Transcript Formelsamling för Signaler & System

Formelsamling
för
Signaler & System
© Lasse Alfredsson
ver. 1.1
[email protected]
Formelsamling för TSDT18,84 Signaler och System
Ver. 1.1
Innehåll
Sid. Avsnitt
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
8
9
10
10
11
11
12
13
14
14
15
16
18
20
23
23
24
25
27
29
.
Beteckningar, signaldefinitioner
Signalanalys ‒ tidskontinuerliga signaler
Fourierserieutvecklingar
Fouriertransformer
Laplacetransformer
Signalanalys ‒ tidsdiskreta signaler
Fourierserieutveckling
Fouriertransformer
Diskreta fouriertransformen, DFT
z-transformer
Sampling & Rekonstruktion
Tidskontinuerliga Linjära Tidsinvarianta (LTI-)System
Differentialekvationsbeskrivning
Utsignalsberäkning ‒ yzs(t)
Systemanalys
Tidsdiskreta Linjära Tidsinvarianta (LTI-)System
Differensekvationsbeskrivning
Utsignalsberäkning ‒ yzs[n]
Systemanalys
Terminologi ‒ förklaring av engelska termer
Elektriska nät
Transformtabeller, tidskontinuerliga funktioner
Tabell 1, Egenskaper ‒ fourierserier
Tabell 2, Egenskaper ‒ fouriertransformen
Tabell 3, Fouriertransformer
Tabell 4, Egenskaper ‒ laplacetransformen
Tabell 5, Laplacetransformer
Transformtabeller, tidsdiskreta funktioner
Tabell 6, Egenskaper ‒ diskreta fouriertransformen, DFT
Tabell 7, Egenskaper ‒ fouriertransformen
Tabell 8, Fouriertransformer
Tabell 9, Egenskaper ‒ z-transformen
Tabell 10, z-transformer
1
Formelsamling för TSDT18,84 Signaler och System
Ver. 1.1
Beteckningar, signaldefinitioner:
Tidskontinuerlig diracimpuls

 t  :
  (t ) (t ) dt   (0)



  at  
  (t ) (t  T ) dt   (T ) .

Tidskontinuerligt enhetssteg
u t  
t
1; t  0
0; t  0
  ( ) d  

1; t  0
,
Alt. u0  t   
0;
0
t


Tidsdiskret enhetsimpuls
Tidsdiskret enhetssteg
 1; t  0

u  t   0.5; t  0
 0; t  0

1; n  0
0; n  0
 n  
u  n 
n

m 
1; n  0
0; n  0
  m  
 vanlig användn: 


u 0  n 


 1; t  0
 t  
sgn  t   u  t   u  t   vp     0; t  0
 t  
1; t  0
 1; t  0.5

 1
 1  1
rect  t   u  t    u  t     ; t  0.5
 2
 2  2
 0; t  0.5
1; n  1
u 0  n   u  n  1  
0; n  0
Signumfunktionen
Enhetsrektangeln
Enhetstriangeln:
Sinc-funktionen
Principalvärde
1
 t 
a
1  2 t ; t  1

2
 t   
1
t 2
 0;
sin  t 
sinc N  t  
 sinc  t  , där
t
sin  t 
sinc  t  
t
t 0
 0;
 f t   
vp 
   f t 
; t0
 t  
 t
2
Formelsamling för TSDT18,84 Signaler och System
Ver. 1.1
Signalanalys ‒ tidskontinuerliga signaler

Signaleneri: Ex 
 x t 
2
T 2
2
1
x
t
dt
Signaleffekt: Px  lim


T  T 
T 2
dt

Energisignal: 0  E x   , Px  0
Effektsignal: E x  , 0  Px  
 Från dirac-impulsens definition följer att en tidskontinuerlig fysikalisk signal x  t 
kan uttryckas som x  t  

 x    t    d .

Periodiska signaler
FOURIERSERIEUTVECKLINGAR
Om x  t  är reell och T0 -periodisk  x  t   x  t  T0    t :
 Signalens grundvinkelfrekvens: 0  2 f 0 , där f 0 
1
är signalens grundfrekvens.
T0
 Fourierserieutveckling av x  t  (som uppfyller Dirichlets existensvillkor):

x  t   C0   Cn  cos  n0t   n  
n 1


n 
Dn  e jn0t
 Signalens komplexa fourierseriekoefficienter : Dn 
1
x  t  e jn0t dt .

T0 T
0
 Dn 0 
C  2 Dn ,
Cn j n
e
  n
2
 n  arg Dn
C0  D0
(enkelsidigt amplitudspektrum)
(enkel- eller dubbelsidigt fasspektrum)
Dn : Dubbelsidigt amplitudspektrum
1
2
1
2
Effektivvärde: X e    x  t  dt 
 T0 T

0


1
x  t  dt ,
 Medelvärde: C0 
T0 T
0
 Parsevals formel: Signal(medel)effekten för en T0 –periodisk signal
Px 

2
1
2
x
t
dt

D



n
T0 T
n
0
3
x  t  är
Formelsamling för TSDT18,84 Signaler och System
Ver. 1.1
Icke-periodiska signaler
FOURIERTRANSFORMER
Om x  t  är absolutintegrerbar, dvs.

 x  t  dt   , så kan x  t  fouriertransformeras:


  x(t )  X ( )   x(t ) e
 j t

dt
1


Alt.
X( f ) 
 x(t ) e
 j 2 f t
1
 X ( )  x(t ) 
2

 X ( ) e
x(t ) 
d


dt
j t
 X( f )e
j 2 f t
d


   2 f  vinkelfrekvens, f  frekvens.
 X ( )  X  s  s  j om X ( ) 
 Generell distributionsteoretisk fouriertransformdefinition:


 x ( )     d    X (  )     d  ,


där   t  är en s.k. testfunktion,        t  och X      x  t  .
 Frekvensspektrum: X ( )  X ( ) e j arg X ( ) , där
X ()
= Amplitudspektrum
arg X ( ) = Fasspektrum
X ( )
2
= Energitäthetsspektrum

