180 = 1080
D
Svar:
a) 20
Anta att n ( n ≥ 3) är antalet sidor i månghörningen.
8 ⋅ ( 8 − 3)
= 20 .
2
Vi får ekvationen
D
n ( n − 3)
= 65
2
n ( n − 3) = 130
b) 1080D
⋅2
n 2 − 3n − 130 = 0
309
a) Vi betecknar antalet sidor med bokstaven n.
2
3 ± ( −3) − 4 ⋅ 1 ⋅ ( −130 ) 3 ± 23
n=
=
2 ⋅1
2
Vi får ekvationen
( n − 2 ) ⋅ 180D = 3600D
:180D
n = −10 eller n = 13
n − 2 = 20
n = 22
duger inte
b) Vi betecknar antalet sidor med bokstaven n.
Vi får ekvationen
( n − 2 ) ⋅ 180D = 1890D
:180D
n − 2 = 10,5
Svar:
n = 12,5 ∉ N
a) 22 sidor
b) existerar inte
Svar:
duger
Månghörningen har 13 sidor.
n≥3
Ellips 3 • Geometri • Lösningar till uppgifterna • sid. 28
311
312
Anta att n ( n ≥ 3) är antalet sidor i månghörningen.
Vi får olikheten
n ( n − 3)
≤9
⋅ 2(> 0)
2
n 2 − 3n ≤ 18
Anta att n ( n ≥ 3) är antalet sidor i månghörningen.
Vi får olikheten
n ( n − 3)
≥ 50
⋅ 2 ( > 0)
2
n ( n − 3) ≥ 100
n 2 − 3n − 100 ≥ 0
n 2 − 3n − 18 ≤ 0
Nollställen:
Nollställen:
n − 3n − 18 = 0
n 2 − 3n − 100 = 0
2
3 ± 9 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( −18 ) 3 ± 9
=
2
2
n = −3 eller n = 6
3 ± 9 + 400 3 ± 409
=
2
2
3 − 409
3 + 409
n=
= −8,61... eller n =
= 11,61...
2
2
n ≈ −8,6
eller n ≈ 11,6
n=
n=
Graf:
Graf :
Olikheten är uppfylld om
Olikheten är uppfylld om −3 ≤ n ≤ 6 ,
Eftersom n ≥ 3 , duger värdena 3, 4, 5 och 6 .
Svar: Antalet sidor i månghörningen är 3, 4, 5 eller 6.
3 − 409
3 + 409
≈ −8,6 eller n ≥
≈ 11,6
2
2
Eftersom n ≥ 3 , duger värdena n = 12, 13, 14, ... .
Svar: Antalet sidor i månghörningen är åtminstone 12.
n≤
Ellips 3 • Geometri • Lösningar till uppgifterna • sid. 29
313
314
Anta att n ( n ≥ 3) är antalet sidor i månghörningen.
Vi får olikheten
Anta att n ( n ≥ 3) är antalet sidor i månghörningen.
Vinkelsumman i en tolvhörning är
(12 − 2 ) ⋅ 180D
( n − 2 ) ⋅ 180D
n ( n − 3)
<n
2
n ( n − 3 ) < 2n
⋅ 2 ( > 0)
Vinkelsumman i den nya månghörningen är
0,7 ⋅ 10 ⋅ 180D
100% − 30% = 70% = 0,7
n 2 − 5n < 0
Nollställen:
= 10 ⋅ 180D
Graf:
n − 5n = 0
n ( n − 5) = 0
2
n = 0 eller n = 5
Olikheten är uppfylld om 0 < n < 5 ,
Eftersom n ≥ 3 , duger värdena n = 3 och n = 4 .
Svar: Månghörningen har 3 eller 4 hörn.
Å andra sidan är vinkelsumman i den nya månghörningen
( n − 2 ) ⋅ 180D , vilket ger ekvationen
( n − 2 ) ⋅ 180D = 0,7 ⋅ 10 ⋅ 180D
:180D
n−2=7
n=9
Antalet diagonaler i niohörningen är
9 ⋅ ( 9 − 3) 9 ⋅ 6
=
= 27
2
2
n ( n − 3)
2
Svar: Månghörningen har 27 diagonaler.
Ellips 3 • Geometri • Lösningar till uppgifterna • sid. 30
315
316
a) Basvinklarna i en likbent triangel är
lika stora vilket ger
2 β + 90D = 180D
2β = 90D
β = 45D
α är sidovinkel till basvinkeln vilket
ger α = 180D − 45D = 135D
α = 40D
reflexionsvinkeln är samma
som infallsvinkeln
β = 180D − 40D − 120D = 20D
vinkelsumman i en triangel
γ = 180D − 110D − 20D = 50D
vinkelsumman i en triangel
b) β = 40D är basvinkel i en likbent triangel.
Vinkelsumman i en triangel är 180D , vilket ger
γ = 180D − 2 ⋅ 40D = 100D
Sidovinkel:
δ = 180D − γ
= 180D − 100D = 80D
Ljusstrålen vrider sig totalt vinkeln
2α + 2β + 2γ
= 2 ⋅ 40D + 2 ⋅ 20D + 2 ⋅ 50D
= 220D > 180D
Den likbenta triangeln DBC
ger
α = 180D − 2 ⋅ δ
= 180D − 2 ⋅ 80D = 20D
vilket ger att strålarna skär varandra.
Skärningsvinkeln är 220D − 180D = 40D
Svar: Ja, strålarna skär varandra i vinkeln 40D .
