Transcript Geometri och argument_Några sidor.pdf

Geometri och
argument
Solkanonen i Åtvidaberg som tänds av solen kl.12.00. De röda linjerna visar tänkta
solstrålars väg till krutladdningen. Dvs inte ens ljusstrålar rör sig alltid i räta linjer.
1. Logik och matematik……………………………………2
2. Empiriska vetenskaper……………………….………..6
Jordmätning……………………………………….……..14
3. Den axiomatiska metoden…………………………..15
4. Rätvinkliga trianglar……………………………..……24
5. Trigonometri………………………………………………30
6.Klassisk geometri……………………………………….35
Konstruktioner……………………………………………48
Modell ▪ Area- och volymskalan…………………….51
Facit……………………………………………………………..53
Bilder: Akvareller av Ramon Cavaller; Foton s1, s17, s36, s37 Arne Flink;
Illustrationer s 37, 38 och 39 av Hans Hillerström; Geometriska konstruktioner, diagram och
fotot Pantheon av Nils-Göran Mattsson
© Författarna och Bokförlaget Borken, 2011
Geometri - 1
1. Logik och matematik
Logiken kännetecknas av regler med vars hjälp man drar (logiska) slutsatser ur en given mängd av satser (påståenden) eller kontrollerar om en
slutledning är giltig.
Man kan nu resonera deduktivt eller logiskt utan att uttryckligen nämna
alla de förutsättningar man gör för att komma fram till en viss slutsats.
Så gör man ofta i matematiken, där man ofta tar logiken som given och
låter bli att nämna, vilka logiska regler man förlitat sig på, då man dragit
slutsatser ur de rent matematiska förutsättningarna. I sådana fall sägs
man arbeta informellt. Ett av de första historiska exemplen på hur
vetandet inom ett kunskapsområde kunde sammanfattas enligt ovan
beskrivna informella metod, är Euklides geometri. Han var verksam i
Alexandria omkring 300 f Kr. Euklides lärobok i geometri Elementa var
grunden för geometriundervisningen vid vissa skolor så sent som vid
1900-talets början.
Några lärosatser hos Euklides, och andra matematiker som byggt upp
axiomatiska system, betraktas som axiom. Det finns inga bevis för dem
inom det axiomatiska systemet. Exempel på axiom eller postulat finns
under teoriavsnittet Den axiomatiska metoden.
Lite vardagslogik
Jämför de två slutledningarna:
• (premiss 1:) Om A äger produktionsmedel, så är han kapitalist och
(premiss 2:) A äger produktionsmedel.
medför (tesen:) A är kapitalist
• (premiss 1:) Om det brinner, så kommer brandkåren och
(premiss 2:) Det brinner.
medför (tesen:) Brandkåren kommer
De två ovan nämnda slutledningarna sägs vara deduktivt (=logiskt)
giltiga. Detta innebär att var och en som förstår innebörden av
begreppen i de två argumentationerna inte utan att motsäga sig själv kan
bejaka premisserna samtidigt som han bestrider tesen. De två
argumenteringarna kännetecknas av att tesen med nödvändighet följer ur
premisserna. Argumenteringen är giltig. Därmed inte sagt att
resonemangen är sakliga . Det kan ju vara så att argumenten eller
Geometri - 2
premisserna inte är sanna eller sannolika. Premiss 1 i det andra fallet
skulle kunna vara falskt. Brandkåren kommer kanske inte, trots att det
brinner. Man har kanske glömt att larma den.
Du ser kanske den stora likheten mellan de två argumenteringarna. Vi
säger att de har samma logiska form. Det är alltså själva de språkliga
uttrycken ’om ..(förled).. så ..(efterled)..’ resp ’och’ som i dessa fall
ger samma logiska form. Rent allmänt kan man säga att alla
argumenteringar som har samma logiska form antingen är deduktivt
giltiga allihop eller också är ingen giltig.