 Parsevals formel: Ex 


x t 
2
1
dt 
2


2
X   d

LAPLACETRANSFORMER
II  x  t   X II  s  
Dubbelsidig laplacetransform av x  t  :

 x t  e
 st
dt


 Existensvillkor:
 t
 x  t  e dt   , där   Res , vilket ger nästa punkt:

 Konvergensområde av typen  0  Res  1 , Res  1 eller Res   0
 Invers laplacetransform: x  t   
1
1
  j
 X II  s   2 j 
  j
Enkelsidig laplacetransform ‒ se nästa sida!
4
X II  s  e st ds
Formelsamling för TSDT18,84 Signaler och System
Ver. 1.1
Enkelsidig laplacetransform av x  t  , med x  t   0 för t  0 :
I  x  t   X I  s  

 x t  e
 st
dt
0
 Initialvillkor: x  0  

 Existensvillkor:
 t
 x  t  e dt   , där   Res , vilket ger nästa punkt:
0
 Konvergensområde av typen Res   0
 Invers laplacetransform: x  t   
1
1
  j
 X I  s   2 j 
X I  s  e st ds
  j
Signalanalys ‒ tidsdiskreta signaler
Signaleneri: E x 

 x n
N
2
1
Signaleffekt: Px  lim
x  n

N  2 N  1
n  N
Effektsignal: E x  , 0  Px  
2
n 
Energisignal: 0  E x   , Px  0
 En tidsdiskret signal x n kan uttryckas som x  n  

 x  m   n  m  .
m 
 e j 0n , cos  0n  och sin  0n  är N 0 -periodiska om
0
k
för något k   .

2 N 0
Periodiska signaler
FOURIERSERIEUTVECKLING
 Om x n är reell och N 0 -periodisk  x  n  x  n  N0     n .
 Om den periodiska signalen x n är absolutsummerbar, dvs.
 x  n   ,
N0
så kan fourierserieutvecklas:
N0 1
2
,
N
0
r 0
med N 0 -periodiska komplexa fourierseriekoefficienter:
x  n 
 Dr e
1
Dr 
N0
jr0n
,
0 
N0 1
 x  ne jr0n ,
r  0, 1,, N0  1.
n 0
5
Formelsamling för TSDT18,84 Signaler och System
Ver. 1.1
Icke-periodiska signaler
FOURIERTRANSFORMER

Om x n är absolutsummerbar, dvs.
 x  n   , så kan x n fouriertransformeras:
n 

  x  n   X     x  n  e  j n

1
n 
Alt.
X   
 X   x  n  21  X  e j nd 
2

x  n    X   e j 2 n d
 x  n  e j 2 n
n 
1
0  2

  ,
 2 
0

   2  normerad vinkelfrekvens,   normerad frekvens.
 X   är 2-periodisk, X   är 1-periodisk.

X     X  z  z e j om X   
 Frekvensspektrum: X     X    e
X 
j arg X   
0 1

1

0




, där
= Amplitudspektrum
arg X   = Fasspektrum
X 
 Parsevals formel: Ex 
2
= Energitäthetsspektrum

2
 x  n 
n
1
2

X   d 
2
2
DISKRETA FOURIERTRANSFORMEN, DFT
En absolutsummerbar sekvens/signal x n av längd N 0 , dvs. för vilken
Har en diskret fouriertransform DFT  xn   X r 
N0 1
 xne jr n ,
n0
0
 x  n   ,
N0
r  0, 1, , N 0  1 , där
1 N0 1
2
IDFT  X r   xn 
X r e jr0n ,
n  0, 1,, N0  1 och  0 
.

N 0 r 0
N0
( Anm: Eftersom både X r och xn är N 0 -periodiska, kan man välja andra
intervall på r och n av längd N 0 än mellan 0 och N 0  1 .)
6
Formelsamling för TSDT18,84 Signaler och System
Ver. 1.1
z-TRANSFORMER
Dubbelsidig z-transform av x n :
 Existensvillkor:

 II  x  n   X II  z  

 x  n  r  n   , där r 
 x n z n
n 
z , vilket ger nästa punkt:
n 
 Konvergensområde av typen R0  z  R1 , z  R1 eller z  R0
1
 Invers z-transform: x  n    1  X II  z  
X II  z  z n1dz


2 j C
Enkelsidig z-transform av x n , med x  n  0 för n  0 :

 I  x  n   X I  z    x  n  z  n
n 0
 Existensvillkor:

 x  n  r  n   , där r 
z , vilket ger nästa punkt:
n 0
 Konvergensområde av typen z  R0
 Invers z-transform: x  n   
1
 X I  z   21 j  X I  z  z n1dz
C
SAMPLING & REKONSTRUKTION
Likformig sampling med sampelperiod T: x  n   x  t  t nT  x  nT 
 Tidskontinuerlig representation: x  t   x  t  pT  t  
 Frekvenstransformation:   T 
 Ideal sampling: p  t     t 

fs
 x  nT  p  t  nT 
n 
f
fs
,   fT 

Poissons summationsformel: X   
Alternativa former:

1 
 X   ns 
T n 
1 
   n 2
X     X 
T n  
T
Rekonstruktion m.h.a. PAM: y  t  

 x  n  h  t  nT 
n 
 t 
t 
 Ideal rekonstruktion: h  t   sinc    sinc N  
T 
T 
7
1 
  n 
X     X 