Svar:
a) α = 135D b) α = 20D
Ellips 3 • Geometri • Lösningar till uppgifterna • sid. 31
317
318
Triangelns area är A =
a)
2
9⋅4
= 18
2
AB = ( ± ) 441
2
AB = 441
2
AB = 21
Alltså är längden av sidan AB 21.
a=6
h=4
)ABC + 46, 4D + 90D = 180D
6⋅4
= 12
2
)ABC = 180D − 46,4D − 90D
)ABC = 43,6D
a=4
h=3
A=
Svar:
AB + 202 = 292
a =6+3=9
h=4
A=
c)
Enligt Pythagoras sats får vi
AB = 292 − 202
A=
b)
a⋅h
2
Svar:
4⋅3
=6
2
a) 18
b) 12
c) 6
a) AB = 21 och )ABC = 43,6D
Ellips 3 • Geometri • Lösningar till uppgifterna • sid. 32
319
320
a) ED ⊥ DC , vilket ger
)D = 90D
a)
Triangeln ABF ger
α = 180D − 80D − 35D = 65D
Eftersom AB & ED , så är β = 35D
eftersom den är alternatvinkel till vinkeln ABE.
Triangeln ECD ger
γ = 180D − 90D − β = 90D − 35D = 55D
Anta att triangeln höjd är h. Enligt Pythagoras sats får vi
b) AB & DC , vilket ger
)BDC = 38D eftersom den är
alternatvinkel till vinkeln
)ABD
Triangeln DEC ger
β = 180D − 42D − 38D = 100D
Sidovinkeln γ = 180D − β = 180D − 100D = 80D
Triangeln EBC är likbent vilket ger
α = 180D − 2 ⋅ γ = 180 − 2 ⋅ 80D = 20D
Svar:
a) α = 65D , β = 35D och γ = 55D b) α = 20D
h 2 + 52 = 132
h 2 = 144
h = ( ± ) 144
h = 12
Triangelns area är
a⋅h
A=
2
10 ⋅ 2
=
2
= 60
Svar:
Arean är 60.
a = 10, h = 12
Ellips 3 • Geometri • Lösningar till uppgifterna • sid. 33
320
321
b) Anta att triangelns sida har
längden a.
Enligt Pythagoras sats är
2
⎛a⎞
2
2
⎜ ⎟ +3 =a
⎝2⎠
a2
+ 9 = a2
4
a2
4) 2
a −
=9
4
3a 2
4
=9
⋅
4
3
2
a = 12
a = ( ±) 4 ⋅ 3
a=2 3
Triangelns area är
a⋅h
A=
2
2 3 ⋅3
=
2
=3 3
Svar:
a = 2 3, h = 3
Anta att triangelns bas är x. Då är höjden 2x.
Triangelns area är
a⋅h
A=
A = 50, a = x, h = 2 x
2
x ⋅ 2x
50 =
2
2
x = 50
x 2 = 25 ⋅ 2
x = ( ± )5 2
Alltså är 2 x = 10 2
Arean är 3 3 .
Svar:
Triangelns höjd är 10 2 .
Ellips 3 • Geometri • Lösningar till uppgifterna
• sid. 34
322
323
Vi väljer 0,5 cm som enhet.
Vi betecknar triangelns sidor med a, b och c, där c är den längsta
sidan.
Triangeln är rätvinklig om den uppfyller a 2 + b 2 = c 2 .
a) Det uppstår en triangel eftersom
3 + 11 = 14 > 12
3 + 12 = 15 > 11
11 + 12 = 23 > 3
a)
b) De uppstår inte en triangel eftersom
7 + 9 = 16 < 18
a=3
b=5
c=6
Summan av kvadraterna på de två kortare sidorna är
a 2 + b 2 = 32 + 52 = 9 + 25 = 34
Kvadraten på den längsta sidan är
c 2 = 62 = 36 ≠ 34
Eftersom a 2 + b 2 ≠ c 2 är triangeln inte rätvinklig,
c) Det uppstår inte en
triangel eftersom
b)
a=6
b =8
c = 10
3+12=15
a 2 + b 2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100
c 2 = 102 = 100
Svar:
a) ja
b) nej
c) nej
Eftersom a 2 + b 2 = c 2 , är triangeln rätvinklig.
Svar:
a) nej
b) ja
Ellips 3 • Geometri • Lösningar till uppgifterna
324
• sid. 35
325
Den minsta vinkeln är
den motstående
vinkeln till den
kortaste sidan.
BC = 15
omkrets = 50
Bisektrissatsen ger
Bisektrissatsen ger
20
x
=
10 − x 25
4
x
=
10 − x 5
5 x = 4 (10 − x )
5 x = 40 − 4 x
9 x = 40
40
4
x=
=4
9
9
b 2
=
c 3
2
b= c
3
Eftersom omkretsen är 50 får vi
4
5
Den andra delen är 10 − x = 10 − 4 = 5
9
9
Delarnas längder är 4
Svar:
4
⋅3
5c = 105
:5
c = 21
4
5
och 5 .
9
9
4
5
och 5
9
9
2
c + c + 15 = 50
3
2
c + c = 35
3
2c + 3c = 105
2
2
b = c = ⋅ 21 = 14
3
3
Svar:
De andra sidornas längder är 14 och 21.
Ellips 3 • Geometri • Lösningar till uppgifterna • sid. 36
326
Svar:
Vi beräknar basen a.
327
Pythagoras sats ger i
triangeln ABC att
(
Den minsta vinkeln är )B . Den största vinkeln är )A .