Låt oss ta de två slutledningarna ovan för skilda tillämpningar av
slutledningsregeln modus ponens, vilket alltså innebär att man från en
"om...så…"-sats och förledet i "om...så…"-satsen härleder efterledet i
"om...så…"-satsen.
Vi skall nedan ge exempel på ett antal satslogiskt giltiga
argumenteringar. Vi använder dessutom en symbol för begreppen
medför eller implicerar eller alltså. Symbolen är Þ
Negationsregeln
Exempel Det snöar. Þ Det är inte fallet att det inte snöar.
Disjunktionsregler
Exempel Det regnar. Þ Det regnar eller blåser.
(Han får brev på måndag eller också på tisdag.) och (Han får inte
brev på måndag.) Þ Han får brev på tisdag.
Konjunktionsregeln
Exempel Det blåser och snöar. Þ Det snöar
Implikationsregler (Vi har redan analyserat modus ponens.)
Exempel (Om det regnar, så stannar jag hemma.) och (Jag stannar
inte hemma.) Þ Det regnar inte. (Denna regel kallas modus tollens.)
Däremot gäller inte följande två slutledningar:
Om det regnar, så stannar jag hemma och Jag stannar hemma. Þ
Det regnar.
Geometri - 3
Om det regnar, så stannar jag hemma och Det regnar inte Þ Jag
stannar inte hemma
Ekvivalensregler
Om implikationen går i bägge riktningar som i följande matematiska
exempel så kan vi använda ekvivalenspilen.
Exempel [a < b Þ a + 3 < b + 3] men eftersom [a + 3 < b + 3 Þ
a < b] kan vi kortare skriva [a < b Û a + 3 < b + 3]
Kontraposition
Exempel Om denna figur är en cirkel, så är det en ellips också. Þ
Om figuren inte är en ellips, så är det inte heller en cirkel.
G1.1 Vilka av följande slutledningar är giltiga?
(a)
Jag går på bio eller teater. Jag går inte på bio.
Alltså går jag på teater.
(b)
Om Per är en skicklig schackspelare, så är Per logisk.
Per är en skicklig schackspelare. Alltså är Per logisk.
(c)
Om du gapar efter mycket, så skall du mista hela stycket.
Du har mist hela stycket. Alltså har du gapat efter mycket.
(d)
Om inte nativiteten i världen sjunker, kommer en katastrof att
inträffa. Alltså: Om en katastrof inte skall inträffa, måste
nativiteten i världen sjunka.
(e)
Handlingen är rätt, om handlingen medför överskott av lycka
för de flesta inblandade. Denna handling är orätt.
Alltså: den medför inte ett överskott av lycka för de flesta
inblandade.
(f)
Det varken blåser eller snöar. Alltså snöar det inte.
(g)
Det blir inte kallare eller också blir det regn. Det blir inte regn.
Alltså blir det kallare.
(h)
Om Carl Bildt inte högaktar Edmund Burke så är han inte
konservativ. Men Carl Bildt högaktar E. Burke.
Alltså är han konservativ.
Geometri - 4
(i)
Jan måste gå i borgen för Per, annars kan Per inte reda upp sin
ekonomi. Nu går Jan i borgen för Per.
Alltså kan Per reda upp sin ekonomi.
(j)
Om kärnkraften är farlig så skall vi inte använda oss av den.
Alltså: om kärnkraften inte är farlig så skall vi nyttja den.
(k)
Om figuren c är en cirkel så är det samtidigt en ellips.
Men c är inte en ellips. Alltså är det inte heller en cirkel.
G1.2
Är följande slutsatser logiska – använd din intuition!
Alla svenskar är filosofer.
Alla matematiker är filosofer.
Alltså är alla svenskar matematiker
a)
b)
Alla sanna socialister är agnostiker.
Några präster är sanna socialister.
Alltså finns det präster som är agnostiker.
c)
Det finns författare som är skådespelare.