T n   T 

,


Y    X T  H  
Formelsamling för TSDT18,84 Signaler och System
Ver. 1.1
Tidskontinuerliga Linjära Tidsinvarianta (LTI-)System
LTI-system
x(t)
y(t)
h(t)
DIFFERENTIALEKVATIONSBESKRIVNING
Q  D  y  t   P  D  x  t  , där D y  t  
k
a0
d N y t 
dt N
 a1
d N 1 y  t 
dt N 1
d k y t 
dt k
   aN y  t   bN  M
, dvs.
d M x t 
dt M
 bN  M 1
d M 1 x  t 
dt M 1
   bN x  t 
Total lösning/utsignal y  t  :

y  t   homogen lösning + partikulärlösning = yn  t   y  t 

y  t   yzi  t   yzs  t  , där
o y zi  t   y  t 
x t
  0
 y0  t  = ”zero-input response ” (”fri svängning”)
o y zs  t   y  t  Energifritt = ”zero-state response” (“tvingad svängning”)
system
UTSIGNALSBERÄKNING ‒ yzs(t)
y zs  t   x  t  * h  t    x * h  t  




 x   h  t    d   x  t    h   d
 h  t   LTI-systemets impulssvar
Yzs    X   H   om fouriertransformerna existerar
 H     h  t   LTI-systemets frekvensfunktion,
H    H   e
j arg H  
, med
H  
o Amplitudkarakteristik:
o Faskarakteristik:
arg H  
o Energiöverföringsfunktion:
H  
Yzs  s   X  s  H  s 
2
 H  s    h  t   LTI-systemets systemfunktion (alt. överföringsfunktion)
8
Formelsamling för TSDT18,84 Signaler och System
Ver. 1.1
LTI-system matat med stationär sinus:
För ett stabilt LTI-system med systemfunktion H  s  , frekvensfunktion H   ,
insignal x  t  och utsignal y  t  gäller följande:
där Y  X  H  s0   X  H  s  s s
x  t   Xe s0t

y  t   Ye s0t ,
x  t   Xe j0t

y  t   Ye j0t , där Y  X  H 0   X  H    
x  t   C  A cos 0t    
0
0
y  t   C  H  0   A H 0  cos 0t    arg H 0  
 e s0t , med specialfallet s0  j0 ovan, utgör en egenfunktion till systemet,
med tillhörande egenvärde H  s0  ‒ respektive H 0  , i det aktuella specialfallet.
 För dessa fall gäller y  t   y  t  .
SYSTEMANALYS
LTI-systemets systemfunktion är
H s 
bN  M  s M  bN  M 1  s M 1    bN
a0  s N  a1  s N 1    aN
K
 s  n1  s  n2  s  nM 
,
 s  p1  s  p2  s  pN 
där K, nr  och  pk  är systemfunktionens nivåkonstant, nollställen respektive poler.
Om H   existerar  H    H  s  s  j  K 
N1  N 2  N M
,
P1  P2  PN
där N r   j  nr   N r e j arg N r är en nollställevektor och Pk   j  pk   Pk e j arg Pk
är en polvektor. Då erhålls:
H    K 
N1  N 2  N M
P1  P2  PN
arg H    arg K   arg N r   arg Pk
&
r
k
Stabilitet för LTI-system med impulssvar h  t  och systemfunktion H  s  :

 Systemet är insignal-utsignal-stabilt (”BIBO stable”) omm
Då ingår imaginära axeln i konvergensområdet för H  s  .
 h  t  dt   .

 Systemet är marginellt stabilt om H  s  har minst en enkelpol, men inga
multipelpoler, på imaginära axeln och imaginära axeln utgör en rand till
konvergensområdet. Då är h  t  inte absolutintegrerbar men begränsad för alla t.
 Systemet är asymptotiskt instabilt om imaginära axeln ligger utanför
konvergensområdet till H  s  , alternativt om imaginära axeln utgör en rand till
konvergensområdet och det finns minst en multipelpol på imaginära axeln.
Då är h  t  varken absolutintegrerbar eller begränsad för alla t.
9
Formelsamling för TSDT18,84 Signaler och System
Ver. 1.1
Butterworthfilter av ordning N och 3 dB-gränsvinkelfrekvens  p :
 H s 
 pN
s N  a1s N 1    a N 1s   pN
 Poler: pk   p

H   
 k 
j 1 
e  N 2 ,
1
 
1 
  p 


2N
,
k  1, 3, 5,, 2 N  1
H   dB  20  10 log H  
,
 Butterworthfiltret har A0  20 10 log 1   2 dB dämpning vid 0   p   1 N .
Tidsdiskreta Linjära Tidsinvarianta (LTI-)System
LTI-system
x[n]
h[n]
y[n]
DIFFERENSEKVATIONSBESKRIVNING
Positiv (”advanced”) form: Q  E  y  n  P  E  x  n , där E k y  n   y  n  k  , dvs.
a0 y  n  N   a1 y  n  N  1    aN y  n  b0 x  n  N   b1 x  n  N  1    bN x  n
Negativ (”alternative”) form:
a0 y  n  a1 y  n  1    aN y  n  N   b0 x  n  b1 x  n  1    bN x  n  N 
Total lösning/utsignal y  n  :

y  n   homogen lösning + partikulärlösning = yc  n   y  n 

y  n  yzi  n  yzs  n , där
o y zi  n   y  n 
 y0  n  = ”zero-input response ” (”fri svängning”)
x n 0
 
o yzs  n  y  n Energifritt = ”zero-state response” (“tvingad svängning”)
system
10
Formelsamling för TSDT18,84 Signaler och System
Ver. 1.1
UTSIGNALSBERÄKNING ‒ yzs[n]
y zs  n   x  n  * h  n    x * h   n  


m 
m 
 x m h n  m   x n  m h m
 h n  LTI-systemets impulssvar
Yzs    X   H   om fouriertransformerna existerar
 H      h  n   LTI-systemets frekvensfunktion
H   H  e
j arg H  
, med
H 
o Amplitudkarakteristik:
o Faskarakteristik:
arg H  
o Energiöverföringsfunktion:
H 
2
Yzs  z   X  z  H  z 
 H  z    h  n   LTI-systemets systemfunktion (alt. överföringsfunktion)
LTI-system matat med stationär sinus:
För ett stabilt LTI-system med systemfunktion H  z  , frekvensfunktion H   ,
insignal x  n  och utsignal y  n gäller följande:
x  n   Xz0n
x  n   Xe
j 0 n