Bisektrisen till vinkeln A delar sidan BC i förhållandet 7:5.
Alltså är
7
x
=
8− x 5
5x = 7 (8 − x )
2 ) + ( 2 ) = a2
2
2
5 x = 56 − 7 x
12 x = 56
a =4
a = ( ±)2
2
a=2
Enligt bisektrissatsen är
x
2
=
2
2−x
2x =
2(
2 − x)
56
12
14
x=
3
x=
Bisektrisen till vinkeln B delar sidan AD i förhållandet 7:x, dvs.
2x = 2 − 2x
7:
2x + 2x = 2
(2 +
2)x = 2
:( 2 + 2 )
2(2 − 2 )
=
=2− 2
x=
4−2
(2 + 2 )
2− 2 )
Delarna är 2 − 2 och 2 2 − 2
2
Den andra delen är
2 − (2 − 2 ) = 2 2 − 2
Svar:
14 7 7 ⋅ 3 3
=
=
=
3 14 14 2
3
3:2
Ellips 3 • Geometri • Lösningar till uppgifterna • sid. 37
328
329
a)
a) I triangeln ABC är höjden
CA ritad mot basen AB
BA ritad mot basen AC
DA ritad mot basen BC
Höjderna skär varandra i
punkten A.
b)
b) Eftersom triangeln ABC är likbent så är höjden AD också
mittpunktsnormal, dvs.
BD = DC = a
Pythagoras sats ger
( 2 a ) 2 = 52 + 5 2
4a 2 = 25 + 25
4a 2 = 50
50
a2 =
4
25
a2 =
2
Ellips 3 • Geometri • Lösningar till uppgifterna
• sid. 38
Pythagoras sats ger i triangeln ABD
x 2 + a 2 = 52
x2 +
a2 =
25
2
25
= 25
2
x 2 = 25 −
25
2
25
x =
2
2
x = ( ±)
5
2
De andra höjderna är BA = CA = 5
Svar:
330
a) Höjdernas skärningspunkt är den räta vinkels
spets.
5
b) Höjdernas längder är 5, 5 och
.
2
Enligt mediansatsen delas medianen i förhållandet
2:1 från spetsen räknat.
Vi betecknar medianens delar med 2 x och x .
Alltså är
2 x + x = 24
3x = 24
x =8
Den andra delen är 2 ⋅ 8 = 16
Delarnas längder är 8 och 16
Svar:
8 och 16
Ellips 3 • Geometri • Lösningar till uppgifterna
• sid. 39
b) Vi betecknar avståndet från spetsen i basvinkeln A till
tyngdpunkten M med bokstaven y. Enligt mediansatsen är
1
1
DM = CD = ⋅ 12 = 4
3
3
331
Den median som ritas från toppen av en likbent triangel är
samtidigt höjd i triangeln. Anta att medianernas skärningspunkt,
dvs. triangelns tyngdpunkten, är M och att medianen som ritas
från toppen är CD = x .
Enligt Pythagoras sats är
Pythagoras sats ger i triangeln ADM att
y 2 = 52 + 4 2
y 2 = 25 + 16
x 2 + 52 = 132
y 2 = 41
x 2 = 169 − 25
y = ( ± ) 41
x = 144
y = 6, 403... ≈ 6,4
2
x = ( ± )12
Svar:
a) Avståndet från spetsen i toppvinkeln C till tyngdpunkten M är
enligt mediansatsen
2
2
CM = CD = ⋅ 12 = 8
3
3
a) Tyngdpunktens avstånd till spetsen i toppvinkeln är
8.
b) Tyngdpunktens avstånd till spetsen i basvinkeln är
41 ≈ 6,4 .
Ellips 3 • Geometri • Lösningar till uppgifterna • sid. 40
332
333
I en liksidig triangel sammanfaller medianen och höjden.
Tyngdpunkten M delar medianen i förhållandet 2:1 från spetsen
räknat.
Vi betecknar medianernas delar med x och 2x. Enligt Pythagoras
sats är
2
a⎞
2
⎛
( 3x ) + ⎜ ⎟ = a 2
⎝2⎠
1
9x2 + a2 = a2
4
3
9x2 = a2
4
a2
2
x =
12
a
x = ( ±)
2 3
a
Alltså är 2 x =
3
Anta att )ACB = γ . I triangeln ABC är
α + γ + 90D = 180D
α + γ = 90D
γ = 90D − α
Eftersom DC ⊥ AC , så är
β + γ = 90D
β = 90D − γ
β = 90D − ( 90D − α )
β = 90D − 90D + α
β =α
Svar:
I en liksidig triangel är avståndet från triangelns
a
.
tyngdpunkt till triangelns hörn
3
Svar: β = α
γ = 90D − α
Ellips 3 • Geometri • Lösningar till uppgifterna • sid. 41
334
335
Anta att )A = α , )B = β och )C = γ .
Enligt uppgiftstexten är
I en likbent triangel är basvinklarna lika stora. Eftersom linjen l
som skär triangeln ABC är parallell med basen AB så är de
likbelägna vinklarna lika
stora, dvs. α = β .
