Transcript tenta

1( 4 )
Institutionen för Systemteknik
Dept. Of EE
Tentamen i TSDT18 Signaler & System för D, Y(I), MED, I(i) & Mat
Provkod:
TEN1
Tid:
2015-01-13
Lokal:
TER1, TER2, TERD
Lärare:
Lasse Alfredsson
kl. 14.00-19.00
013-28 2645
Jag besöker tentasalen två gånger:
• Ca. 1−1.5 tim. efter skrivtidens början.
• Ca. 1−1.5 tim. innan skrivtidens slut.
Hjälpmedel: Räknedosa med tömt minne samt följande tre (fyra) formelsamlingar:
1. "Formelsamling för Signaler & System", Lasse Alfredsson
2. "Formler & Tabeller", Sune Söderkvist,
3. MAI:s formelsamling i transformteori/fourieranalys, dvs.
"Transformteori: sammanfattning, formler och lexikon" eller
”Formelsamling för Fourieranalys”.
Bedömning: Tentans uppgifter ger totalt 52 poäng (uppg. 4a utökad med 2 p vid tentarättningen).
Preliminära betygsgränser:
Betyg 3: 21 poäng
Betyg 4: 31 poäng
Betyg 5: 41 poäng
OBS! • Redovisa tydligt alla steg i dina lösningar, det är
främst lösningsgången vi poängbedömer!
Bristande motivering medför poängavdrag.
• Numeriska lösningar, dvs. om signifikanta delar
av uppgiften löses m.h.a. räknare, accepteras ej.
Visning:
Visning av tentor sker 2015-02-03 kl. 12.30-13.00 i konf.rummet Systemet,
ingång B27, 1 tr, se www.isy.liu.se/images/25-29plan3big.gif.
Eventuella synpunkter på rättningen skall formuleras skriftligen och
lämnas till examinatorn under visningen. Efter visningen kan tentor även
hämtas ut på ISY:s expedition. Rättningssynpunkter kan senast en vecka
efter visningen även lämnas genom ISY:s expedition.
Synpunkter om uppenbara felbedömningar kan dock lämnas senare!
Tentorna rättas normalt inom 10 arbetsdagar efter tentatillfället. Efter registrering av
resultaten i Ladok skickas, inom ytterligare några dagar, ett automatiskt Ladok-utskick
med tentamensresultat via e-post till alla som är registrerade på kursen.
Om inget oförutsett inträffar finns lösningsförslag tillgängligt under TSDT18:s tenta-webbsida
www.cvl.isy.liu.se/education/undergraduate/TSDT18/ tentor inom 5 arbetsdagar.
Lycka till!
2( 4 )
()
1. Nedanstående system beskriver ett amplitudmoduleringssystem, där y t utgör en AM-SSBsignal (dvs. amplitudmodulering med enkelt sidband, ”single sideband”).
cos(ωct)
w(t)
y(t)
m(t)
H(ω)
x(t)
z(t)
sin(ωct)
⎧⎪ j; ω < 0
LTI-systemet i ovanstående figur har frekvensfunktion H ω = ⎨
.
⎪⎩ − j; ω > 0
I nedanstående spektrum M ω för insignalen m t , så gäller W M << ω c :
( )
( )
()
A
M(ω)
−W
-B M
WBM
ω
Beräkna och rita frekvensspektrum (fouriertransformerna) för signalerna
w t , x t , z t och y t för ovanstående insignal m t .
() () ()
()
()
( )
(8 p)
Anm: X ω blir imaginärvärt, så då har du lämpligen imaginära värden
( )
på den vertikala axeln när du ritar X ω .
2. Ett visst tidskontinuerligt biokemiskt kausalt LTI-system beskrivs av differentialekvationen
d 2 y (t )
dt 2
()
+2
dy ( t )
dt
+ 37 y ( t ) = 2
()
d 2 x (t )
dt 2
+ 200x ( t )
där x t är systemets insignal och y t är dess utsignal.