Alla poeter är författare.
Alltså är några poeter skådespelare.
d)
Inga matematiker är politiker.
Inga politiker är logiker.
Alltså finns det inga matematiker som är logiker.
e)
Några studenter bär öronringar.
Några som bär öronringar är inte gay.
Alltså är några studenter inte gay.
Geometri - 5
3 Den axiomatiska metoden
Teori ▪ Den axiomatiska metoden
Vad innehåller då Euklides Elementa? Den består av 13 ”böcker” eller
kapitel. Den startar med 23 definitioner, 5 postulat och 5 axiom och
därefter bevisar han 465 satser.
Låt oss se börja med postulaten dvs antaganden som bara tillhör
kunskapsområdet geometri. Idag skulle vi även kalla dessa för axiom. Låt
oss formulera dem i moderna versioner.
Postulat 1. Om vi har två olika punkter så finns den en och endast en
rät linje som passerar bägge.
Postulat 2. Det går att obegränsat förlänga en begränsad rät linje
(sträckan AB).
Postulat 3. Om vi utgår från två olika punkter, O och A så finns det en
cirkel med medelpunkt i O och radie OA.
Postulat 5. Om en rät linje t skär två räta linjer, l och m, så att de inre
vinklarna på samma sida α och β, tillsammans är mindre än två räta
vinklar, så möts de två linjerna, om de dras ut oändligt, på den sida på
vilken vinklarna är mindre än två räta.
Den finns en med denna version ekvivalent formulering av postulatet:
Postulat 5’ Om vi utgår från en rät linje l och en punkt P som inte
ligger på l, så finns det högst en linje genom P som är parallell (= inte
skär) l.
Geometri - 15
Naturligtvis finns det minst en också och därmed exakt en, men detta
kunde redan Euklides bevisa ur de andra postulaten.
Vilka är då de generella axiomen?
Axiom 1. a = c och b = c medför att a = b
Axiom 2. a = b medför att a + c = b + c
Axiom 3. a = b medför att a – c = b – c
Axiom 4. Storheter som sammanfaller med varandra är lika varandra.
Axiom 5. Det hela är större än delen. (T ex längder, areor och volymer)
I elementa beskriver Euklides ofta
hur man löser uppgifter med passare
och ograderad linjal. Denna
lösning måste följa regler som
• Starta med ett antal givna
punkter!
• De givna punkterna (t ex de blåa)
kan användas för att (i ) dra en
linje genom punkterna och
(ii ) rita en cirkel (t ex de röda)
med en punkt som medelpunkt
och som går genom den andra
punkten.
(iii ) Konstruktion måste kunna
ha avslutats efter ett ändligt antal
steg av typ (i ) och (ii )
Den som bygger upp ett axiomatiskt system använder sig av vissa grundbegrepp, t ex punkt medan andra begrepp definieras med hjälp av de
odefinierade t ex
Def.1. En punkt är det som inte har någon del.
Def.2. En linje är längd utan bredd.
Def.3. En sträckas ändar är punkter.
Def.5. En yta är det som endast har längd och bredd.
Def.6. Kanterna till en yta är linjer.
Geometri - 16
Om man tycker att dessa förklaringar eller definitioner är underliga så
kan man helt enkelt låta våra grundbegrepp vara oförklarade. Vi utnyttjar bara begreppens egenskaper och relationer som de är uttryckta i
axiomen.
Detta var t ex matematikern David Hilberts (1862 – 1943) syn på
axiomatiska system.
Många har påpekat de logiska bristerna i Euklides axiomatiska system
och 1899 publicerade Hilbert en moderniserad version av Elementa,
Grundlagen der Geometri , som fortfarande är oöverträffad.
Teori ▪ Vinklar
Två strålar som utgår från samma punkt A delar planet i två områden
som kallas vinklar . Strålarna kallas vinkelben och punkten A vinkelspets.