⎧α = β + 30D
⎨
D
⎩α = γ − 15
Eftersom vinkelsumma i
en triangel är 180D får vi
Alltså är
2α + 40D = 180D
β + 30 = γ − 15
D
D
2α = 140D
β = γ − 45
D
α = 70D
β = 70D
Vinkelsumman i en triangel är 180D , vilket ger
α + β + γ = 180D
insättning av α och β
γ − 15D + γ − 45D + γ = 180D
3γ = 180 + 15 + 45
D
3γ = 240
γ = 80
D
D
D
= 180D − 70D
= 110D > α
D
α = 80 − 15 = 65
D
γ = 180D − β
:3
Alltså är
D
Vinkeln γ är sidovinkeln till vinkeln β vilket ger
D
Alltså är α den minsta vinkeln.
β = 80D − 45D = 35D
Svar:
Vinkeln A är 65D , vinkeln B är 35D
och vinkeln C är 80D .
Svar:
Den minsta vinkeln i fyrhörningen är 70D .
Ellips 3 • Geometri • Lösningar till uppgifterna • sid. 42
336
337
Vi ritar en likbent triangeln vars bas är a,
höjden h och benen har längden 3 2 .
Vi ritar en liksidig triangel och betecknar basen med bokstaven a
och höjden med bokstaven h.
Arean är
A=
a⋅h
2
Enligt Pythagoras sats är
Förhållandet mellan höjden och basen är 1:2 vilket ger
h 1
=
a 2
a = 2h
Enligt Pythagoras sats är
2
a 2h
h2 + h2 = ( 3 2 )
=
=h
2 2
2h 2 = 9 ⋅ 2
h2 = 9
h = ( ±) 9
h=3
Triangelns area är
a⋅h
A=
2
3
=
Svar:
6⋅3
=9
2
Triangelns area är 9.
h=3
a = 2h = 6
2
⎛a⎞
h + ⎜ ⎟ = a2
⎝2⎠
a2
2
h +
= a2
4
2
a2
h =a −
4
3
h2 = a 2
4
3 2
h = ( ±)
a
4
2
h=
2
a 3
2
A=2 3
Ellips 3 • Geometri • Lösningar till uppgifterna
Vi får ekvationen
• sid. 43
338
Vi betecknar
a 3
a⋅
2 =2 3
2
a2 = 8
a = ( ±) 8
a=2 2
Triangelns omkrets är
3a = 3 ⋅ 2 2 = 6 2
P = norra ändan
E = södra ändan
S = bastu
V = båt
Den mittersta strålen
träffar strandbastun
vilket ger
)PVS = )EVS .
Enligt mediansatsen är
Svar:
Triangelns omkrets är 6 2 .
x 25
=
y 18
18
y=
x<x
25
Alltså är sträckan VE kortare än sträckan VP.
Svar:
Malin ror till öns södra ända.
Ellips 3 • Geometri • Lösningar till uppgifterna • sid. 44
339
340
Anta att den inskrivna cirkelns radie är r och att den omskrivna
cirkelns radie är R.
a)
Medianen i en liksidig
triangeln är samtidigt
också
mittpunktsnormal och
bisektris vilket ger att
cirklarna har samma
medelpunkt. Enligt
mediansatsen är
r 1
=
R 2
R = 2r
Diametrarna är då do = 2 R = 4r och di = 2r .
Diametern do i den omskrivna cirkeln är större än diametern di i
den inskrivna cirkeln. I procent är skillnaden
d o − di
⋅ 100 %
di
4r − 2r
=
⋅ 100 %
2r
2r
= ⋅ 100 %
2r
= 100 %
Svar: 100 %
b) Går inte, eftersom alla vinklar är 60°
c) Går inte, eftersom alla vinklar skall vara mindre än 90°
d) Går, eftersom liksidig samtidigt är likbent
e)
f) Går inte, eftersom alla vinklar är 60°.
341
a) Alternativ 1
Vi delar in figuren i en rektangel och ett trapets.
A1 = Arektangel = 8 ⋅ 2 = 16
Vi beräknar trapetsets höjd ur den
streckade triangeln.
h 2 + 52 = 132
h 2 = 169 − 25
h 2 = 144
h = ( ± )12
Ellips 3 • Geometri • Lösningar till uppgifterna • sid. 45
A2 = Atrapets
a+b
⋅h
2
8+3
=
⋅ 12
2
A2 =
a = 8, b = 3, h = 12
Alternativ 2
Vi utökar figuren till en rektangel.
Kateterna i den streckade triangeln är 8 − 3 = 5 och h .
Enligt Pythagoras sats är
6
11 ⋅ 12
2
= 66
=
h 2 + 52 = 132
h 2 = 169 − 25
h 2 = 144
h = ( ± )12
Atotal = A1 + A2 = 16 + 66 = 82
Arean A av figuren är
A = Arektangel − Atriangel
5⋅ h
2
5 ⋅ 12
= 8 ⋅ 14 −
2
= 112 − 30
= 8 ⋅ (2 + h) −
= 82
Svar:
Figurens area är 82.
h = 12
Ellips 3 • Geometri • Lösningar till uppgifterna
• sid. 46
341
342
b) Eftersom AB & ED & FC , så består figuren av två likadana
trapetser. Eftersom trapetset är likbent får vi ekvationen
x + 5 + x = 21
2 x = 16
x =8
Enligt Pythagoras
sats är
x + h = 10
2
2
2
Anta att höjden är h. Trapetsets area är
x =8
a+b
⋅h
2
10 + 2
30 =
⋅h
2
12
30 = ⋅ h
2
6h = 30
h=5
82 + h 2 = 102
A1 =
h = 100 − 64
2
h 2 = 36
h = ( ± )6
Arean av trapetset är
a+b
A=
⋅h
2
5 + 21
=
⋅6
2
26
=
⋅ 6 = 78
2
a = 5, b = 21, h = 6
Figurens area är 156.