y  n   Yz0n ,

y  n   Ye
x  n   C  A cos  0 n    
j 0 n
där Y  X  H  z0   X  H  z  z  z
0
, där Y  X  H  0   X  H    
0
y  n   C  H  0  A H  0  cos  0 n    arg H  0 
 z0n , med specialfallet z0  e j0 ovan, utgör en egenfunktion till systemet,
med tillhörande egenvärde H  z0  ‒ respektive H  0  , i det aktuella specialfallet.
 För dessa fall gäller y  n  y  n .
SYSTEMANALYS
LTI-systemets systemfunktion är
H  z 
bN  M  z M  bN  M 1  z M 1    bN
a0  z N  a1  z N 1    aN
K
 z  n1  z  n2  z  nM 
,
 z  p1  z  p2  z  pN 
där K, nr  och  pk  är systemfunktionens nivåkonstant, nollställen respektive poler.
11
Formelsamling för TSDT18,84 Signaler och System
Om H   existerar  H  z   H  z 

z e

j
K
Ver. 1.1
N1  N 2  N M
,
P1  P2  PN


j arg Pk
j arg Nr
j
j
är en nollställevektor och Pk  e  pk  Pk e
där Nr  e  nr  Nr e
är en polvektor. Då erhålls:
H   K 
N1  N 2  N M
P1  P2  PN
&
arg H    arg K   arg N r   arg Pk
r
k
Stabilitet för LTI-system med impulssvar h  n och systemfunktion H  z  :
 Systemet är insignal-utsignal-stabilt (”BIBO stable”) omm
Då ingår enhetscirkeln i konvergensområdet för H  z  .

 h n   .
n 
 Systemet är marginellt stabilt om H  z  har minst en enkelpol, men inga
multipelpoler, på enhetscirkeln och enhetscirkeln utgör en rand till
konvergensområdet. Då är h  n inte absolutsummerbar men begränsad för alla n.
 Systemet är asymptotiskt instabilt om enhetscirkeln ligger utanför
konvergensområdet till H  z  , alternativt om enhetscirkeln utgör en rand till
konvergensområdet och det finns minst en multipelpol på enhetscirkeln.
Då är h  n varken absolutsummerbar eller begränsad för alla n.
Terminologi ‒ förklaring av engelska termer















”Aliasing” = vikning.
”Attenuate” = dämpa.
”Asymptotic stability” = asymptotisk stabilitet (internt stabilitetsmått).
”BIBO stability” (Bounded Input, Bounded Output) = insignal-utsignal-stabilitet
(externt stabilitetsmått)
”Characteristic modes” = karakteristiska (signal-)termer.
”Convolution” = faltning.
”Forced response” = Utsignalens partikulärlösning.
”Fundamental (frequency) component/tone” = grundton.
”Fundamental (angular) frequency” = grundvinkelfrekvens.
”Harmonics” = deltoner.
”Natural response” = Utsignalens homogena lösning.
Normerad vinkelfrekvens   2 , där  = normerad frekvens.
”Steady-state signal” = stationär signal, som är konstant, sinusformad eller
allmänt periodisk.
”Transient signal” = transient signal, som går mot noll när t/n går mot .
”Transfer function” = systemfunktion.
12
Formelsamling för TSDT18,84 Signaler och System
Ver. 1.1
Elektriska nät
j-metoden ‒ för sinusformade spänningar och strömmar:
1. Ersätt alla sinusformade storheter med komplexa storheter, dvs. t.ex.
x  t   A  cos  x t   x   X  A  e j x
2. Ersätt alla nätelement med komplexa impedanser, dvs.
R  ZR  R ,
L  Z L  j L
och
C  ZC 
1
.
j C
3. Betrakta det ekvivalenta komplexschemat som ett likströmsnät (som är ett
LTI-system) och använd likströmsteori för att beräkna t.ex. H   eller någon
sökt komplexvärd signal.
4. För signaler: Omvandla beräknad Y  B  e
j y



y  t   B  cos  x t   y .
 Vid allmän fourierserieanalys av nätet är   n0 . Betrakta varje delton separat och
superponera/linjärkombinera.
 Vid fouriertransformanalys används fouriertransformerna till nätets alla spänningar
och strömmar.
 Vid laplacetransformanalys används laplacetransformerna till nätets alla spänningar
och strömmar, samt operatorschema i stället för komplexschema, där
1
.
R  Z R  R , L  Z L  sL och C  ZC 
sC
Med enkelsidig laplacetransform kan man hantera nollskilda initialltillstånd.
Elektriska samband
 Spänning-strömrelationer för resistans, induktans respektive kapacitans:
di  t 
dv  t 
v(t )  R  i  t 
v t   L 
i t   C 
dt
dt
 Kirchhoffs strömlag:
 ik  t   0
Kirchhoffs spänningslag:
k
 vk  t   0
k
 Seriekoppling av impedanser: Z s  Z1  Z 2    Z n
 n2  


 Z p  Z1  Z 2 

Z1  Z 2 

Z1
 Spänningsdelning (E ligger över Z1 + Z2, V1 ligger över Z1): V1  E 
Z1  Z 2
Z2
 Strömdelning (I fördelas på Z1 och Z2, I1 går genom Z1):
I1  I 
Z1  Z 2
1
1
1
1
 Parallellkoppling av impedanser:


 
Z p Z1 Z 2
Zn
13
Formelsamling för TSDT18,84 Signaler och System
Ver. 1.1
Egenskaper ‒ fourierserier, x  t   Dn
Egenskap
Periodisk funktion
Fourierseriekoefficient
x  t  , period T0
Dn
Dˆ
v  t  , period T0
n
Fel! Ogiltig länk.Fel!
Ogiltig länk.Fel! Ogiltig
länk.Fel! Ogiltig
länk.Fel! Ogiltig länk.
aDn  bDˆ n
1.
Linjäritet, a , b  
ax  t   bv  t 
2.
Tidsförskjutning
x  t  t0 
3.
Frekvensskift
e jM 0t x  t 
4.
Komplexkonjugering
x  t 
5.
Symmetri
6.
Spegling
x  t 
D n
7.
Tidsskalning
T 

x  at  , a  0  period 0 
a

Dn
8.
Periodisk faltning
 x   v  t    d
T0 Dn Dˆ n
x t  v t 
Dn  Dˆ n 
dx  t 
dt
jn0 Dn
Dn e  jn0t0
Dn  M
D n
x  t  reell
D n  Dn
T0
9.
Multiplikation
10. Derivering
11. Integrering
t