Vinklarna har markerats i figuren med bokstäverna u och v. Vinklarna
mäts i grader och enheten är en grad som skrivs 1°. En grad är 1/360 av
ett helt varv. Även det är en vinkel som är 360°. Ett halvt varv är 180°.
En vinkel som är större än 90° kallas en trubbig vinkel medan en vinkel
mindre än 90° kallas spetsig. Vinklar på 90° kallas räta.
Postulat i denna lärobok: Vertikalvinklar (t ex α och β eller γ och δ i
figuren nedan) är lika stora.
Geometri - 17
Låt oss nu bevisa: Sidovinkelsatsen.
Sidovinklar (t ex α + δ i figuren ovan) är tillsammans 180°.
Enligt postulat ovan är α = β samt γ = δ
Vi vet dessutom att α + β + γ + δ = 360°
Þ (synonymer till tecknet: medför, ger, implicerar)
2α + 2 δ = 360° (eftersom α = β samt γ = δ) Þ α + δ = 180° V.S.B
Den hypotetiskt deduktiva (HD) metoden hos Popper liknar
den axiomatiska metoden genom att man så att säga går uppifrån nedåt
och endast använder logiska slutledningar. Såväl den axiomatiska
metoden som HD godkänner endast deduktiv logik.
Det finns emellertid stora skillnader. Rationalisterna tror, att man
genom rent förnuftsmässigt tänkande kan finna sanna och evidenta
axiom. Popper däremot menar att historien visar att detta är omöjligt.
De axiom som man under århundraden tagit som evidenta har ofta
senare visat sig felaktiga. Vi kan alltså aldrig vara säkra på att ett axiom
om verkligheten är sant enbart på förnuftsmässiga grunder, dvs enbart
därför att vi tycker att de absolut måste vara sanna.
Enligt Popper är varje axiom om verkligheten i själva verket en hypotes,
dvs en gissning. I stället för att försöka med den omöjliga uppgiften att
finna evidenta axiom bör forskaren göra något mycket mer anspråkslöst.
Han bör utarbeta fruktbara hypoteser. Det ligger sålunda i forskningens
natur enligt Popper att forskaren så att säga måste gissa sig fram mot allt
bättre kunskaper. Men gissningar är dels osäkra och dels förutsätter de
fantasi, kreativitet, intuition.
Enligt Popper finns det ingen metod som kan leda fram till bevisade,
orubbliga teorier. Det finns ingen metod som gör att teorier förvandlas
till fakta. Enligt Popper är vetenskapens teorier sålunda varken bevisade
sanningar eller ytterst sannolika. Liksom alla realister anser han
vetenskapens grundläggande mål vara att förklara vår värld. Men han ser
förklarandet som en oavslutad process. Målet är att hela tiden sträva
efter allt bättre
Geometri - 18
G3.1
Hur stor är vinkeln v vid den räta linjen? Är vinkeln spetsig
eller trubbig?
G3.2
Hur stor är vinkeln mellan tim- och minutvisaren
kl.16.00 b) kl. 22.00?
G3.3
Hur stor är den vinkel som upptar
ett fjärdedels varv b) ett halvt varv
V3.4
Hur stor är vinkeln mellan väderstrecken
norr och öster
c) norr och nordöst
norr och söder
d) norr och nordnordväst
V3.5
Ett helt varv består av fem vinklar, där den andra vinkeln är
dubbelt så stor som den första, den tredje är dubbelt så stor
som den andra osv. Beräkna den minsta vinkelns storlek.
a)
a)
a)
b)
Om A, B, C, D och E är punkter
i ett plan som bildar sträckorna
AB, BC, CD, DE och EA, så
utgör dessa ett område ABCDE
som kallas en polygon. I vårt fall
har polygonen fem hörn och
kallas därför en femhörning.
Polygoner kan ha vilket antal
hörn som helst större än eller lika
med 3. Har polygonen tre hörn
kallas den en triangel.