:6
Arean av det andra trapetset är
a+b
⋅h
2
A2 = 20 ⋅ 5 = 100
A2 =
Figurens area är 2 ⋅ 78 = 156
Svar:
A1 = 30, a = 10, b = 2
Svar:
100
a+b
= 20, h = 5
2
Ellips 3 • Geometri • Lösningar till uppgifterna • sid. 47
343
344
A = 76 m 2
Anta att den längre basen i trapetset är x. Eftersom trapetset är
likbent delar höjderna ritade mot basen densamma i delarna y, 10
och y.
h=8 m
bredd: x ( m )
bottnens bredd: x − 5 ( m )
Enligt Pythagoras sats är
y 2 + 82 = 102
Trapetsets area är
y 2 = 100 − 64
y 2 = 36
y = ( ± )6
A=
6 + 10 + 6 = 22 .
Alltså är
Trapetsets area är
a = 22, b = 10, h = 8
Trapetsets area är 128.
( 2 x − 5 ) ⋅ 4 = 76
2 x − 5 = 19
2 x = 24
x = 12, vilket ger
x−5=7
Svar:
Svar:
a = x − 5,
b = x, h = 8
x−5+ x 4
=
⋅8
2
= ( 2 x − 5) ⋅ 4
Alltså är den längre basen
a+b
A=
⋅h
2
22 + 10
=
⋅8
2
= 128
a+b
⋅h
2
Bottnens bredd är 7 m.
Ellips 3 • Geometri • Lösningar till uppgifterna • sid. 48
345
347
Fältets area är
1 500 + 2 000
A=
⋅ 800 m 2 = 1 400 000 m 2 = 140 ha
2
De motsatta vinklarna i en parallellogram är lika stora vilket ger
Mängden bekämpningsmedel är
140 ha ⋅ 0,15
l
= 21 l
ha
α = 35D och γ = β .
Vinkelsumman i en parallellogram (fyrhörning) är 360D , vilket ger
ekvationen
Kostnaden för besprutningen är
21 l ⋅ 50
Svar:
€
= 1 050 €
l
35D + β + α + γ = 360D
α = 35D , γ = β
35D + β + 35D + β = 360D
2β = 290D
Besprutningen kostar 1 050 € .
β = 145D
Alltså är α = 35D , β = 145D och γ = 145D .
346
Vi betecknar basen med 3x och höjden med x .
A = ah
a = 3 x, h = x, A = 147
3 x ⋅ x = 147
x 2 = 49
x = ( ± ) 49
x=7
Höjden är 7, vilket ger att basen är 3 ⋅ 7 = 21 .
Svar:
Basen är 21 och höjden är 7.
Svar:
Vinklarna i parallellogrammen är 35D , 145D och 145D .
Ellips 3 • Geometri • Lösningar till uppgifterna • sid. 49
348
349
Vi betecknar parallellogrammens höjd med x. Eftersom vinkeln
EAD är sidovinkel till vinkeln DAB är
α = 180D − 135D = 45D
Alltså är
β = 180D − 90D − 45D
Vinkeln β = 27
D
alternatvinklar och
AB & DC
γ = 180D − 34D − β D
β = 45D
Då är + EAD likbent vilket ger EA = ED = x .
Enligt Pythagoras sats är
vinkelsumman i +ABE
x2 + x2 = ( 6 2 )
är 180D
2 x 2 = 36 ⋅ 2
= 146D − 27D
x 2 = 36
x = ( ± )6
= 119D
α = 180D − 119D
2
α och γ är
sidovinklar
= 61D
Basen AB = 2 AD = 2 ⋅ 6 2 = 12
Parallellogrammens area är
A = ah
a = 12, h = 6
= 12 ⋅ 6
Svar:
Vinkeln mellan diagonalerna är 61D .
= 72
Svar:
Parallellogrammens area är 72.
Ellips 3 • Geometri • Lösningar till uppgifterna • sid. 50
350
Eftersom EF & AD , är fyrhörningarna AEFD och EBCF
parallellogrammer. Anta att h är parallellogrammernas höjd,
AE = x och EB = y . Parallellogrammens area är A = ah , vilket
ger
AAEFD = x ⋅ h
5 y = 60
(1)
y = 12
2
x = ⋅ 12 = 8
3
Delarna är 8 och 12.
351
Vi betecknar rektangelns diagonal med 3x , och då är den ena
sidan i rektangeln x . Enligt Pythagoras sats är
x 2 + 122 = ( 3 x )
AEBCF = y ⋅ h
Alltså är
x⋅h 2
=
y⋅h 3
x 2
=
y 3
2
x= y
3
Vi får ekvationssystemet
2
(1) ⎧⎪
x= y
3
⎨
( 2 ) ⎪⎩ x + y = 20
2
y + y = 20
3
2 y + 3 y = 60
Svar:
2
x 2 + 144 = 9 x 2
8 x 2 = 144
144
x2 =
8
2
x = 18
x = ( ± ) 18
x=3 2
insättning i ekvation ( 2 )
⋅3
:5
Alltså är 3x = 9 2
Svar:
Rektangelns diagonal är 9 2 .
Ellips 3 • Geometri • Lösningar till uppgifterna • sid. 51
352
Vi bestämmer
arean av de
figurer som
omger triangeln.