( )
Skissera systemets amplitudkarakteristik H ω , utgående från pol-nollställevektorer i
()
pol-nollställediagrammet för systemets systemfunktion H s .
(6 p)
( )
(Anm: Du får inte använda dig av det analytiska uttrycket för frekvensfunktionen H ω )
3( 4 )
3. Figur (I) nedan visar ett kausalt tidskontinuerligt LTI-system, som består av en
kaskadkoppling av de två kausala tidskontinuerliga LTI-systemen A och B.
System A utgörs av den elektriska kretsen i figur (II), där R = 1 Ω och C = 0.5 F.
System B har systemfunktion H B ( s ) =
()
(
)
1 −s −4s
och detta system belastar inte system A
e −e
s
(dvs. utsignalen v t från system A beror inte på system B).
()
a) Beräkna impulssvaret hA t för system A.
(4 p)
()
b) Beräkna impulssvaret h t för det totala kaskadkopplade systemet med hjälp av faltning.
Redovisa med sedvanliga enkla skisser de olika principfall som faltningsproblemet
naturligen delas upp i. I skisserna skall aktuellt integrationsintervall tydligt markeras.
(6 p)
4. Det instabila tidsdiskreta LTI-systemet H1 nedan beskrivs av differensekvationen
4
y ⎡ n − 1⎤⎦ = 2w ⎡⎣ n − 1⎤⎦ . Detta system återkopplas med LTI-systemet H2 , som
3 ⎣
har impulssvaret h2 ⎡⎣ n ⎤⎦ = Kδ ⎡⎣ n − 1⎤⎦ , där K är en begränsad reelvärd konstant, K < ∞ .
y ⎡⎣ n ⎤⎦ +
−
a) Rita det fullständiga pol-nollställediagrammet för det totala återkopplade systemets
systemfunktion H ⎡⎣ z ⎤⎦ , för det K-värde då H ⎡⎣ z ⎤⎦ har en dubbelpol.
(7 p)
(utökad, vid tentarättning, från 5 till 7 p)
b) Är systemet H2 kausalt?
Är det totala återkopplade systemet i deluppgift a) insignal-utsignalstabilt?
(3 p)
4( 4 )
5. I figuren nedan visas två typer av realiseringar av ett tidskontinuerligt amplitudnormerat
stabilt lågpassfilter med 3 dB-gränsvinkelfrekvens ω p = 100 rad/s. Båda filtren är av
butterworth-typ med ordning N = 2 .
Det övre systemet är ett traditionellt tidskontinuerligt butterworthfilter, medan det undre
systemet är realiserat som en sampling följt av ett tidsdiskret butterworthfilter och en
rekonstruktion på så sätt att:
• x t samplas genom ideal sampling med sampelvinkelfrekvens ω s = 4ω p
()
•
det tidsdiskreta butterworthfiltret har systemfunktion H ⎡⎣ z ⎤⎦ =
(
( z + 1)2
)
z2 2 + 2 + 2 − 2
π
rad
2
• rekonstrueringen sker idealt, genom pulsamplitudmodulering (PAM)
och normerad 3 dB-gränsvinkelfrekvens Ω p =
()
(
)
a) För den stationära insignalen x t = sin 150t kommer de två systemen att generera
()
(
)
()
(
)
utsignalerna y1 t = A1 sin ω1t + ϕ1 respektive y2 t = A2 sin ω 2t + ϕ2 .
Bestäm A1 och A2 .
(8 p)
()
(
)
b) För den stationära insignalen x t = cos 300t kommer de två systemen att generera
()
(
)
()
(
)
utsignalerna y1 t = A3 cos ω 3t + ϕ3 respektive y2 t = A4 cos ω 4t + ϕ4 .
Bestäm A4 och ω 4 .
(4 p)
6. Bestäm stegsvaret g ⎡⎣ n ⎤⎦ för det tidsdiskreta energifria LTI-systemet nedan, bestående av
två multiplikatorer, två fördröjningselement (”D”=delay) och en summator.
(6 p)