Geometri - 19
c) ett åttondels varv
En linje som skär två eller flera
räta linjer kallas en transversal. Vi
markerar vinklarna med de
grekiska bokstäverna α, β, γ och
δ. Vinklarna α 1 och α 2 , β 1 och
β 2 , γ 1 och γ 2 samt δ 1 och δ 2 är
parvis likbelägna vinklar . α 1 och
γ 1 , β 1 och δ 1 kallas som vi
tidigare nämnt vertikalvinklar .
Ge exempel på flera par av
vinklar som är likbelägna vinklar
respektive vertikalvinklar.
G3.6
Bevisa att likbelägna vinklar till parallella linjer är lika stora.
Använd dig av bl a postulat 5 för att genomföra en deduktiv
argumentering.
G3.7
Till en vinkel u och dess sidovinkel v dras bisektriserna b 1 och
b 2 . (En bisektris delar en vinkel mitt itu.) Gör en tydlig deduktiv
härledning av hur stor vinkeln är mellan bisektriserna.
Geometri - 20
Teori ▪ Likformighet
Polygonen B 1 ovan har vi fått genom att polygonen V1 förstorats i
skalan 3:1. Detta innebär att alla de fem sidorna i polygonen B 1 har
blivit 3 gånger längre. Trots förstoringen har de fem vinklarna A, B, C,
D och E i polygonen inte ändrat storlek. Man säger att de två polygonerna är likformiga. Triangeln B 2 är likformig med triangeln V2 och
cirkeln B 3 är likformig med cirkeln V3 ty de har ”samma form”.
Man talar om motsvarande sidor i likformiga trianglar. Man ser ganska
enkelt vad som är motsvarande sidor. Motsvarande sidor står mittemot
lika stora vinklar. Triangeln B har vinklarna A, B och C liksom triangeln
V. Alltså är t ex sidorna b 2 och v 2 motsvarande sidor.
Sidorna i triangeln B är 9 cm, 6 cm respektive 4,5 cm och motsvarande
sidor i triangeln V 2 är 3 cm, 2 cm och 1,5 cm. Kvoterna av motsvarande
sidors längder blir 9cm/3cm, 6cm/2cm och 4,5cm/1,5cm vilket i alla tre
fallen blir 3.
Följande påståenden är användbara vid likformighetsberäkningar:
a) Förhållandet mellan motsvarande sidor i två likformiga figurer är
alltid lika.
b) Två trianglar är likformiga om och endast om de har lika stora
vinklar.
Geometri - 40
Modell ▪ Likformighetsberäkningar
Triangeln Bilden är likformig
med triangeln Verkligheten.
Sidorna i triangeln B är 3 cm, 4
cm och 5 cm. Motsvarande sida
till 3 cm - sidan i triangeln B är
9 cm - sidan i triangeln V.
Bestäm V:s övriga sidor.
Figur B
Figur V
3
9
x
4
y
5
Lösning Trianglarna är likformiga.
Þ
Kvoterna
3
4
och
har
9
x
3 4
=
Þ 3x = 36 Þ x =12
9 x
Vi kan också utnyttja det faktum att förhållandet mellan två sidor i den
ena figuren och förhållandet mellan motsvarande sidor i den andra
5 y
figuren är lika. Vi får =
Þ 3y = 45 Þ y =15.
3 9
samma värde.
Þ
G6.10 Vilka av följande påståenden är sanna?
(a) Om figuren F är likformig med figuren G och G är likformig
med figuren H så är även F likformig med H.
(b) Om vinklarna är lika stora i två femhörningar så är dessa
likformiga.
(c) Två cirkelsektorer är alltid likformiga.
(d) Cirklar är alltid likformiga.
(e) Rätvinkliga trianglar är likformiga.
(f) Liksidiga trianglar är likformiga.
(g) Rektanglar är alltid likformiga.