Akvadrat = 12 ⋅ 12 = 144
Atriangel = Akvadrat − ( A1 + A2 + A3 )
1
⎛
⎞
= 144 − ⎜ 6 + 40 + 66 ⎟
⎝
⎠
2
1
= 31
2
Triangelns area utgör
1
33
2 ⋅ 100 % = 21 7 % = 21,875 % ≈ 21,9 %
144
8
av kvadratens area.
4⋅3
=6
2
9 ⋅ 9 81
1
A2 =
= = 40
2
2
2
A1 =
A3 är en trapets i vilken
a = 8, b = 3 och h = 12
8+3
⋅ 12 = 66
A3 =
2
Svar:
Triangelns area är 31
av kvadratens area.
7
1
och den är 21 % ≈ 21,9 %
8
2
Ellips 3 • Geometri • Lösningar till uppgifterna • sid. 52
353
354
a) Vi placerar t.ex. två brickor parallellt med bordets kanter så att
summan av sidornas längder är
40 cm + 40 cm = 80 cm < 100 cm
och
30 cm + 30 cm = 60 cm < 100 cm .
Alltså ryms brickorna på bordet.
b) Vi placerar brickorna på bordet
så att var och en tangerar ett hörn
av bordet enligt figuren. Eftersom
Rombens diagonaler är vinkelräta mot varandra och halverar
varandra. Då uppstår det fyra identiska rätvinkliga trianglar. Alltså
är
30 cm + 40 cm = 70 cm < 75 cm ,
Aromb = 4 ⋅ Atriangel
a⋅h
2
10 ⋅ 14
= 4⋅
2
= 280
ryms brickorna på bordet.
= 4⋅
c) Arean av en enskild bricka är
30 cm ⋅ 40 cm = 1 200 cm .
Arean av fyra brickor är tillsammans
4 ⋅ 1200 cm 2 = 4 800 cm 2 .
Svar:
Eftersom bordet area är endast
( 68 cm )2 = 4 624 cm 2 < 4 800 cm 2 ,
ryms brickorna inte på bordet.
Svar:
a) ja
b) ja
c) nej
Rombens area är 280.
a = 10, h = 14
Ellips 3 • Geometri • Lösningar till uppgifterna • sid. 53
355
a) Antalet romber i
spjälverket är på höjden
1
5 st och på bredden 10 st.
2
b) Spjälverkets bredd är 300 cm och antalet romber på bredden är
10 vilket ger att rombernas vågräta diagonal är 30 cm.
I figuren är enheten cm.
Rombens diagonaler
halverar varandra. Alltså är
a = 15 ( cm ) .
Rombernas diagonaler är
165 cm
= 30 cm
5,5
200 cm
= 20 cm
10
a 2 + b 2 = ( 325 )
Enligt Pythagoras sats är
2
a = 15
152 + b 2 = 325
b 2 = 325 − 225
Eftersom rombernas diagonaler
är vinkelräta mot varandra ger
Pythagoras sats att
x 2 = 152 + 102
b 2 = 100
b = ( ± )10 ( cm )
På höjden finns 5
x 2 = 325
1
5 ⋅ 2b = 11b = 11 ⋅ 10 = 110 ( cm )
2
x = ( ± ) 325
x = 18,027... ≈ 18 ( cm )
1
romb vilket ger att spjälverkets höjd är
2
Svar:
a) Längden av rombens sida är 18 cm.
b) Spjälverkets höjd är 110 cm.
Ellips 3 • Geometri • Lösningar till uppgifterna • sid. 54
356
357
Rombens diagonaler
halverar varandra och är
vinkelräta mot varandra.
Alltså är BE = ED och
AE ⊥ BD , vilket ger att
AE är median,
mittpunktsnormal och
bisektris till toppvinkeln A
i den likbenta triangeln ABD . På motsvarande sätt är CE
bisektris till vinkeln C och BD bisektris till vinklarna B och D.
80D
Anta att )A = 80D . Då är α = α ' =
= 40D
2
Vi betecknar )B = β + β ' , där β = β ' .
Eftersom vinkelsumman i en triangel är 180D , får vi
α + β + 90D = 180D
α = 40D
a) Eftersom triangeln ABD är liksidig är rombens höjd
a 3
h=
a=6
2
6 3
h=
2
h=3 3
40D + β + 90D = 180D
β = 180D − 90D − 40D
β = 50D
β ' = 50D
Eftersom )C = )A , delas den i två vinklar som vardera är 40D .
Eftersom )D = )B , delas den i två vinklar som vardera är 50D .
Svar: Det ena paret av motstående vinklar delas i två 40gradersvinklar och den andra paret i två 50-gradersvinklar.
Rombens area är
A = ah
a = 6, h = 3 3
A = 6 ⋅ 3 3 = 18 3
b) Rombens diagonaler halverar varandra. Vi betecknar
AE = EC = x
BE = ED = 3
Ellips 3 • Geometri • Lösningar till uppgifterna • sid. 55
Rombens diagonaler är vinkelräta mot varandra vilket ger
358
Aromb = 4 ⋅ Atriangel
= 4⋅
I figuren är
enheten meter.
3⋅ x
2
= 6x
Å andra sidan är
Aromb = 18 3
Alltså är
6 x = 18 3
Trapetsets area är
A=
:6
a+b
⋅h
2
40 + x
⋅x
2
( 40 + x ) x = 2964
1482 =
x=3 3
Längden av den längre diagonalen är
a = 40, b = x, h = x,
A = 1 482
⋅2
x 2 + 40 x − 2964 = 0
AC = 2 x = 6 3
Svar:
a) Rombens area är 18 3 .
b) Längden av den längre diagonalen är 6 3 .