x   d

Tabell 1
 D0  0 


m 
Dm Dˆ n  m
1
Dn
jn0
Egenskaper hos komplexa fourierserien för tidskontinuerliga T0-periodiska
2
.
signaler, dvs. med grundvinkelfrekvens 0 
T0
14
Formelsamling för TSDT18,84 Signaler och System
Ver. 1.1
Egenskaper ‒ fouriertransformen, x  t   X  
Operation
Tidsuttryck, x(t)
Transformuttryck, X()
1.
Transform
xt 
2.
Linjäritet, a , b  
ax1  t   bx2  t 
X  
aX1    bX 2  
3.
Komplexkonjugering
x  t 
X    
4.
Symmetri
5.
Dualitet
X t 
2 x   
6.
Tidsskalning
x  at 
1  
X 
a a
7.
x  t 
X   
8.
Spegling (tidsskalning
med a  1 )
Tidsförskjutning
x  t  t0 
X   e  jt0
9.
Frekvensskift, 0  
x  t  e j0t
x  t  reell
10. Derivering
d n x t 
11. Multiplikation med t
t n x t 
12. Integrering
X     X   
X   0 
 j n X  
dt n
t

j
13. Faltning
x1  t   x2  t  ,
14. Multiplikation
x1  t  x2  t 

15. Ideal sampling
Tabell 2
 x1  x2  t 
 x  nT   t  nT 
n 
d n X  
d n
 X   
vp 
   X  0    
 j 
x   d

n
X1   X 2  
1
X 1    X 2  
2
Som funktion av frekvens:
X1  f   X 2  f 
1 
2 

X   n


T n 
T 
Egenskaper hos fouriertransformen för tidskontinuerliga funktioner.
15
Formelsamling för TSDT18,84 Signaler och System
Ver. 1.1
Fouriertransformer x  t   X  
Nr.
Tidsuttryck, x(t)
1.
 t 
2.
u t 
3.
u  t 
4.
sgn  t 
5.
e  at u  t 
6.
eat u  t 
7.
e
8.
t n e  at u  t 
9.
e
10.
e  at cos 0t  u  t 
11.
e  at sin 0t  u  t 
12.

1;
 t  
rect    
   0;

Transformuttryck, X()
1
 1 
vp      
 j 
 1 
vp      
 j 
 2 
vp  
 j 
1
a  j
1
a  j
a0
a0
2a
a2   2
n!
a t
a t
Villkor
a0
a0
 a  j n1
2 j
a2   2
a  j
sgn  t 
t 
t 
a0
 a  j 2  02
0
 a  j 2  02

2


 2
 sinc N 

  
   sinc 


 2 
a0
a0
 0
2
13.
sinc N  at   sinc  a t 
14.
t
 
 
1
1
    ;  a
rect 
  a
a
 2 a   0;    a


   
2   
sinc 2N 
  sinc 

2
 4  2
 4 
a0
 0
Tabell 3 Fouriertransformen av ett antal tidskontinuerliga funktioner.
… forts. nästa sida!
16
Formelsamling för TSDT18,84 Signaler och System
15.
16.
17.
W
 Wt 
sinc 2N 

2
 2 
W
 Wt 
sinc 2  
2
 2 
1
2
2
t a
t
t 2  a2
Ver. 1.1
  


 2W 

e
a
a 
 je

2
W 0
a0
a 
a0
sgn 
 2
 e 4a
a0
18.
e  at
19.
1
20.
e j0t
2   0 
e j0t  e j0t
cos 0t  
2
j0t
e
 e j0t
sin 0t  
2j
    0      0  
23.
cos 0t  u  t 

24.
sin 0t  u  t 
 
j

   0      0    vp  2 0 2 

2
 0   
21.
22.
2  


25.
a
n 

Dn  e
   t  nT 
26.
n 
27.
jn0t
t  u t 
Tabell 3
j    0      0  
2

j 
2
2
 0   
   0      0    vp 
2
s


n 

Dn     n0 
    ns 
n 
1 
j     vp  2 
 
Fouriertransformen av ett antal tidskontinuerliga funktioner.
Notera ändrad vikt hos dirac:erna vid funktion av frekvens:
1
   0     2  f  f0      f  f0 
2
17
0 
2
T0
s 
2
T
Formelsamling för TSDT18,84 Signaler och System
Ver. 1.1
Egenskaper ‒ laplacetransformen, x  t   X  s 
Operation
x(t)
I{x(t)} = XI(s)
II{x(t)} = XII(s)
1.
Transformer
xt 
X II  s 
2.
Linjäritet, a , b  
ax1  t   bx2  t 
XI s
3.
Tidsskalning
x  at 
1 s
X I  , a  0
a a
1
s
X II   , a  0
a
a
4.
Spegling (tidsskalning med a  1 )
x  t 
‒
X  s 
x  t  t0  u  t  t0 
X I  s  e  st0 , t0  0
‒
x  t  t0 
‒
5.
Tidsförskjutning
6.
Transformskift
x  t  e s0t , s0  
7.
Multipl. med t
t n x t 
8.
Division med t
x t 
t
9.
Komplexkonj.
x  t 
10. Derivering
X I  s  s0 
X II  s  s0 
n
(ii)
d n X  s
ds n

s X  v  dv
 
X  s
sX I  s   x  0- 
s 2 X I  s   sx  0- 
d 2 x t 
 x  0- 
dt 2
s 3 X I  s   s 2 x  0- 
d 3x t 
 sx  0-   x  0- 
3
sn X I  s  
d x t 
n
n
s
dt n
k 1
Tabell 4
(i)
X II  s  e  st0
 1
dx  t 
dt
dt
aX1  s   bX 2  s 
nk
d k 1x  0- 
sX II  s 
s 2 X II  s 
s3 X II  s 
s n X II  s 
dt k 1
Egenskaper hos enkelsidig och dubbelsidig laplacetransform för
tidskontinuerliga funktioner.
(i) Konvergensområdet för summan/produkten är unionen av
konvergensområdena för de två respektive transformerna.
(ii) Konvergensområdet för X II  s  s0  är lika med konvergensområdet
för X II  s  förskjutet Res0 åt höger (om Res0   0 ) eller vänster
(om Res0   0 ).
… forts. nästa sida!
18
Formelsamling för TSDT18,84 Signaler och System
Ver. 1.1
t
11. Integrering
 motsvarar 