(h) Likbenta trianglar är likformiga.
Geometri - 41
G6.11 Fatima har hittat på en fiffig metod att beräkna en flaggstångs
höjd. Hon mäter hur lång flaggstångens skugga är samtidigt
som hon mäter hur lång skuggan av en lodrät, rak pinne är.
Pinnen är 1 m lång. Hur hög är flaggstången om flaggstångens
skugga är 10,5 m och pinnens skugga är 0,95 m?
V6.12 Beräkna de obekanta sidorna i de två trianglarna.
V6.13 En remsa med konstant bredd viks. Överlappningen är en
triangel ABC. Vilka egenskaper har denna triangel? Kan du
bevisa det du kommit fram till?
V6.14 Två cirklar har radierna 3 cm respektive 12 cm. Beräkna med
huvudräkning förhållandet mellan cirklarnas omkretsar.
V6.15
Om man klipper ett A4-papper mitt itu, så får man två A5papper. Är dessa två ark likformiga med det ursprungliga A4pappret? Ett A4-ark är 210 mm × 297 mm.
V6.16
I en rätvinklig triangel ABC har ritats mittpunktsnormalen till
hypotenusan BC. Denna linje skär den rätvinkliga triangeln i
punkterna D och E. Hur lång är sträckan DE, om den minsta
kateten är 6,54 cm och hypotenusan är 12,76 cm?
V6.17 Man vill rita rektanglar med arean A cm2, där det naturliga talet
A kan delas upp i exakt 5 primfaktorer, inklusive faktorn 1.
Hur många rektanglar kan man rita, om sidorna är hela
centimeter?
V6.18 Bisektrisen till vinkeln A i triangeln ABC träffar motstående
sida i punkten D. Visa bisektrissatsen, dvs att
AB BD
=
.
AC CD
V6.19 En median delar en triangel i två deltrianglar. Hur förhåller sig
deltrianglarnas areor till varandra?
Geometri - 42
Teori ▪ Periferi- och medelpunktsvinkel
Figurerna nedan visar randvinklar, α, och medelpunktsvinklar, γ,
uppritade på samma cirkelbåge b. Medelpunktsvinkeln är alltid dubbelt
så stor som periferivinkeln vilket man upptäcker när man mäter
randvinkeln och medelpunktsvinkeln i samma figur. (Prova gärna detta i
något dynamiskt geometriskt program, t ex gratisprogrammet GeoGebra .)
Sats Medelpunktsvinkeln på en cirkelbåge är dubbelt så stor som
randvinkeln på samma båge.
Bevis för fall 1 Låt oss först se på specialfallet att både periferi- och
medelpunktsvinkeln har ett vinkelben liggande på samma diameter.
Vinklarna α och β är lika stora, eftersom de står mot lika långa sidor.
Alltså är γ = α + β men α = β. Då måste γ = 2α.
Bevis för fall 2 Om inte både rand- och medelpunktsvinkeln har ett
vinkelben liggande på samma diameter, så drar vi en diameter som
hjälplinje.
Þ
γ 1 = α 1 + β 1 och γ 2 = α 2 + β 2 . α 1 och β 1 står mot lika långa sidor
och är därmed lika långa. Samma gäller för α 2 och β 2
Þ
γ 1 = 2α 1 och γ 2 = 2α 2
Þ
γ 1 + γ 2 = 2(α 1 + α 2 ).
Þ
γ 1 + γ 2 = 2α 1 + 2α 2 .


medelpunktsvinkel periferivinkel V.S.B.
Fall 3 Försök gärna själv att visa den sista varianten av satsen.
Varför är periferivinklar på samma båge lika stora?
Geometri - 43
G6.20 Bestäm de obekanta vinklarna x och y.
Fundera på detta!
En regelbunden femhörning ABCDE är inskriven i en
cirkel. Beräkna vinklarna i triangeln ABD.
Geometri - 44