−40 ± 402 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( −2964 )
x=
2 ⋅1
−40 ± 13456
=
2
−40 ± 116
=
2
−40 − 116
= −78, duger inte ( x > 0 )
x=
2
−40 + 116
x=
= 38, duger
2
Svar:
Den kortare basens längd är 38 m.
Ellips 3 • Geometri • Lösningar till uppgifterna • sid. 56
359
360
Den ursprungliga
parallellogrammens area är
A = ah
a = 8, h = 5
Antagande: AB & DC
A = 8 ⋅ 5 = 40
I den nya parallellogrammen är
bas
höjd
area
basen minskar med 75 %,
1
kvar är 25 %, dvs.
4
1
a = ⋅8 = 2
4
p ⎞
⎛
h = ⎜1 +
⎟⋅5
⎝ 100 ⎠
p ⎞
⎛
A = 2 ⋅ ⎜1 +
⎟⋅5
⎝ 100 ⎠
p ⎞
⎛
= 10 ⎜1 +
⎟
⎝ 100 ⎠
Alltså är
p ⎞
⎛
10 ⋅ ⎜1 +
⎟ = 40
⎝ 100 ⎠
p
1+
=4
100
p
=3
100
p = 300
Svar:
:10
Höjden ökar 300 %.
höjden ökar p %
Påstående: Arean är A =
a+b
⋅h
2
Bevis:
Vi delar trapetset i två trianglar genom att förena två
motstående hörn, t.ex. A och C. Trapetsets area är densamma
som summan av arean för trianglarna ABC och ACD, dvs.
A=
ah bh ah + bh ( a + b ) h a + b
+
=
=
=
⋅h
2
2
2
2
2
Alltså är påståendet sant.
Ellips 3 • Geometri • Lösningar till uppgifterna • sid. 57
361 Genom att rita höjder mot den längre basen ser man att
det uppstår likbenta trianglar med basvinklarna 45° på
vardera sidan.
30
x
x
Vi ritar en figur.
362
D
C
x
x
A
Enheten i figuren är cm.
Eftersom de motstående vinklarna i en parallellogram är
lika stora och ∠ DAC = ∠ BCA (alternatvinklar till
parallella sidor) och ∠ BAC = ∠ DCA (alternatvinklar
till parallella sidor) så delar diagonalen AC
parallellogrammen i två identiska likbenta trianglar.
Sidorna måste då vara lika långa,dvs. parallellogrammen
är en romb.
a+b
Trapetsets area är A =
⋅ h vilket ger
2
(30 + 2 x) + 30
⋅x
2
1500 = (60 + 2 x) x
750 =
2 x 2 + 60 x − 1500 = 0
−60 ± 602 − 4 ⋅ 2 ⋅ (−1500)
2⋅2
−60 ± 20 39
x=
= −15 ± 5 39
4
B
x=
363 Vi ritar en figur och betecknar ∠ EAB = α/2,
∠ EBA= β/2.
Eftersom x > 0 duger endast x = 5 39 − 15 (cm)
D
C
E
Svar: x = 5 39 − 15 cm ≈ 16 cm
A
B
Eftersom de motstående vinklarna i en parallellogram är
lika stora och vinkelsumman i en fyrhörning är 360° får vi
Ellips 3 • Geometri • Lösningar till uppgifterna • sid. 58
2α + 2β = 360° | :4
α
2
+
β
2
( n − 2 ) ⋅ 180D
= ( 6 − 2 ) ⋅ 180D
= 90°
Eftersom vinkelsumman i en triangel är 180° är vinkeln AEB =
180° - 90° = 90°, dvs. bisektriserna är vinkelräta mot varandra.
364
Eftersom omkretsen är 24 och sexhörningen är regelbunden så är
24
= 4 . Alltså är AB = 4 .
sidans längd
6
Vinkelsumman i en sexhörning är
n=6
= 720D
En vinkel i en regelbunden sexhörning är
720D
= 120D
6
Medelpunkten i en regelbundens sexhörning är lika långt från
varje hörn vilket ger att + ABO är likbent.
Vi betecknar basvinkeln med α .
Toppvinkeln i triangeln ABO är
360D
β=
= 60D
6
Eftersom vinkelsumman i en triangel är 180D får vi
α + α + β = 180D
2α = 180D − β
β = 60D
2α = 120D
α = 60D
Alltså är triangeln ABO liksidig vilket ger x = AB = 4 .
Svar:
En vinkel i sexhörningen är 120D .
Avståndet från medelpunkten till hörnen är 4.
Ellips 3 • Geometri • Lösningar till uppgifterna • sid. 59
Anmärkning
365
Eftersom radien hos en cirkel som omskriver en regelbunden
sexhörning är densamma som längden av en sida i sexhörningen
kan man rita en regelbunden sexhörning på följande sätt:
Vinkelsumman i en månghörning är ( n − 2 ) ⋅ 180D .
Anta att α är en vinkel i månghörningen.
a) n = 8
8 ⋅ α = ( 8 − 2 ) ⋅ 180D
8α = 6 ⋅ 180D
Vi ritar först en cirkel. Vi väljer en godtycklig punkt på cirkelns
periferi. Vi avskiljer sedan, utgående från denna punkt, från
cirkelns periferi sträckor vars längd är desamma som radien.
Dessa sträckor bildar en regelbunden sexhörning.