  u  x  t  
 x   d
1
XI s
s
0t
 x   d
‒
1
X II  s 
s
‒

x t   y t ,
12. Faltning
13. Initialvärdesteoremet
14. Slutvärdesteoremet
Tabell 4
X I  s  YI  s 
 x  y  t 
lim x  t   lim sX I  s 
t 0 
s 
( sX I  s  : antal poler > antal nollst.)
lim x  t   lim sX I  s 
t 
s 0
( sX I  s  : alla poler i VHP)
(i)
X II  s  YII  s 
‒
‒
Egenskaper hos enkelsidig och dubbelsidig laplacetransform för
tidskontinuerliga funktioner.
(i) Konvergensområdet för summan/produkten är unionen av
konvergensområdena för de två respektive transformerna.
(ii) Konvergensområdet för X II  s  s0  är lika med konvergensområdet
för X II  s  förskjutet Res0 åt höger (om Res0   0 ) eller vänster
(om Res0   0 ).
19
(i)
Formelsamling för TSDT18,84 Signaler och System
Ver. 1.1
Laplacetransformer x  t   X  s 
Nr.
Tidsuttryck, x(t)
1.
 t 
1
Konvergensområde
alla s
2.
d n  t 
sn
alla s
3.
u  t  , u0  t 
4.
t  u t 
5.
t n  u t 
6.
sgn  t 
7.
u  t  , u0  t 
8.
t  u0  t  , t  u  t 
9.
t n  u0  t 
10.
e s0t u  t 
11.
e  at u  t 
12.
te  at u  t 
13.
t n e  at u  t 
14.
e  at u 0  t 

15.
te  at u 0  t 

dt
n
Transformuttryck, X(s)
1
s
1
s2
n!
s n1
2
s
1

s
1
 2
s
n!
 n1
s
1
,
s  s0
1
,
sa
1
Res  0
Res  0
Res  0
Res  0
Res  0
Res  0
Res  0
s0  
a   (spec.fall av 10.)
n!
Res  a
 s  a n1
 s  a 2
Res  a
Res  a
 s  a 2
1
,
sa
1
Res  Res0 
a
Res  a
Res  a
Tabell 5 Dubbelsidig laplacetransform av ett antal tidskontinuerliga funktioner.
Då transformens konvergensområde är av typen Res   0 ,
så är den aktuella transformen enkelsidig.
… forts. nästa sida!
20
Formelsamling för TSDT18,84 Signaler och System
16.
t n e  a t u 0  t 
17.
e
18.
cos 0t  u  t 
19.
sin 0t  u  t 
20.
e  at cos 0t  u  t 
21.
e  at sin 0t  u  t 
22.
a t

e  at  A cos 0t  

B  Aa
0
23.

sin 0t   u  t 

t  cos 0t  u  t 

n!
 s  a n1
2a
a2  s2
s
2
s  02
Res  a
a  Res  a
Res  0
0
s 2  02
Res  0
sa
 s  a 2  02
0
 s  a 2  02
Res  a
Res  a
As  B
 s  a 2  02
Res  a
(en kombination av 20. och 21.)

s 2  02
s 2  02
24.
t  sin 0t  u  t 
s
25.
cos 0t  u 0  t 

26.
sin 0t  u 0  t 

27.
e  at cos 0t  u 0  t 

28.
e  at sin 0t  u 0  t 

Tabell 5
Ver. 1.1
20 s
2
 02

2
Res  0

2
Res  0
s
s  02
2
0
s 2  02
sa
 s  a 2  02
0
 s  a 2  02
Res  0
Res  0
Res  a
Res  a
Dubbelsidig laplacetransform av ett antal tidskontinuerliga funktioner.
Då transformens konvergensområde är av typen Res   0 ,
så är den aktuella transformen enkelsidig.
… forts. nästa sida!
21
Formelsamling för TSDT18,84 Signaler och System
t  cos 0t  u 0  t 

30.
t  sin 0t  u 0  t 

31.

1;
rect  t   
0;

29.
t 
1
2
t 
1
s 2  02

2
Res  0

2
Res  0
sinh  s 2  e s 2  e  s 2

2s
s 2
alla s

s 2  02
s
20 s
2
 02
2

32.
 t  1  t ;
   
 2   0;
33.
 
sinc N  0 t  u  t  
 
sinc 0t  u  t 
 
arctan  0 
0
 s 
34.
 
sinc N  0 t  u 0  t  
 
sinc 0t  u 0  t 

Tabell 5
t 1
t 1
Ver. 1.1
2
es 2  e s
 sinh  s 2  

 
s 2
4s 2


1
 
arctan  0 
0
 s 
1
2

2
alla s
Res  0
Res  0
Dubbelsidig laplacetransform av ett antal tidskontinuerliga funktioner.
Då transformens konvergensområde är av typen Res   0 ,
så är den aktuella transformen enkelsidig.
22
Formelsamling för TSDT18,84 Signaler och System
Ver. 1.1
Egenskaper ‒ diskreta fouriertransformen,
DFT, längd N0 xn  X r
Operation
Tidsuttryck, xn
Transformuttryck, Xr
1.
2.
N0-periodicitet
Linjäritet, a , b  
xn  xn N0
X r  X r  N0
axn  bvn
aX r  bVr
3.
Komplexkonjugering
xn
X  r
4.
5.
Symmetri
Tidsförskjutning
(cirkulärt)
Frekvensskift
(cirkulärt)
xn reell
X  r  X r  X N0 r
7.
Spegling (cirkulärt)
x n
8.
Dualitet
Xn
6.
xn  k
 x
nk  mod N0
xne jn0m ,
0 
2
N0
 x n mod N 
0

 X
X r e  jr0k ,
X r m
X r
 X
 r  mod N0
0 
2
N0
r m  mod N0
Faltning (cirkulär)
0
N 0 x k
N 0 1
 xm y nm mod N
m 0
10. Multiplikation
0
Tabell 6
X r  Yr
0
1
X r  Yr 
N0
xn  y n
1
N0
N 0 1
 X kY r k  mod N
k 0
Egenskaper hos diskreta fouriertransformen (DFT:n) för
tidsdiskreta N0-periodiska funktioner.
23

 X r mod N 
 N0 xk mod N 
xn  yn 
9.