6 ⋅ 180D
α=
= 135D
8
b) n = 16
16 ⋅ α = (16 − 2 ) ⋅ 180D
16α = 14 ⋅ 180D
14 ⋅ 180D
= 157,5D
α=
16
Antalet diagonaler i en månghörning är
a)
8 ⋅ ( 8 − 3)
= 4 ⋅ 5 = 20
2
b)
16 ⋅ (16 − 3)
= 8 ⋅ 13 = 104
2
Svar:
a) 135D ; 20 diagonaler
b) 157,5D ; 104 diagonaler
n ( n − 3)
.
2
Ellips 3 • Geometri • Lösningar till uppgifterna • sid. 60
366
367
Den inskrivan cirkeln radie är
a
r= =4
2
a =8
Diagonalerna i kvadraten är vinkelräta mot varandra, vilket ger att
triangeln + ACO är rätvinklig.
Dessutom är AO = CO = 6 .
Enligt Pythagoras sats är
Anta att radien i den omskrivna cirkeln är R. Enligt Pythagoras
sats är
R 2 = 42 + 42
a 2 = 62 + 62
a 2 = 36 + 36
R 2 = 16 + 16
a 2 = 72
R 2 = 2 ⋅ 16
R = ( ± ) 2 ⋅ 16
Kvadratens area
A = a 2 = 72
R=4 2
Svar:
Svar:
Radierna är 4 och 4 2 .
Arean är 72.
Ellips 3 • Geometri • Lösningar till uppgifterna • sid. 61
368
369
a) Vinkelsumman i en sexhörning är
( 6 − 2 ) ⋅ 180D = 720D
720D
= 120D .
Alltså är en vinkel
6
Diagonalen AB halverar vinklarna A
och B. Vinklarna i trapetset är
)A = )B = 60D
a) Medelpunkten i en regelbunden
månghörning är samtidigt medelpunkt i
den inskrivna cirkeln.
En regelbunden femhörning kan delas i
fem likadana likbenta trianglar.
Enligt Pythagoras sats är
)C = )D = 120D
r 2 + 62 = 102
r 2 = 100 − 36
b) Triangeln AOD är liksidig vilket ger att höjden halverar
basen. Enligt Pythagoras sats är
52 + h 2 = 102
r 2 = 64
r = ( ± )8
h 2 = 100 − 25
Alltså är r = 8 .
h 2 = 75
b) Den omskrivna cirkelns radie är
R = 10 .
Det största avståndet från cirkeln till
femhörningens sida är
h = ( ± ) 75
h = 25 ⋅ 3
h=5 3
x=R−r
Svar:
x = 10 − 8
x=2
a) Vinklarna i trapetset är
60D , 60D , 120D och 120D .
b)Trapetsets höjd är 5 3 .
Svar:
a) Det inskrivna cirkelns radie är 8.
b) Avståndet är 2.
R = 10, r = 8
Ellips 3 • Geometri • Lösningar till uppgifterna • sid. 62
370
Vi betecknar sidan i den liksidiga triangeln med a. Enligt
Pythagoras sats är
2
⎛a⎞
h + ⎜ ⎟ = a2
⎝2⎠
a2
2
= a2
h +
4
.
3
h2 = a 2
4
a 3
h = ( ±)
2
Triangelns area är
ah
A=
A= 3
2
ah
= 3
2
a 3
a⋅
2 = 3
2
a2 3
= 3
⋅4
4
Eftersom en regelbunden sexhörning är symmetrisk räcker det
med att undersöka diagonalerna som ritas från ett hörn.
Diagonalernas längder är 2a och 2h . Eftersom a > h så är den
längsta diagonalen 2a = 2 ⋅ 2 = 4 .
2
a2 3 = 4 3
a2 = 4
a = ( ±)2
: 3
Svar:
Den längsta diagonalens längd i sexhörningen är 4.
Ellips 3 • Geometri • Lösningar till uppgifterna • sid. 63
371
Asexhörning = 6 ⋅ Aliksidig triangel
Aliksidig triangel =
a⋅h
2
h=
a 3
2
a 3
2
=
2
2
a 3
=
4
a2 3
= 6⋅
4
3
= a2 3
2
= Asexhörning − 6 ⋅ Atriangel
a⋅
Asexhörning
Astjärna
Vi beräknar arean av triangeln ABF.
Anta att a är en sida i den regelbundna sexhörningen. En
regelbunden sexhörning är uppbyggd av sex liksidiga trianglar.
Fyrhörningen ABCD är en romb eftersom
alternatvinklarna är
1) AB & DC och AD & BC
lika stora
2) AB = BC = CD = CA = a
Diagonalerna i romben halverar varandra vilket ger att AH är
median i triangeln ABD . På samma sätt kan man visa att BE är en
median.
Höjden DG i triangeln ABD är samtidigt också median.
Ellips 3 • Geometri • Lösningar till uppgifterna • sid. 64
Enligt mediansatsen är
1
FG = DG
3
I procent
DG = h =
Astjärna
a 3
2
Asexhörning
1 a 3
= ⋅
3 2
1
= a 3
6
a2 3
⋅ 100 %
3 2
a 3
2
2
= ⋅ 100 %
3
200
%
=
3
2
= 66 %
3
= 66,66... %
≈ 66,7 %
=
Arean av triangeln ABF är
Atriangel
⋅ 100 %
1
a⋅ a 3
= 6
2
1
= a2 3
12
Alltså är
3
1
Astjärna = a 2 3 − 6 ⋅ a 2 3
2
12
3
1
= a2 3 − a2 3
2
2
= a2 3
Svar:
66
2
% ≈ 66,7 %
3