0
Formelsamling för TSDT18,84 Signaler och System
Ver. 1.1
Egenskaper ‒ fouriertransformen, x  n   X   
Operation
1.
2.
2-periodicitet
Linjäritet, a , b  
3.
Komplexkonjugering
4.
Symmetri
5.
Spegling
6.
Tidsskiftning
Tidsuttryck, x[n]
Transformuttryck, X[]
x  n
X    X    2 
ax1  n  bx2  n
aX1    bX 2  
x n reell
X     X    
x  n 
X    
x  n 
X  
x  n  n0 
X    e  jn0
x  n  e j 0 n
7.
Frekvensskiftning
spec.fall: x  n   1
8.
Modulation
(tillämpning av 7.)
x  n cos  0n 
9.
Multiplikation med n
nk  x n
x  n
10. Sampling
11. Decimering
12. Expansion
(nollinskjutning,
L‒1 nollor mellan
varje x[n]-värde)
X   0 
n

   n  kN 
k 
 x  n ; n  kN

f.ö.
 0;
x  nN 
xe  n  x L   n 
 n
 x   ; n  0,  L, 2 L,
 L
 0;
f.ö.

13. Faltning
x1 n  x2  n ,
14. Multiplikation
x1 n x2  n
 x1  x2  n
spec.fall: X     
1
 X   0   X   0 
2
k
k d X  
j
d n
1
N
N 1
1
N
N 1

 X   k
k 0
2 
N 
   k 2 

N
 X 
k 0
X  L
X 1   X 2  
1
X 1   X 2   
2
1
X 1 W X 2    W  dW
2 2
Som fkn. av normerad frekv:
X1    X 2  
Tabell 7
Egenskaper hos fouriertransformen för tidsdiskreta funktioner.
24
Formelsamling för TSDT18,84 Signaler och System
Ver. 1.1
Fouriertransformer x  n   X   
Nr.
1.
2.
3.
Tidsuttryck, x[n]
  n
 n  k 
sgn  n
5.
 nu  n 
6.
7.
8.
 u0  n 
n
n nu  n 
n
u  n  N   u  n   N  1
9.
1;

0;
n N
f.ö.
0
10.
 n
sinc N  0  

  
0
sinc  0 n 

11.
1
k 
e  jk 
 e j  1 
vp  j 
 e  1 
e j
e j  
 nu  n  1 

Villkor

 e j 
vp  j         k  2 
k 
 e  1
u  n
4.
Transformuttryck, X[]
0
 n
sinc 2N  0  
2
 2 
0
 n
sinc 2  0 
2
 2 
 1
e j
e j  
e
 e j
j

 1

1  2
1  2 cos    2
  2 N  1  
sin 

2



sin  
2

   k  2
 rect  2
0

k 
1;
  0

0; 0    

 1
2
 1



(2 -periodisk)
   k  2 

 20 
 
k 
 0  0,
0  
 0  0,
0  
Tabell 8 Fouriertransformen av ett antal tidsdiskreta funktioner.
… forts. nästa sida!
25
Formelsamling för TSDT18,84 Signaler och System
12.
13.
14.
2
1 n
e j 0 n
2

2
N
   n  kN0 
k 
15.
Fourierserie, allmänt
N0-periodisk signal:

 Dr  e jr n
2
0
Ver. 1.1

     k  2 
k 

     0  k  2 
k 

     k 0  ,
k 

 Dr      r  0  ,
r 
0 
2
N0
0 
2
N0
r 
16.
17.
18.

     0  k  2       0  k  2  
cos  0n 

sin  0n 
j
cos  0n  u  n
k 

     0  k  2       0  k  2  
k 
 e j 2  e j cos 0 
vp  j 2

j



e
2
e
cos
1
0




     0  k  2       0  k  2  
2 k 
19.
20.
sin  0n  u  n
 n cos   0 n    u  n 


e j sin 0
vp  j 2

 2e j cos 0  1
 e
j
2
e

     0  k  2       0  k  2  
k 
j
j
e
e
j 2
cos   cos  0   
 2 e
j
cos 0  

2
Tabell 8 Fouriertransformen av ett antal tidsdiskreta funktioner.
Notera ändrad vikt hos dirac:erna vid funktion av frekvens:
1
    0     2   0       0 
2
26
 1
Formelsamling för TSDT18,84 Signaler och System
Ver. 1.1
Egenskaper ‒ z-transformen, x  n   X  z 
Operation
x[n]
I{x[n]}=XI([z]) II{x[n]}=XII([z])
1.
Transformer
x  n
X I  z
2.
3.
Linjäritet, a , b  
Vänsterskiftning
ax1  n  bx2  n
x  n  1 u  n  ,
x  n  1
x  n  2 u  n  ,
x  n  2
x  n  3
zX II  z 
‒
z 2 X I  z   z 2 x  0  zx 1
‒
z 2 X II  z 
z 3 X I  z   z 3 x  0  z 2 x 1  zx  0
x  n  1
x  n  2 u  n  ,
x  n  2
m 1
z m X I  z   z m  z n x n
‒
z m X II  z 
z 1 X I  z   x  1
‒
z 1 X II  z 
‒
‒
z 2 X I  z   z 1x  1  x  2 
z 2 X II  z 
‒
x  n  3 u  n  ,
x  n  3
x  n  mu  n,
z 3 X I  z   z 2 x  1  z 1x  2  x  3
m
z m X I  z   z m  z n x n
n 1
x  n  m
Högerskiftning
x  n  m u  n  m
6.
Spegling
x  n 
z m X I  z 
‒
‒
z  m X II  z 
‒
5.
‒
z 3 X II  z 
‒
x  n  1 u  n  ,
(i)
‒
n0
x  n  m
Tabell 9
zX I  z   zx  0
‒
x  n  mu  n,
Högerskiftning
aX1  z   bX 2  z 
‒
x  n  3 u  n  ,
4.
X II  z 
z  m X II  z 
1
X II  
z
Egenskaper hos enkelsidig och dubbelsidig z-transform för
tidsdiskreta funktioner.
(i) Konvergensområdet för summan är unionen av konvergensområdena för de två respektive transformerna.
… forts. nästa sida!
27
Formelsamling för TSDT18,84 Signaler och System
7.
Multipl. med  n
 n x n
8.
Multipl. med n
n  x  n
9.
Multipl. med n m
nm  x n
10. Bakåtriktad
differens
11. Framåtriktad
differens
12. Summering
x  n   x  n  1
x  n  1  x  n
 z  1 X I  z   zx0
‒
 xk 
‒
z
X II  z 
z 1
x1 n   x 2  n  ,
 x1  x 2  n
x  0  lim X I  z 
z 
X1 z  X 2  z 
‒
lim x  n   lim  z  1 X I  z 
n
z 1
15. Slutvärdesteoremet (  z  1 X  z  : alla poler måste ligga
I
innanför enhetscirkeln)
Tabell 9
 z  1 X II  z 
z
X I z
z 1
k 
14. Initialvärdesteoremet
z
X 
 
dX  z 
z
dz
m
m d X  z
 z 
dz m
z 1
z 1
X II  z 
X I  z   x  1
z
z
 xk 
n
k 0
n
13. Faltning
Ver. 1.1
‒
Egenskaper hos enkelsidig och dubbelsidig z-transform för
tidsdiskreta funktioner.
(ii) Konvergensområdet för produkten är unionen av konvergensområdena för de två respektive transformerna.
28
(ii)
Formelsamling för TSDT18,84 Signaler och System
Ver. 1.1
z-transformer x  n   X  z 
Nr.
Tidsuttryck, x[n]
1.
  n
1
2.
  n  m
z m
3.
u  n
4.
 nu  n 
5.
 n1u  n  1
6.
n nu  n 
z
z 1
z
z 
1
z 
z
7.
n 2 nu  n 
8.
n  u  n
9.
i1 n  i   nu  n
3 n
Transformuttryck, X[z]
10.
11.
m!

n
u  n
n!
1
u  n  1
n
12.
u 0  n  u  n  1
13.
 nu 0   n    nu   n  1
14.
 nu 0   n  1   nu   n 
z   om m  0
 z   2
 zz   
 z   3
 z 3  4 2 z 2   3 z
 z   4
z m1
m
 z   m1
e
z 1
z
z
z
z
z
z
z 0
z
 z 
ln 

 z 1
z

z 1
z

z 

Konvergensområde
alla z
z  0 om m  0

z 
z 1
z 1
z
z
Tabell 10 Dubbelsidig z-transform av ett antal tidsdiskreta funktioner.
Då transformens konvergensområde är av typen z  R0 ,
så är den aktuella transformen enkelsidig.
… forts. nästa sida!
29
Formelsamling för TSDT18,84 Signaler och System
 nu  n    nu 0   n  
z
z

z  z  
15.
  n ; n  0
,
 n
  ; n  0
16.
n nu 0  n 

17.
i1 n  i   nu  n
0
m!

18.
e j0nu  n 
19.
cos  0n  u  n
20.
sin  0n  u  n
21.
 n cos  0 n  u  n 
22.
 n sin  0 n  u  n 
23.
cos  0n    u  n
24.
sin  0n    u  n
 
m
25.
26.
n  cos  0n  u  n
n  sin  0n  u  n
 z
z
 z   2
z
z m1
z
 z   m1
z
z  e j0
z  z  cos  0 
z 2  2  cos  0  z  1
z sin 0
z 2  2  cos 0  z  1
z  z   cos  0 
2
z  2  cos  0  z   2
z sin  0
z 2  2  cos  0  z   2
z  z cos   cos  0    
z 2  2  cos 0  z  1
z  z sin   sin  0    
z 2  2  cos 0  z  1
z 3 cos 0  2 z 2  cos 0
z

2

 2  cos 0  z  1
z 3 sin 0  z sin 0
Ver. 1.1

z 2  2  cos 0  z  1
2
2
z 1
z 1
z 1
z
z
z 1
z 1
z 1
z 1
Tabell 10 Dubbelsidig z-transform av ett antal tidsdiskreta funktioner.
Då transformens konvergensområde är av typen z  R0 ,
så är den aktuella transformen enkelsidig.
… forts. nästa sida!
30
Formelsamling för TSDT18,84 Signaler och System
27.
cos  0n  u0  n

28.
sin  0n  u 0  n

29.
 n cos   0 n  u 0   n 

30.
 n sin   0 n  u 0   n 

31.
cos  0n    u 0  n

32.
sin  0n    u 0  n

n  cos  0n  u 0  n

33.
34.
n  sin  0n  u 0  n

z  z  cos  0 
z 1
z  2  cos  0  z  1
2
z sin 0
z 2  2  cos 0  z  1
z 1
z  z   cos  0 
z
z  2  cos  0  z   2
2
z sin  0
z  2  cos 0  z   2
z
2
z  z cos   cos   0    
z 2  2  cos 0  z  1
z  z sin   sin  0    
z 2  2  cos 0  z  1
z 3 cos 0  2 z 2  cos 0
z

2

 2  cos 0  z  1
z 3 sin 0  z sin 0

z 2  2  cos 0  z  1
2
2
Tabell 10 Dubbelsidig z-transform av ett antal tidsdiskreta funktioner.
Då transformens konvergensområde är av typen z  R0 ,
så är den aktuella transformen enkelsidig.
31
Ver. 1.1
z 1
z 1
z 1
z 1